กลศาสตร์แฮมิลตัน

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน

ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ นอกจากการใช้กฎของนิวตันและกลศาสตร์แบบลากรานจ์แล้วเราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เราสามารถหาสมการการเคลื่อนที่ในรูปของอนุพันธ์อันดับที่ 1 เปลี่ยนจากการบรรยายการเคลื่อนที่ของระบบในปริภูมิโครงแบบมาเป็นปริภูมิเฟสที่มีจำนวนมิติเป็น 2N วิธีการนี้ คือ สมการของแฮมิลตัน ซึ่งถูกเสนอขึ้นในปี พ.ศ. 2376 (ค.ศ. 1833) โดยนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ชาวไอร์แลนด์ เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน ซึ่งการได้มาของสมการแฮมิลตันทำได้ 2 ลักษณะ คือ 1. การแปลงเลอร์จอง (Legendre Transformation) 2. หลักการแปรผัน (Variational Principle) เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
${\displaystyle p(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q,{\dot {q}},t\right)}{\partial {\dot {q}}}}}$ 
โดย ${\displaystyle q(t)}$  คือพิกัดทั่วไป ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$  คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ ${\displaystyle t}$  คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว ${\displaystyle {\dot {q}}(t)}$  ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
${\displaystyle H(q(t),p(t),t)=p(t){\dot {q}}(q,p,t)-L(q,{\dot {q}}(q,p,t),t)}$ 
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด ${\displaystyle N}$  ตัว
${\displaystyle q\equiv \left\{q_{1}(t),q_{2}(t),...,q_{N}(t)\right\}}$ 
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
${\displaystyle L\left(q,{\dot {q}},t\right)\equiv L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}$ 
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว ${\displaystyle p_{i}(t)}$  ได้โดย
${\displaystyle p_{i}(t)\equiv {\frac {\partial L\left(q_{1},q_{2},...q_{N},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{N},t\right)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i=1,2,...,N}$ 
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=f_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N},t\right)}$ 
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
${\displaystyle H\left(q(t),p(t),t\right)=\sum _{i}p_{i}(t){\dot {q}}_{i}(q,p,t)-L\left(q,{\dot {q}}(q,p,t),t\right)}$ 

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรานเจียน

เราสามารถสร้างแฮมิลโทเนียนได้จากลากรานเจียน (Lagrangian) ของระบบ เนื่องจากแฮมิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (Generalized Coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (Conjugate Momenta, Canonical Momenta หรือ Generalized Momenta) แต่ลากรานเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อนและจะได้สมการแบบบัญญัติของแฮมิลตัน (Canonical Equation of Hamilton) หรือ สมการแฮมิลตัน (Hamilton’s Equation) เป็นสมการการเคลื่อนที่ในรูปของสมการอนุพันธ์อันดับที่ 1 ซึ่งแตกต่างจากสมการลากรานจ์ที่อยู่ในรูปสมการอนุพันธ์อันดับที่ 2 เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ ${\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)}$  เราจะได้
${\displaystyle \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left(p_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\delta {\dot {q}}_{i}}$ 
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$  ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$  ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ ${\displaystyle \delta q_{i}}$  เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
${\displaystyle \delta H(q,p,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\delta p_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}\delta t}$ 
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$ 
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\Longleftrightarrow p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$ 
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ ${\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)}$  จะพบว่า
${\displaystyle \delta \left(\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-H(q,p,t)\right)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t+\sum _{i}\left({\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\right)\delta p_{i}}$ 
และเมื่อใช้นิยามของ ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}=\partial H/\partial p_{i}}$  จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
${\displaystyle \delta L(q,{\dot {q}},t)=\sum _{i}p_{i}\delta {\dot {q}}_{i}-\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\delta t}$ 
นอกจากนั้นเราพบว่า
${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}}$ 
และ
${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial H}{\partial t}}}$ 
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร ${\displaystyle q_{i}}$  และ ${\displaystyle t}$  ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์

การแปลงแบบคาโนนิคัล

การแปลงแบบคาโนนิคัลอาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากระบบพิกัดที่เป็นไปตามสมการของแฮมิลตัน หรือที่เรียกกันว่า ระบบพิกัดคาโนนิคัล เนื่องจากการแก้ไขปัญหาทางกลศาสตร์บางครั้งทำได้ยาก แต่ถ้าเราแปลงระบบพิกัดหรือโมเมนตัมให้เหมาะสมก็อาจทำให้การแก้ปัญหาทำได้ง่ายขึ้น ซึ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลยังคงอยู่ในรูปของคาโนนิคัลเดิมของสมการแฮมิลตัน เป็นการแปลงกลุ่มของพิกัด ${\displaystyle q_{i}}$  ไปเป็นกลุ่มพิกัดใหม่ ${\displaystyle Q_{i}}$  ซึ่งการแปลงมีรูปแบบเป็น ${\displaystyle Q_{i}=Q_{i}{(q_{k},p_{k},t)}}$  และ ${\displaystyle P_{i}=P_{i}{(q_{k},p_{k},t)}}$ 

กล่าวได้ว่า การที่จะทราบระบบพิกัดใหม่ได้ จำเป็นที่จะต้องทราบระบบพิกัดเดิมและโมเมนตัมเดิม การแปลงนี้ที่จะต้องพิจารณา คือ การแปลงที่ทำให้ทั้ง ${\displaystyle Q}$  และ ${\displaystyle P}$  ใหม่ที่จะได้ต่างก็เป็นพิกัดคาโนนิคัล ซึ่งหมายความว่า ระบบพิกัดใหม่ที่ได้ต้องเป็นไปตามสมการแฮมิลตัน นั่น คือ จะต้องมีฟังก์ชัน ${\displaystyle K{(Q,P,t)}}$  ที่ทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}\end{aligned}}}$ 

จะเห็นได้ว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle K}$  ก็คือ ฮามิลโทเนียนในระบบพิกัดใหม่นั่นเอง เรียกการแปลงที่ทำให้สมการข้างต้นทั้งสองเป็นจริงว่า การแปลงแบบคาโนนิคัล การจะแปลงจากพิกัดและโมเมนตัมเก่าไปเป็นระบบพิกัดและโมเมนตัมใหม่นั้น จะต้องมีฟังก์ชันกำเนิด (Generating Function) เป็นฟังก์ชันที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรอิสระเดิม กับตัวแปรอิสระใหม่ จะแบ่งการแปลงแบบคาโนนิคัลออกเป็น 4 รูปแบบตามปริภูมิเฟสที่เกิดจากการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งการกำหนดฟังก์ชันจะอาศัยหลักการของการแปลงเลอจองด์

1. ${\displaystyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)}$ 

2. ${\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ 

3. ${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)}$ 

4. ${\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)}$ 

ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน

การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
${\displaystyle L(x,{\dot {x}})={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}kx^{2}}$ 
โดย ${\displaystyle x(t)}$  คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ ${\displaystyle k}$  คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด ${\displaystyle x(t)}$  คือ
${\displaystyle p={\frac {\partial L(x,{\dot {x}})}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}}$ 
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด ${\displaystyle x(t)}$  ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {p}{m}}}$ 
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
${\displaystyle H(x,p)=p{\dot {x}}(p)-L(x,{\dot {x}}(p))=p{\frac {p}{m}}-{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}}$ 
สังเกตว่า
${\displaystyle H(x,p)={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=T(p)+V(x)}$ 
เมื่อ ${\displaystyle T(p)}$  คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ ${\displaystyle V(x)}$  คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
${\displaystyle V=V(r)}$ 
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
${\displaystyle q_{1}(t)=r(t),\qquad q_{2}(t)=\theta (t),\qquad q_{3}(t)=\phi (t)}$ 
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
${\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}$ 
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
${\displaystyle p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}$ 
และ
${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}}$ 
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {p_{r}}{m}}}$ 

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }}{mr^{2}}}}$ 
สังเกตว่าอัตราเร็ว ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$  เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด ${\displaystyle \phi }$  เองและฟังก์ชันของพิกัด ${\displaystyle r}$  ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
${\displaystyle H(r,\phi ,p_{r},p_{\phi })={\frac {p_{r}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)}$ 
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้า

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (${\displaystyle v<<c}$ ) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
${\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)}$ 
โดยที่ ${\displaystyle e}$  คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค ${\displaystyle \phi =\phi (r)}$  คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
${\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}}$ 
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum ${\displaystyle m{\dot {r}}}$  ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {\mathbf {p} _{r}^{2}}{2m}}+e\phi (r)}$ 
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (${\displaystyle v<<c}$ ) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
${\displaystyle L\left(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}\right)={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-e\phi (r)+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$ 
โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} (r)}$  คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
${\displaystyle \mathbf {p} _{r}=m{\dot {\mathbf {r} }}+{\frac {e}{c}}\mathbf {A} }$ 
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum ${\displaystyle m{\dot {r}}}$ 

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
${\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+e\phi (r)={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi (r)}$ 
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป ${\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}(\mathbf {p} _{r})}$  ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + V

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน ${\displaystyle H=T+V}$  เมื่อ ${\displaystyle T}$  คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ ${\displaystyle V}$  คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไป

เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
${\displaystyle L(q,p)=T({\dot {q}}^{2})-V(q)}$ 
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
${\displaystyle T({\dot {q}})={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}}$ 
โดยที่ ${\displaystyle a_{ik}=a_{ik}(q)}$  อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
${\displaystyle p_{i}(q,p)={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}}$ 
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
${\displaystyle q_{i}(q,p)=f_{i}(q,p,t)}$ 
เมื่อ ${\displaystyle f_{i}(q,p)}$  คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
${\displaystyle \sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}=\sum _{i,k}{\dot {q}}_{i}a_{ik}{\dot {q}}_{k}=2T}$ 
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
${\displaystyle H(q,p)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L=2T-(T-V)=T(p)+V(q)}$ 
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-V(q)}$ 
โดยที่ ${\displaystyle a_{ik}}$  และ ${\displaystyle b_{i}}$  อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
${\displaystyle p_{i}=\sum _{k}a_{ik}{\dot {q}}_{k}+b_{i}}$ 
ดังนั้น
${\displaystyle H(q,p,t)=\sum {p_{i}{\dot {q}}_{i}}-L=2T+\sum _{i}b_{i}{\dot {q}}_{i}-L={\frac {1}{2}}\sum _{i,k}a_{ik}{\dot {q}}_{i}(q,p,t){\dot {q}}_{k}(q,p,t)+V(q)}$ 
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" ${\displaystyle H=T+V}$ 

ตัวอย่าง

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
${\displaystyle L\left(r,\phi \right)={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-V(r)}$ 
เป็นฟังก์ชันของ ${\displaystyle {\dot {r}}^{2},{\dot {\phi }}^{2},r}$  โดย ${\displaystyle a_{rr}=m}$  และ ${\displaystyle a_{\phi \phi }=mr^{2}}$  ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม ${\displaystyle {\frac {e}{c}}\mathbf {A} \cdot {\dot {\mathbf {r} }}}$  ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่าง

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
${\displaystyle L(q,\lambda {\dot {q}})=\lambda L(q,{\dot {q}})}$ 
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
${\displaystyle p{\dot {q}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=L}$ 
ดังนั้น
${\displaystyle H(q,p)=p{\dot {q}}-L(q,p)=L-L=0}$ 

อนุภาค relativistic

ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา ${\displaystyle t}$  เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์ ${\displaystyle \tau }$  ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
${\displaystyle x^{\mu }=x^{\mu }(\tau )=\left(t(\tau ),\mathbf {x} (\tau )\right)\qquad \qquad \mu =0,1,2,3}$ 
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก ${\displaystyle \tau }$  ที่ทำให้
${\displaystyle \sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }\equiv \sum _{\mu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx_{\mu }}{d\tau }}=1}$ 
เราจะสามารถใช้ ${\displaystyle \tau }$  เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร ${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$ 

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
${\displaystyle L({\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}}$ 
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
${\displaystyle L(\lambda {\dot {x}})=m{\sqrt {\sum _{\mu }\lambda {\dot {x}}^{\mu }\lambda {\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda m{\sqrt {\sum _{\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}_{\mu }}}=\lambda L({\dot {x}})}$ 
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime ${\displaystyle ({\dot {x}}^{\mu })}$  คือ
${\displaystyle p_{\mu }(\tau )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}}$ 
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
${\displaystyle H(x,p)=\sum _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{\mu }}}{\dot {x}}^{\mu }-L=L-L=0}$ 

สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
${\displaystyle p_{\mu }(\lambda {\dot {x}})={\frac {m\lambda {\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }\lambda ^{2}{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}=p_{\mu }({\dot {x}})}$ 
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ ${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }}$  ที่ลากระหว่างจุด ${\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }}$  ใดๆกับจุด ${\displaystyle \lambda {\dot {x}}^{\mu }}$  จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
${\displaystyle p^{2}\equiv \sum _{\mu }p_{\mu }p^{\mu }={\frac {m{\dot {x}}_{\mu }}{\sqrt {\sum _{\nu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}_{\nu }}}}{\frac {m{\dot {x}}^{\mu }}{\sqrt {\sum _{\sigma }{\dot {x}}^{\sigma }{\dot {x}}_{\sigma }}}}=m^{2}}$ 
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
${\displaystyle p^{2}=E^{2}-\mathbf {p} ^{2}=m^{2}}$ 
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ ${\displaystyle i}$  และหลักที่ ${\displaystyle j}$  คือ
${\displaystyle {\frac {\partial {p_{i}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\qquad \qquad i,j=1,2,3,...N}$ 
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\dot {q}}_{i}(q,p,t)\qquad \qquad i=1,2,...,N}$ 
ก็ต่อเมื่อ
${\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)\neq 0}$ 

ส่วนในกรณีที่
${\displaystyle {\text{det}}\left({\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}_{j}\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0}$ 
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี

การแปลงระบบพิกัดแบบคาโนนิคัลเป็นวิธีอันหนึ่งที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางกลศาสตร์ โดยหากแฮมิลโทเนียนของระบบเป็นปริมาณอนุรักษ์ ก็สามารถหาคำตอบของปัญหาได้ด้วยการแปลงระบบพิกัดนั้นไปยังระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่ที่มีระบบพิกัดเป็นไซคลิก การแก้ปัญหาด้วยวิธีการแปลงแบบคาโนนิคัลที่เหมาะสม จนทำให้ระบบพิกัดและโมเมนตัม ${\displaystyle {(q,p)}}$  ที่เวลาใดๆ เป็นปริมาณคงตัว ซึ่งปริมาณที่คงตัวนี้อาจจะเป็นค่าของพิกัดและโมเมนตัมที่เวลาเริ่มต้น ${\displaystyle {(q_{0},p_{0})}}$  การแปลงดังกล่าวจะก่อให้เกิดชุดของสมการของการแปลงที่มีรูปแบบเป็น

${\displaystyle q=q{(q_{0},p_{0},t)}}$  -----1

${\displaystyle p=p{(q_{0},p_{0},t)}}$  -----2

สมการที่ 1 และ 2 แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและโมเมนตัมที่เวลา t ใดๆ กับพิกัดและโมเมนตัมขณะเริ่มต้นซึ่งคงตัว แสดงให้เห็นว่าทั้งพิกัดและโมเมนตัมเปลี่ยนแปลงตามเวลา ดังนั้น สมการ 1 และ 2 จะเป็นคำตอบของปัญหา หากแฮมิลโทเนียนในระบบพิกัดคาโนนิคัลใหม่มีค่าเป้นศูนย์ จะทำให้ตัวแปรใหม่มีค่าคงตัว นั่นคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {Q_{i}} }}&={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P_{i}} }}&=0\\{\dot {\mathbf {P_{i}} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q_{i}} }}&=0\end{aligned}}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle K}$  เป็นแฮมิลโทเนียนใหม่ และ${\displaystyle {(P,Q)}}$  เป็นกลุ่มของตัวแปรใหม่ที่ได้จากการแปลง และเขียนความสัมพันธ์ระหว่างแฮมิลโทเนียนเก่า${\displaystyle (H)}$  และแฮมินโทเนียนใหม่${\displaystyle (K)}$  ได้ดังสมการ

${\displaystyle K=H+{\partial F \over \partial t}}$ 

โดย ${\displaystyle F}$  เป็น Generating function หรือฟังก์ชันกำเนิด ดังนั้น ถ้า ${\displaystyle K=0}$  ฟังก์ชัน ${\displaystyle F}$ จะเป็นไปตามสมการ

${\displaystyle H(q,p,t)+{\partial F \over \partial t}=0}$ 

ซึ่งมีแนวคิดทฤษฎีมาจากการแปลงคาโนนิคัลที่ใช้ฟังก์ชันกำเนิดชนิดที่ 2 คือเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไปเดิมและโมเมนตัมทั่วไปใหม่ จะเขียนความสัมพันธ์ได้เป็น

${\displaystyle H+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$

โดยที่ ${\displaystyle S=S(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N},t)}$  เป็นฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน (Hamilton's principal function)

สมการแฮมิลตัน – จาโคบีสามารถแก้ปัญหาการเคลื่อนที่การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง การเคลื่อนที่ภายใต้สนามโน้มถ่วงได้

วงเล็บปัวส์ซอง

เนื่องจากสมการการเคลื่อนที่ของสมการของแฮลมิลตันสามารถให้หาการขึ้นกับเวลาของ ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$  ในปริภูมิเฟส จากความสัมพันธ์เหล่านี้ทำให้สามารถหาสมการการเคลื่อนที่ของฟังก์ชัน F(q, p; t) ใดๆ ได้โดยใช้วงเล็บปัวส์ซอง (Poisson bracket) เสนอโดย Siméon Denis Poisson (1781–1840)

สำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$  และ ${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$  ใดที่ขึ้นกับตัวแปรคาโนนิคัล (q, p) เขียนนิยามของวงเล็บปัวส์ซองได้เป็น

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$ 

สมบัติของสมการวงเล็บปัวส์ซองที่เป็นพื้นฐานและถูกใช้บ่อย คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}}$ 

โดยที่ δ_ij คือ Kronecker delta.

สมบัติของวงเล็บปัวส์ซอง

1) ${\displaystyle \{f,f\}=0}$ 

2) ${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$ 

3) ${\displaystyle \{f+g,h\}=\{f,h\}+\{g,h\}}$ 

4) ${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$ 

5) ${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$ 

พี.เอ.เอ็ม.ดิเรก (P.A.M.Direc) พบว่าวงเล็บปัวส์ซองในแบบกลศาสตร์คลาสสิคมีความเชื่อมโยงกันกับวงเล็บการสลับที่ของกลศาสตร์ควอนตัม โดย พี.เอ.เอ็ม.ดิเรกสามารถที่จะกำหนดค่าวงเล็บปัวส์ซองในกลศาสตร์คลาสสิคได้จากการสลับที่ของตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแสดงความหมายว่ากลศาสตร์คลาสสิคอยู่ในขอบเขตที่ค่าคงที่แพลงค์เป็นศูนย์

สมบัติของค่าคงที่ของการเคลื่อนที่

วงเล็บปัวส์ซองไม่สามารถหาคำตอบของที่สมบูรณ์ของการเคลื่อนที่ได้ แต่มีประโยชน์มากในการใช้อธิบายและหาสมบัติของการเป็น Constant of motion ของการเคลื่อนที่ โดยค่าคงที่ดังกล่าวนี้จะเปลี่ยนไปกับแฮมิลโทเนียนภายใต้วงเล็บปัวส์ซอง สมมติว่าฟังก์ชัน f(p, q) เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ หมายความว่า ถ้า p(t), q(t) เป็นวิธีการแก้สมการแฮมิลโทเนียนของการเคลื่อนที่ ดังนั้น

${\displaystyle 0={\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}t}}}$ 

ตลอดการเคลื่อนที่ จากนั้น

${\displaystyle 0={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}f(p,q)=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$ 

อ้างอิง

1. Lanczos, Cornelius (1986), The Variational Principles of Mechanics, Dover, ISBN 978-0486650678
2. [Elias] (2007), String Theory in a Nutshell, Princeton University Press, ISBN 978-0691122304 Check |authorlink= value (help); Check |authorlink= value (help)
3. Dirac, Paul A.M. (2001), Lectures on Quantum Mechanics, Dover, ISBN 978-0486417134
4. Henneaux, Marc (1994), Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, ISBN 978-0691037691 Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
5. https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket