สมบัติการสลับที่

ในคณิตศาสตร์ สมบัติการสลับที่ (อังกฤษ: commutativity) คือกระบวนการเปลี่ยนลำดับของบางสิ่ง โดยไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลง เป็นสมบัติเบื้องต้นของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์หลายชนิด และการพิสูจน์หลายอย่างก็ขึ้นอยู่กับสมบัตินี้

ตัวอย่างแสดงสมบัติการสลับที่ของการบวก (3 + 2 = 2 + 3)

สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการพื้นฐาน อาทิการบวกหรือการคูณของจำนวน ถูกสมมติขึ้นโดยไร้ข้อกังขามาเป็นเวลายาวนาน และสมบัตินี้ไม่เคยมีการตั้งชื่อหรือการให้เหตุผลจนกระทั่งคริสต์ศตวรรษที่ 19 ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่นักคณิตศาสตร์เริ่มจัดระเบียบแบบแผนของทฤษฎีต่างๆ ทางคณิตศาสตร์

การใช้ทั่วไป

สมบัติการสลับที่ (หรือกฎการสลับที่) เป็นสมบัติที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทวิภาคและฟังก์ชัน และในทางเดียวกัน ถ้าสมบัติการสลับที่มีอยู่สำหรับสมาชิกคู่หนึ่ง ภายใต้การดำเนินการทวิภาคที่แน่นอนแล้ว เราจะกล่าวได้ว่าสมาชิกสองตัวนั้นสามารถสลับที่ (commute) บนการดำเนินการดังกล่าว

ในทฤษฎีกรุปและทฤษฎีเซต เราจะเรียกโครงสร้างเชิงพีชคณิตว่าเป็นโครงสร้างสลับที่ได้ (commutative) เมื่อมีตัวดำเนินการที่แน่นอนทำให้เกิดสมบัติการสลับที่ ในสาขาทางคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นไป เช่นคณิตวิเคราะห์หรือพีชคณิตเชิงเส้น สมบัติการสลับที่ของการดำเนินการที่รู้จักเป็นอย่างดี (อย่างการบวกและการคูณของจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน) มักจะมีการใช้งานมาก (หรือสมมติขึ้นมา) ในการพิสูจน์ต่างๆ

นิยาม

คำว่า สลับที่ (commute) หรือ สลับที่ได้ (commutative) มีการใช้งานในหลายประเด็นดังนี้

1. กำหนดการดำเนินการทวิภาค ∗ บนเซต S เราจะกล่าวว่าการดำเนินการนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก

   ${\displaystyle \forall x,y\in S:x*y=y*x\,}$ 

   ส่วนการดำเนินการที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขด้านบน จะถือว่าเป็นการดำเนินการที่ สลับที่ไม่ได้ หรือ ไม่สลับที่ (non-commutative)

2. เราอาจกล่าวได้ว่า x สามารถ สลับที่ กับ y ภายใต้การดำเนินการ ∗ ถ้าหาก

   ${\displaystyle x*y=y*x\,}$ 

3. กำหนดฟังก์ชันทวิภาค f : A×A → B เราจะกล่าวว่าฟังก์ชันนั้น สลับที่ได้ ถ้าหาก

   ${\displaystyle \forall x,y\in A:f(x,y)=f(y,x)\,}$ 

ตัวอย่าง

การดำเนินการสลับที่ได้ในชีวิตประจำวัน

• การใส่รองเท้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ได้ เพราะไม่สำคัญว่าจะใส่รองเท้าข้างซ้ายหรือข้างขวาก่อน ผลสุดท้ายก็เหมือนกันคือได้ใส่รองเท้าทั้งสองข้าง
• ในการแลกเปลี่ยนเงินตรา เราสามารถใช้ประโยชน์จากสมบัติการสลับที่ของการบวก ซึ่งไม่สำคัญว่าเราจะแลกเปลี่ยนอะไรก่อน ผลลัพธ์สุดท้ายก็จะรวมกันได้เท่าเดิม

การดำเนินการสลับที่ได้ในคณิตศาสตร์

ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่มีสมบัติการสลับที่ ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีได้แก่

• การบวกของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก

  ${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

  ตัวอย่างเช่น 4 + 5 = 5 + 4 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 9

• การคูณของจำนวนจริง สลับที่ได้เนื่องจาก

  ${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$ 

  ตัวอย่างเช่น 3 × 5 = 5 × 3 ซึ่งนิพจน์ทั้งสองข้างมีค่าเท่ากับ 15

ตัวอย่างการดำเนินการอื่นๆ เช่น การบวกและการคูณของจำนวนเชิงซ้อน การบวกของเวกเตอร์ อินเตอร์เซกชันและยูเนียนของเซต เป็นต้น

การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในชีวิตประจำวัน

 

การต่อสายอักขระ (concatenation) ไม่สามารถสลับที่ได้

• การซักผ้าและการตากผ้าก็เหมือนกับการดำเนินการสลับที่ไม่ได้ เพราะถ้าหากเราตากผ้าก่อนซักผ้า ผลลัพธ์จะต่างไปจากที่เราซักผ้าก่อนแล้วค่อยตาก
• ลูกบาศก์ของรูบิคไม่สามารถสลับที่ได้ เช่น ถ้าหากบิดส่วนหน้าตามเข็มนาฬิกา ส่วนบนตามเข็ม และส่วนหน้าทวนเข็ม (FUF') หน้าบนลูกบาศก์จะให้ผลไม่เหมือนกับการบิดส่วนหน้าตามเข็ม และบิดทวนเข็มกลับ ตามด้วยส่วนบนตามเข็ม (FF'U) ลำดับการบิดลูกบาศก์ของรูบิคจึงสลับที่ไม่ได้ เป็นกรณีหนึ่งที่มีการศึกษาในทฤษฎีกรุป

การดำเนินการสลับที่ไม่ได้ในคณิตศาสตร์

ตัวอย่างการดำเนินการทวิภาคที่ไม่มีสมบัติการสลับที่เช่น

• การลบ เพราะว่า 0 − 1 ≠ 1 − 0
• การหาร เพราะว่า 1 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 1
• การคูณของเมทริกซ์ เพราะว่า

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ 

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ

• อาบีเลียนกรุป คือกรุปที่มีการดำเนินการของกรุป ที่สลับที่ได้
• ริงสลับที่ คือริงที่มีการคูณ ที่สลับที่ได้ (สำหรับการบวกนั้นสลับที่ได้อยู่แล้วตามนิยาม)
• ในฟีลด์หนึ่งๆ ทั้งการบวกและการคูณสามารถสลับที่ได้

อ้างอิง

1. Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.
2. Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. ISBN 0-618-51471-6.
3. Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath, เข้าถึงเมื่อ 8 สิงหาคม 2550.
4. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Commute" จากแมทเวิลด์., เข้าถึงเมื่อ 8 สิงหาคม 2550.
5. Yark. Examples of non-commutative operations at PlanetMath, เข้าถึงเมื่อ 8 สิงหาคม 2550.

ดูเพิ่ม

• สมบัติการสลับที่กลับเครื่องหมาย (anticommutativity)
• สมบัติการเปลี่ยนหมู่
• สมบัติการแจกแจง