fbpx
วิกิพีเดีย

กลศาสตร์ดั้งเดิม

กลศาสตร์ดั้งเดิม หรือ กลศาสตร์นิวตัน (อังกฤษ: classical mechanics) เป็นหนึ่งในสองวิชาที่สำคัญที่สุดของกลศาสตร์ (โดยอีกวิชาหนึ่ง คือ กลศาสตร์ควอนตัม) ซึ่งอธิบายถึงการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ ภายใต้อิทธิพลจากระบบของแรง โดยวิชานี้ถือเป็นวิชาที่ครอบคลุมในด้านวิทยาศาสตร์ วิศวกรรม และเทคโนโลยีมากที่สุดวิชาหนึ่ง อีกทั้งยังเป็นวิชาที่เก่าแก่ ซึ่งมีการศึกษาในการเคลื่อนที่ของวัตถุตั้งแต่สมัยโบราณ โดยกลศาสตร์ดั้งเดิมรู้จักในวงกว้างว่า กลศาสตร์นิวตัน

ในทางฟิสิกส์ กลศาสตร์ดั้งเดิมอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่โดยแปลงการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ให้กลายเป็นส่วนของเครื่องจักรกล เหมือนกันกับวัตถุทางดาราศาสตร์ อาทิ ยานอวกาศ ดาวเคราะห์ ดาวฤกษ์ และ ดาราจักร รวมถึงครอบคลุมไปยังทุกสถานะของสสาร ทั้งของแข็ง ของเหลว และแก๊ส โดยจะให้ผลลัพธ์ที่มีความแม่นยำสูง แต่เมื่อวัตถุมีขนาดเล็กหรือมีความเร็วที่สูงใกล้เคียงกับความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมจะมีความถูกต้องที่ต่ำลง ต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมในการศึกษาแทนกลศาสตร์ดั้งเดิมเพื่อให้มีความถูกต้องในการคำนวณสูงขึ้น โดยกลศาสตร์ควอนตัมจะเหมาะสมที่จะศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ซึ่งได้ถูกปรับแต่งให้เข้ากับลักษณะของอะตอมในส่วนของความเป็นคลื่น-อนุภาคในอะตอมและโมเลกุล แต่เมื่อกลศาสตร์ทั้งสองไม่สามารถใช้ได้ จากกรณีที่วัตถุขนาดเล็กเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูง ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงเป็นตัวเลือกที่นำมาใช้ในการคำนวณแทนกลศาสตร์ทั้งสอง

คำว่า กลศาสตร์ดั้งเดิม (classical mechanics) ได้ถูกใช้เป็นครั้งแรกในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 เพื่อกล่าวถึงระบบทางฟิสิกส์ของไอแซก นิวตันและนักปรัชญาธรรมชาติคนอื่นที่อยู่ร่วมสมัยในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 17 ประกอบกับทฤษฎีทางดาราศาสตร์ในช่วงแรกเริ่มของโยฮันเนส เคปเลอร์จากข้อมูลการสังเกตที่มีความแม่นยำสูงของทือโก ปราเออ และการศึกษาในการเคลื่อนที่ต่าง ๆ ที่อยู่บนโลกของกาลิเลโอ โดยมุมมองของฟิสิกส์ได้ถูกเปลี่ยนแปลงเรื่อยมาอย่างยาวนานก่อนที่จะมีทฤษฎีสัมพัทธภาพและกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแต่เดิม ในบางแห่งทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ไม่ถูกจัดอยู่ในกลศาสตร์ดั้งเดิม แต่อย่างไรก็ตามเมื่อเวลาผ่านไป หลายแห่งเริ่มจัดให้สัมพัทธภาพเป็นกลศาสตร์ดั้งเดิมในรูปแบบที่ถูกต้อง และถูกพัฒนามากที่สุด

แต่เดิมนั้น การพัฒนาในส่วนของกลศาสตร์ดั้งเดิมมักจะกล่าวถึงกลศาสตร์นิวตัน ซึ่งมีการใช้หลักการทางฟิสิกส์ประกอบกับวิธีการทางคณิตศาสตร์โดยนิวตัน ไลบ์นิซ และบุคคลอื่นที่เกี่ยวข้อง และวิธีการปกติหลายอย่างได้ถูกพัฒนา นำมาสู่การกำหนดกลศาสตร์ครั้งใหม่ ไม่ว่าจะเป็น กลศาสตร์แบบลากรางจ์ และกลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งสิ่งเหล่านี้ได้ถูกพัฒนาขึ้นเป็นอย่างมากในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 18 และ 19 อีกทั้งได้ขยายความรู้เป็นอย่างมากพร้อมกับกลศาสตร์นิวตันโดยเฉพาะอย่างยิ่งการนำกลศาสตร์เหล่านี้ไปใช้ในกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์อีกด้วย

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม วัตถุที่อยู่ในโลกของความเป็นจริงจะถูกจำลองให้อยู่ในรูปของอนุภาคจุด (วัตถุที่ไม่มีการอ้างอิงถึงขนาด) โดยเคลื่อนที่ของอนุภาคจุดจะมีการกำหนดลักษณะเฉพาะของวัตถุ ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุ มวล และแรงที่กระทำต่อวัตถุ ซึ่งจะกำหนดไว้เป็นตัวเลขที่อาจมีหน่วยกำหนดไว้ และกล่าวถึงมาเป็นลำดับ

เมื่อมองจากความเป็นจริง วัตถุต่าง ๆ ที่กลศาสตร์ดั้งเดิมกำหนดไว้ว่าวัตถุมีขนาดไม่เป็นศูนย์เสมอ (ซึ่งถ้าวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ๆ อย่างเช่น อิเล็กตรอน กลศาสตร์ควอนตัมจะอธิบายได้อย่างแม่นยำกว่ากลศาสตร์ดั้งเดิม) วัตถุที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์จะมีความซับซ้อนในการศึกษามากกว่าอนุภาคจุดตามทฤษฎี เพราะวัตถุมีความอิสระของมันเอง (Degrees of freedom) อาทิ ลูกตะกร้อสามารถหมุนได้ขณะเคลื่อนที่หลังจากที่ถูกเดาะขึ้นไปบนอากาศ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของอนุภาคจุดสามารถใช้ในการศึกษาจำพวกวัตถุทั่วไปได้โดยสมมุติว่าเป็นวัตถุนั้น หรือสร้างอนุภาคจุดสมมุติหลาย ๆ จุดขึ้นมา ดังเช่นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่แสดงเป็นอนุภาคจุด

กลศาสตร์ดั้งเดิมใช้สามัญสำนึกเป็นแนวว่าสสารและแรงเกิดขึ้นและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร โดยตั้งสมมุติฐานว่าสสารและพลังงานมีความแน่นอน และมีคุณสมบัติที่รู้อยู่แล้ว ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ (Space) และความเร็วของวัตถุ อีกทั้งยังสามารถสมมุติว่ามีอิทธิพลโดยตรงกับสิ่งที่อยู่รอบวัตถุในขณะนั้นได้อีกด้วย (หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Principle of locality)

หลักการของกลศาสตร์ดั้งเดิม

เพื่อความง่ายในการวิเคราะห์ วัตถุที่อยู่ในโลกของความเป็นจริงจะถูกจำลองให้อยู่ในรูปของอนุภาคจุด (ไม่สนใจในขนาดของวัตถุ) โดยการเคลื่อนที่ของอนุภาคจุดจะมีการกำหนดเป็นพารามิเตอร์ที่มีค่าน้อย ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุ มวล และแรงที่กระทำต่อวัตถุ ซึ่งจะกำหนดไว้เป็นตัวเลขที่อาจมีหน่วยกำหนดไว้ และกล่าวถึงมาเป็นลำดับ

เมื่อมองจากความเป็นจริง วัตถุต่าง ๆ ที่กลศาสตร์ดั้งเดิมกำหนดไว้ว่าวัตถุมีขนาดไม่เป็นศูนย์เสมอ (ซึ่งถ้าวัตถุที่มีขนาดเล็กมาก ๆ อย่างเช่น อิเล็กตรอน กลศาสตร์ควอนตัมจะอธิบายได้อย่างถูกต้องกว่ากลศาสตร์ดั้งเดิม) วัตถุที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์จะมีความซับซ้อนในการศึกษามากกว่าอนุภาคจุดตามทฤษฎี เพราะวัตถุมีระดับความอิสระ (Degrees of freedom) ที่มาก อาทิ ลูกตะกร้อสามารถหมุนได้ขณะเคลื่อนที่หลังจากที่ถูกเดาะขึ้นไปบนอากาศ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์สำหรับอนุภาคจุดสามารถใช้ในการศึกษาจำพวกวัตถุทั่วไปได้โดยสมมุติว่าเป็นวัตถุนั้น หรือสร้างอนุภาคจุดสมมุติหลาย ๆ จุดขึ้นมา ดังเช่นจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่แสดงเป็นอนุภาคจุด

กลศาสตร์ดั้งเดิมใช้สามัญสำนึกเป็นแนวว่าสสารและแรงเกิดขึ้นและมีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร โดยตั้งสมมุติฐานว่าสสารและพลังงานมีความแน่นอน และมีคุณสมบัติที่รู้อยู่แล้ว ได้แก่ ตำแหน่งของวัตถุในปริภูมิ (Space) และความเร็วของวัตถุ อีกทั้งยังสามารถสมมุติว่ามีอิทธิพลโดยตรงกับสิ่งที่อยู่รอบวัตถุในขณะนั้นได้อีกด้วย (หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า Principle of locality)

ตำแหน่งและอนุพันธ์ของตำแหน่ง

ดูบทความหลักที่: จลน์ศาสตร์
หน่วยอนุพันธ์เอสไอที่เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์
(โดยไม่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้าหรือฟิสิกส์อุณหภาพ)
ในหน่วยของกิโลกรัม เมตร และวินาที
ตำแหน่ง เมตร
ตำแห่งเชิงมุม/มุม ไม่มีหน่วย (เรเดียน)
ความเร็ว เมตร·วินาที−1
ความเร็วเชิงมุม วินาที−1
ความเร่ง เมตร·วินาที−2
ความเร่งเชิงมุม วินาที−2
ความกระตุก (Jerk) เมตร·วินาที−3
"ความกระตุกเชิงมุม" (Angular jerk) วินาที−3
พลังงานจำเพาะ (Specific Energy) เมตร2·วินาที−2
อัตราการดูดซับ (Absorbed dose rate) เมตร2·วินาที−3
โมเมนต์ความเฉื่อย กิโลกรัม·เมตร2
โมเมนตัม กิโลกรัม·เมตร·วินาที−1
โมเมนตัมเชิงมุม กิโลกรัม·เมตร2·วินาที−1
แรง กิโลกรัม·เมตร·วินาที−2
ทอร์ก (Torque) กิโลกรัม·เมตร2·วินาที−2
พลังงาน กิโลกรัม·เมตร2·วินาที−2
กำลัง กิโลกรัม·เมตร2·วินาที−3
ความดัน และ ความหนาแน่นของพลังงาน กิโลกรัม·เมตร−1·วินาที−2
แรงตึงผิว กิโลกรัม·วินาที−2
ค่านิจสปริง (Spring constant) กิโลกรัม·วินาที−2
ความเข้มตกกระทบ (Irradiance)
และ ความเข้มของพลังงาน (Energy flux)
กิโลกรัม·วินาที−3
ความหนืดจลน์ (Kinematic Viscosity) เมตร2·วินาที−1
ความหนืดพลวัต (Dynamic Viscosity) กิโลกรัม·เมตร−1·วินาที−1
ความหนาแน่น (ความหนาแน่นมวล) กิโลกรัม·เมตร−3
ความหนาแน่น (ความหนาแน่นน้ำหนัก) กิโลกรัม·เมตร−2·วินาที−2
ค่าความหนาแน่น (Number density) เมตร−3
การกระทำ (Action) กิโลกรัม·เมตร2·วินาที-1

ตำแหน่ง ของอนุภาคจุดได้ถูกกำหนดตามจุดอ้างอิงที่กำหนดได้เองในปริภูมิ เรียกว่า จุดกำเนิด (Origin) ซึ่งในปริภูมิ จะให้ตำแหน่งอยู่ในระบบพิกัด โดยในระบบพิกัดอย่างง่ายมักกำหนดตำแหน่งวัตถุ และมีลูกศรที่มีทิศทางเป็นเวกเตอร์ในกลศาสตร์ดั้งเดิม โดยเริ่มจากจุดกำเนิดลากไปยังตำแหน่งของวัตถุ เช่น ตำแหน่ง r อยู่ในฟังก์ชันของ t (เวลา) ในสัมพัทธภาพช่วงก่อนไอน์สไตน์ (หรือเป็นที่รู้จักในชื่อ สัมพัทธภาพกาลิเลโอ) เวลาเป็นสิ่งสัมบูรณ์ คือ เวลาที่สังเกตมีระยะเท่ากันหมดในทุกผู้สังเกต ยิ่งไปกว่าเวลาสัมบูรณ์ กลศาสตร์ดั้งเดิมยังให้โครงสร้างของปริภูมิมีลักษณะโครงสร้างเป็นเรขาคณิตยูคลิดอีกด้วย

ความเร็วและอัตราเร็ว

ดูบทความหลักที่: ความเร็ว และ อัตราเร็ว

ความเร็ว หรือ อัตราการเปลี่ยนของตำแหน่งต่อเวลา ได้นิยามไว้ด้วยอนุพันธ์เวลาของตำแหน่งดังนี้

 

โดยกำหนดให้ v เป็นความเร็ว dr เป็นเวกเตอร์ระยะห่างของตำแหน่งเดิมและตำแหน่งใหม่ dt เป็นระยะเวลาที่ใช้เวลาเคลื่อนที่ไปยังตำแหน่งใหม่

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม ความเร็วสามารถเพิ่มและลดได้โดยตรง ยกตัวอย่างเช่น ถ้ารถโดยสารประจำทางสายหนึ่งเดินทางด้วยความเร็ว 40 กม./ชม.ทิศตะวันตก แล้วมีรถจักรยานยนต์คันหนึ่งเดินทางด้วยความเร็ว 25 กม./ชม. ไปยังทิศตะวันออก เมื่อมองจากรถจักรยานยนต์ซึ่งมีอัตราเร็วต่ำกว่า รถโดยสารจะเดินทางด้วยความเร็ว 40-25 = 15 กม./ชม. ด้านทิศตะวันตก อีกด้านหนึ่ง ในด้านของรถโดยสารประจำทาง จะเห็นรถจักรยานเดินทางด้วยความเร็ว 15 กม./ชม. ด้านทิศตะวันออก ดังนั้นความเร็วสามารถเพิ่มหรือลดได้เป็นปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งต้องจัดการโดยเวกเตอร์เชิงวิเคราะห์

ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าความเร็วของวัตถุแรกให้เป็น u = ud และความเร็วของวัตถุที่สองให้เป็น v = ve โดย v และ u เป็นอัตราเร็วของวัตถุแรก และวัตถุที่สองตามลำดับ และ d กับ e เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งแสดงถึงทิศทางการเคลื่อนที่ของวัตถุ ดังนั้นความเร็วของวัตถุแรกที่เห็นโดยวัตถุที่สอง คือ

 

เช่นเดียวกับวัตถุที่หนึ่งที่มองกับวัตถุที่สอง

 

เมื่อวัตถุเดินทางในทิศทางเดียวกัน สามารถทำสมการให้เป็นรูปอย่างง่ายดังนี้

 

หรือถ้าไม่คำนึงถึงทิศทาง ความต่างนี้จะอยู่ในรูปของอัตราเร็วเท่านั้น ดังสมการนี้

 

ความเร่ง

ดูบทความหลักที่: ความเร่ง

ความเร่ง หรืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วคืออนุพันธ์เวลาของความเร็ว (อนุพันธ์เวลาที่สองของตำแหน่ง) สามารถแสดงได้ดังนี้

 

โดยความเร่งจะแสดงถึงความเร็วที่เปลี่ยนแปลงไปในช่วงเวลานั้น ๆ ไม่ว่าเป็นอัตราเร็ว ทิศทางของความเร็ว หรือทั้งสองอย่าง ซึ่งถ้าความเร็วลดลงไปเรื่อย ๆ เพียงอย่างเดียว ก็สามารถเรียกได้ว่าความหน่วงเช่นกัน แต่ปกติแล้ว ทั้งความหน่วงและความเร่งมักถูกเรียกง่าย ๆ ว่าความเร่งเพียงอย่างเดียว

กรอบอ้างอิง

ดูบทความหลักที่: กรอบอ้างอิงเฉื่อย และ การแปลงแบบกาลิเลโอ

ขณะที่ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้ด้วยผู้สังเกตจากสถานะการเคลื่อนที่ใด ๆ ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมสามารถสมมุติได้ว่ากรอบอ้างอิงพิเศษที่อยู่ในธรรมชาติอยู่ในรูปแบบง่าย ๆ มีอยู่จริง โดยเรียกกรอบเหล่านี้ว่ากรอบอ้างอิงเฉื่อย จากนิยามเบื้องต้น กรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็นการมองจากสิ่ง ๆ หนึ่งที่ไม่มีแรงมากระทำมา กล่าวคือกรอบอ้างอิงเฉื่อยจะไม่เคลื่อนที่หรือเคลื่อนที่ด้วยคงที่ด้วยเส้นตรง กรอบเหล่านี้จะถูกกำหนดไว้โดยแหล่งที่สามารถยืนยันได้ที่เป็นแรงมากระทำต่อผู้สังเกต ซึ่งคือ สนาม เช่น สนามไฟฟ้า (เกิดจากประจุไฟฟ้าสถิต) สนามแม่เหล็ก (เกิดจากประจุที่เคลื่อนที่) สนามแรงโน้มถ่วง (เกิดจากมวล) และอื่น ๆ กรอบอ้างอิงไม่เฉื่อยเป็นการมองจากสิ่ง ๆ หนึ่งที่มีความเร่งโดยอ้างอิงจากกรอบอ้างอิงเฉื่อย และในกรอบอ้างอิงไม่เฉื่อย อนุภาคจะปรากฏว่ามีแรงอื่น ๆ มากระทำที่ไม่สามารถอธิบายได้โดยสนามที่มีอยู่ โดยเรียกได้หลายอย่างทั้ง แรงในนิยาย แรงเฉื่อย หรือแรงเทียม ซึ่งสมการของการเคลื่อนที่จะมีแรงเหล่านี้เพิ่มในสมการเพื่อให้ตรงต่อผลลัพธ์จากการสังเกตในกรอบที่มีความเร่ง ในทางปฏิบัติ กรอบอ้างอิงเฉื่อยขึ้นอยู่กับดาวที่อยู่ไกล (จุดที่อยู่ไกลมาก ๆ) ซึ่งไม่มีความเร่งถือเป็นการประมาณการที่ดีสำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อย

พิจารณากรอบอ้างอิงเฉื่อย 2 กรอบ คือ S และ S' ผู้สังเกตแต่ละคนจะตีกรอบเหตุการณ์ให้อยู่ในพิกัดปริภูมิ-เวลาของ (x,y,z,t) สำหรับกรอบ S และ (x',y',z',t') ในกรอบ S' โดยให้เวลาที่สังเกตนั้นเท่ากันในทุกกรอบอ้างอิง และถ้าเราให้ x = x' เมื่อ t = 0 จากนั้นความสัมพพันธ์ระหว่างพิกัดปริภูมิ-เวลาของเหตุการณ์เดียวกันที่มองจาก S และ S' ซึ่งเคลื่อนที่อยู่ด้วยความเร็วสัมพัทธ์ที่ U ในทิศทาง x คือ

 

 

 

 

โดยชุดสูตรเหล่านี้ถูกนิยามไว้ว่าเป็นการแปลงแบบกลุ่มหรือรู้จักในชื่อว่า การแปลงแบบกาลิเลโอ กลุ่มนี้มีข้อจำกัดในส่วนของกลุ่มปวงกาเร (Poincaré group) ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งข้อจำกัดที่ว่าจะมีผลเมื่อความเร็ว u มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับ c หรือความเร็วแสง

การแปลงจะมีผลที่ตามมาดังนี้

  (ความเร็ว v' ของอนุภาคจากมุมมองของ S ช้ากว่า v จากมุมมองของ S ที่เท่ากับ u)

  (ความเร่งคงที่เสมอในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)

  (แรงที่กระทำเท่าเดิมในกรอบอ้างอิงเฉื่อยใด ๆ)

ความเร็วแสงไม่ใช่ค่าคงที่ในกลศาสตร์ดั้งเดิม หรือไม่ใช่เป็นตำแหน่งพิเศษที่ถูกให้โดยความเร็วแสงในกลศาสตร์สัมพัทธภาพซึ่งตรงข้ามกับกลศาสตร์ดั้งเดิม

สำหรับบางปัญหา มันอาจจะต้องใช้พิกัดที่หมุนอยู่เป็นกรอบอ้างอิงเพื่อความสะดวกในการวิเคราะห์ปัญหา หรืออาจจะใช้กรอบอ้างอิงที่เหมาะสม หรืออาจเพิ่มแรงหนีสู่ศูนย์กลาง และ แรงโคริออลิส ซึ่งเป็นแรงเทียม

แรงในกฎข้อที่สองของนิวตัน

ดูบทความหลักที่: แรง และ กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน

นิวตันเป็นคนแรกที่อธิบายความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างแรงและโมเมนตัม นักฟิสิกส์บางคนตีความกฎการเคลื่อนที่ข้อสองของนิวตันว่าเป็นนิยามของแรงและมวล ในขณะที่คนอื่นพิจารณาให้มันเป็นสัจพจน์พื้นฐาน หากจะตีความอีกรูปแบบหนึ่งในผลที่ตามมาทางคณิตศาสตร์ที่เหมือนกัน หรือในทางประวัติศาสตร์เรียกว่า "กฎข้อที่สองของนิวตัน" ซึ่งก็คือ

 

ปริมาณ mv ถูกเรียกว่า โมเมนตัม (คาโนนิคัล) แรงลัพธ์ของอนุภาคจะเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของอนุภาคเมื่อเทียบกับเวลา เมื่อนิยามของความเร่งคือ a = dv/dt กฎสามารถเขียนในรูปที่ง่ายและคุ้นเคยกว่า คือ

 

ถ้ารู้ว่าแรงที่กระทำต่ออนุภาคมีค่าคงที่ กฎของนิวตันข้อที่สองเพียงพอที่จะอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาค แต่ถ้าแรงใดแรงหนึ่งขึ้นกับความสัมพันธ์แบบอิสระ สามารถแทนความสัมพันธ์นั้นได้ในกฎของนิวตันข้อสอง จึงได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary differential function) ซึ่งสามารถเรียกว่า สมการการเคลื่อนที่

ยกตัวอย่างในกรณีหนึ่ง สมมุติว่าแรงเสียดทานกระทำเพียงบนอนุภาคเท่านั้นและสามารถจำลองโดยใช้ฟังก์ชันของความเร็วของอนุภาค เช่น

 

โดยให้ λ เป็นค่าคงที่บวก และสถานะของเครื่องหมายลบคือความเร็วตรงกันข้ามกับเวกเตอร์อ้างอิง ดังนั้นจะได้สมการการเคลื่อนที่ว่า

 

โดยสามารถแทนเป็นความเร็วได้โดยใช้การปริพันธ์

 

โดยให้ v0 เป็นความเร็วในขณะเริ่มต้น หมายความว่าความเร็วของอนุภาคมีการลดลงเชิงเอ็กซ์โพเนนเชียล ความเร็วมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อเวลาผ่านไปนานขึ้น ในกรณีนี้ สามารถเทียบเท่าได้กับพลังงานจลน์ที่ถูกซับไปจากการเสียดทาน (กลายเป็นพลังงานความร้อนที่เกี่ยวเนื่องกับการอนุรักษ์พลังงาน) และอนุภาคเคลื่อนที่ช้าลง นิพจน์นี้สามารถทำการปริพันธ์เพิ่มเติมเพื่อแทนเป็นตำแหน่ง r ต่อฟังก์ชันของเวลา

แรงที่สำคัญจะรวมถึงแรงโน้มถ่วงและแรงลอเรนซ์สำหรับแม่เหล็กไฟฟ้า นอกจากนั้น กฎของนิวตนข้อที่สามสามารถอนุมานได้เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุ คือ ถ้ารู้ว่าอนุภาค A กระทำแรง F ต่ออนุภาค B ทำให้ B ต้องออกแรงปฏิกิริยา ซึ่งขนาดเท่ากัน แต่อยู่ในทิศตรงข้าม -F บน A รูปแบบที่เข้มแข็ง (Strong form) ของกฎข้อที่สามของนิวตัน คือ แรง F และ -F กระทำกันบนเส้นที่ลากผ่านระหว่าง A และ B ซึ่งรูปแบบอย่างอ่อนจะไม่เป็นแบบรูปแบบอย่างเข้ม มักจะพบเจอในแรงแม่เหล็ก

งานและพลังงาน

ถ้าแรงที่กระทำคงที่ F กระทำต่ออนุภาค โดยก่อให้เกิดการกระจัด Δr งานสุดท้ายโดยแรงที่กระทำนิยามเป็นผลคูณสเกลาร์ของแรงและเวกเตอร์การกระจัด ซึ่งคือ

 

เมื่อทำให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้น ถ้าแรงที่กระทำไม่คงที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งที่อนุภาคเคลื่อนที่จากจุด r1 ถึง r2 ไปตามเส้นทาง C งานสุดท้ายของอนุภาคจะถูกให้นิยามโดยปริพันธ์ตามเส้น (Line Integral) ดังนี้

 

ถ้างานสุดท้ายในการเคลื่อนที่ของอนุภาคจากจุด r1 ถึง r2 เท่าเดิมเมื่อได้เดินตามเส้นทางแล้ว แรงพวกนี้จะเรียกได้ว่าแรงอนุรักษ์ แรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์ เช่นเดียวกับแรงที่กระทำต่อสปริงในอุดมคติ ซึ่งให้โดยกฎของฮุก แต่ถ้าแรงขึ้นอยู่กับความเสียดทาน แรงนั้นจะเป็นแรงไม่อนุรักษ์

พลังงานจลน์ Ek ของอนุภาคที่มีมวล m ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ถูกให้นิยามโดย

 

แรงอนุรักษ์สามารถอธิบายได้ด้วยเกรเดียนต์ของฟังก์ชันสเกลาร์ หรือรู้จักกันในชื่อพลังงานศักย์ และแทนด้วย Ep ซึ่งก็คือ

 

ถ้าแรงทั้งหมดที่กระทำต่ออนุภาคเป็นแรงอนุรักษ์ และ Ep เป็นพลังงานศักย์ทั้งหมด (ซึ่งนิยามโดยงานของแรงที่เกี่ยวโยงสู่การย้ายตำแหน่งของวัตถุร่วมกัน) เมื่อนำพลังงานศักย์ทั้งหมดมารวมกันตรงกับแรงแต่ละแรง

 

การลดลงของพลังงานศักย์มีค่าเท่ากับการเพิ่มของพลังงานจลน์

 

สิ่งนี้รู้จักในชื่อว่า กฎการอนุรักษ์พลังงาน และสภาวะของพลังงานทั้งหมดจึงเป็น

 

ซึ่งเป็นค่าคงที่ตลอดเวลา กฎอนุรักษ์พลังงานมักจะมีประโยชน์ เพราะแรงทั่วไปที่กระทำอยู่จำนวนมากเป็นแรงอนุรักษ์

นอกเหนือจากกฎของนิวตัน

กลศาสตร์ดั้งเดิมสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนกว่านี้อย่างอนุภาคที่มีลักษณะไม่คล้ายจุด กฎของออยเลอร์ช่วยให้ขยายการใช้กฎของนิวตันในส่วนนี้ เช่นเดียวกับแนวคิดของโมเมนตัมเชิงมุมจะขึ้นอยู่กับแคลคูลัสชุดเดียวกันที่อธิบายการเคลื่อนที่ในหนึ่งมิติ สมการจรวดได้ขยายแนวคิดของอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมซึ่งมีผลกระทบ คือ การสูญเสียมวล

กลศาสตร์ดั้งเดิมได้มีการจัดรูปที่แตกต่างจากกลศาสตร์นิวตันอยู่สองแบบที่สำคัญ คือ กลศาสตร์แบบลากรางจ์ และ กลศาสตร์แฮมิลตัน ซึ่งกลศาสตร์เหล่านี้หรือการจัดรูปในยุคใหม่มักไม่ใช้แนวคิดของ "แรง" โดยจะแทนด้วยปริมาณทางฟิสิกส์อื่น ๆ เช่น พลังงาน อัตราเร็ว และ โมเมนตัม เพื่ออธิบายระบบกลไกในพิกัดทั่วไป

นิพจน์เหล่านี้ได้ถูกให้นิยามไปแล้วสำหรับโมเมนตัมและพลังงานจลน์ในส่วนก่อนหน้าซึ่งมีอยู่เมื่องไม่มีแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องอย่างมีนัยสำคัญ ในแม่เหล็กไฟฟ้า กฎของนิวตันข้อที่สองสำหรับสายสำหรับไว้ย้ายประจุไฟฟ้าจะใช้ไม่ได้เมื่อมีสนามแม่เหล็กไฟฟ้ามาเกี่ยวข้องกับโมเมนตัมของระบบซึ่งอธิบายโดยพอยน์ติงเวกเตอร์ (Poynting vector) หารด้วย c2 เมื่อ c เป็นความเร็วแสงในพื้นที่เปล่า

ข้อจำกัดของกลศาสตร์ดั้งเดิม

 
กลศาสตร์ดั้งเดิมเมื่อเปรียบเทียบกับกลศาสตร์อื่นในขอบเขตศึกษาของความเร็วและขนาดของวัตถุ

หลาย ๆ สาขาของกลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของรูปแบบที่มีความถูกต้องกว่า ซึ่งกลศาสตร์ดั้งเดิมที่มีความถูกต้องที่สุด 2 อัน คือ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และ กลศาสตร์เชิงสถิติแบบสัมพัทธภาพ เช่น ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตเป็นการประมาณของทฤษฎีควอนตัมของแสง และไม่มีรูปแบบที่ดีกว่านี้ในกลศาสตร์ดั้งเดิมอีก

เมื่อทั้งกลศาสต์ควอนตัมและกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่สามารถใช้ได้ เช่น ในระดับขนาดที่เล็กมาก ๆ ที่มีระดับความเป็นอิสระมาก ทฤษฎีสนามควอนตัมจึงถูกนำมาใช้แทน ซึ่งทฤษฎีสนามควอนตัมจะใช้ในระยะทางที่ใกล้และมีความเร็วที่สูงด้วยระดับความเป็นอิสระที่มาก พอ ๆ กับความเป็นไปได้ที่จำนวนของอนุภาคจะเปลี่ยนไปด้วยอันตรกิริยา เมื่อเปลี่ยนระดับขนาดเป็นขนาดใหญ่ขึ้น กลศาสตร์สถิติเริ่มสามารถใช้ได้ ซึ่งกลศาสตร์สถิติอธิบายพฤติกรรมของอนุภาคจำนวนมาก (แต่ยังสามารถนับได้) และปฏิกิริยาในระดับขนาดใหญ่ กลศาสตร์สถิติถูกใช้หลัก ๆ กับอุณหพลศาสตร์สำหรับระบบที่ยังอยู่ในอุณหพลศาสตร์ดั้งเดิม ในกรณีสำหรับวัตถุที่มีความเร็วสูงใกล้เคียงความเร็วแสง กลศาสตร์ดั้งเดิมถูกเพิ่มเติมโดยทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้รวมทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและกฎแรงโน้มถ่วงสากลของนิวตัน ให้นักฟิสิกส์ได้ศึกษาความโน้มถ่วงในระดับที่ลึกยิ่งขึ้น

การคาดประมาณในกลศาสตร์นิวตันกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ โมเมนตัมของอนุภาคให้นิยามโดย

 

เมื่อ m คือมวลของอนุภาคที่อยู่นิ่ง v คือความเร็วของอนุภาค และ c คือความเร็วแสง

ถ้า v มีค่าน้อยมาเมื่อเทียบกับ c ทำให้ v2/c2 มีค่าประมาณ 0 แล้ว

 

ดังนั้นสมการแบบนิวตัน p = mv เป็นการประมาณของสมการแบบสัมพัทธภาพสำหรับวัตถุที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่น้อยเมื่อเทียบกับความเร็วแสง

ยกตัวอย่างเช่น ความถี่ไซโคลตรอนแบบสัมพัทธภาพสำหรับเครื่องเร่งอนุภาคไซโคลตรอน (Cyclotron) ท่อไจโรตรอน (Gyrotron) หรือ แมกนิตรอน (Magnetron) สามารถเขียนได้ว่า

 

ซึ่ง fc คือความถี่ของอนุภาคประจุ (เช่น อิเล็กตรอน) ในกลศาสตร์ดั้งเดิมด้วยพลังงานจลน์ T และมวลที่อยู่นิ่ง m0 วิ่งวนอยู่รอบสนามแม่เหล็ก ซึ่งมวลที่อยู่นิ่งของอิเล็กตรอนมีค่าเท่ากับ 511 keV ดังนั้นความถูกต้องความถี่ของอิเล็กตรอนเท่ากับร้อยละ 1 ของท่อแม่เหล็กสูญญากาศด้วยกระแสตรงที่มีค่าความต่างศักย์ 5.11 kV

การคาดประมาณในกลศาสตร์ดั้งเดิมกับกลศาสตร์ควอนตัม

การประมาณรังสีในกลศาสตร์ดั้งเดิมใช้ไม่ได้ เมื่อความยาวคลื่นเดอบรอยไม่ได้น้อยกว่าความยาวคลื่นของมิติอื่นของระบบ สำหรับอนุภาคที่ไม่เป็นแบบสัมพัทธภาพ ความยาวคลื่นเท่ากับ

 

เมื่อ h เป็นค่าคงที่พลังก์ และ p คือโมเมนตัม

และสิ่งนี้ได้เกิดขึ้นกับอิเล็กตรอนก่อประวัติของกลศาสตร์ดั้งเดิมนที่จะขึ้นในอนุภาคหนักในภายหลัง เช่น อิเล็กตรอนที่คลินตัน เดวิสสัน และ เลสเตอร์ เจอเมอร์ใช้ใน พ.ศ. 2470 มีความต่างศักย์ 54 โวลต์ และมีความยาวคลื่น 0.167 นาโนเมตร ซึ่งมีความยาวพอที่จะเกิดการเลี้ยวเบนพูด้านข้างอันเดียว เมื่อสะท้อนจากผิวของผลึกนิกเกิลด้วยช่องว่างระหว่างอะตอม 0.215 นาโนเมตรที่ห้องสูญญากาศขนาดใหญ่ จะเห็นได้ว่ามันง่ายที่จะเพิ่มความละเอียดเชิงมุมจากประมาณเรเดียนเป็นหลักมิลลิเรเดียน และเห็นการเลี้ยวเบนควอนตัมจากรูปแบบคาบของวงจรรวมในที่เก็บความจำของคอมพิวเตอร์

เมื่อมองตัวอย่างที่ใกล้ชีวิตประจำวันมากขึ้นของความล้มเหลวในกลศาสตร์ดั้งเดิมที่มีอยู่ในอัตราส่วนวิศวกรรม คือ การทำอุโมงค์ควอนตัม (Quantum Tunneling) ภายในอุโมงค์ไดโอด และมีประตูทรานซิสเตอร์ (Transistor gate) ที่แคบมากในวงจรรวม

กลศาสตร์ดั้งเดิมเป็นการประมาณการของคลื่นที่มีความที่สูงมากและเท่าเดิมตลอดดั่งทัศนศาสตร์เรขาคณิต ซึ่งมักจะมีความถูกต้องเพราะมันอธิบายอนุภาคและวัตถุที่มวลหยุดนิ่ง ซึ่งมีโมเมนตัมมากกว่าและดังนั้นความยาวคลื่นเดอบรอยสั้นกว่าอนุภาคที่ไม่มีมวล เช่น แสงที่มีพลังงานจลน์เท่าเดิม

ประวัติ

ดูบทความหลักที่: ประวัติของกลศาสตร์ดั้งเดิม
ดูเพิ่มเติมที่: เส้นเวลาของกลศาสตร์ดั้งเดิม

สาขาวิชา

กลศาสตร์ดั้งเดิมแบ่งออกเป็นสามสาขาหลัก ดังนี้

  • สถิตยศาสตร์ ศึกษาเกี่ยวกับสภาพสมดุลภายใต้ความสัมพันธ์กับแรง
  • พลศาสตร์ ศึกษาการเคลื่อนที่ภายใต้ความสัมพันธ์กับแรง
  • จลน์ศาสตร์ เกี่ยวข้องกับการอธิบายการเคลื่อนที่ โดยไม่คำนึงถึงแรงที่ก่อให้เกิดการเคลื่อนที่นั้น

ดูเพิ่ม

กลศาสตร, งเด, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, หร, กลศาสตร, วต, งกฤษ, classical, mechanics, เป, นหน, งในสองว, ชาท, สำค, ญท,. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudklsastrdngedim hrux klsastrniwtn xngkvs classical mechanics epnhnunginsxngwichathisakhythisudkhxngklsastr odyxikwichahnung khux klsastrkhwxntm sungxthibaythungkarekhluxnthikhxngwtthutang phayitxiththiphlcakrabbkhxngaerng odywichanithuxepnwichathikhrxbkhlumindanwithyasastr wiswkrrm aelaethkhonolyimakthisudwichahnung xikthngyngepnwichathiekaaek sungmikarsuksainkarekhluxnthikhxngwtthutngaetsmyobran odyklsastrdngedimruckinwngkwangwa klsastrniwtninthangfisiks klsastrdngedimxthibaykarekhluxnthikhxngwtthukhnadihyodyaeplngkarekhluxnthitang ihklayepnswnkhxngekhruxngckrkl ehmuxnknkbwtthuthangdarasastr xathi yanxwkas dawekhraah dawvks aela darackr rwmthungkhrxbkhlumipyngthuksthanakhxngssar thngkhxngaekhng khxngehlw aelaaeks odycaihphllphththimikhwamaemnyasung aetemuxwtthumikhnadelkhruxmikhwamerwthisungiklekhiyngkbkhwamerwaesng klsastrdngedimcamikhwamthuktxngthitalng txngichklsastrkhwxntminkarsuksaaethnklsastrdngedimephuxihmikhwamthuktxnginkarkhanwnsungkhun odyklsastrkhwxntmcaehmaasmthicasuksakarekhluxnthikhxngwtthuthimikhnadelkmak sungidthukprbaetngihekhakblksnakhxngxatxminswnkhxngkhwamepnkhlun xnuphakhinxatxmaelaomelkul aetemuxklsastrthngsxngimsamarthichid cakkrnithiwtthukhnadelkekhluxnthidwykhwamerwsung thvsdisnamkhwxntmcungepntweluxkthinamaichinkarkhanwnaethnklsastrthngsxngkhawa klsastrdngedim classical mechanics idthukichepnkhrngaerkinchwngtnkhriststwrrsthi 20 ephuxklawthungrabbthangfisikskhxngixaesk niwtnaelankprchyathrrmchatikhnxunthixyurwmsmyinchwngkhriststwrrsthi 17 prakxbkbthvsdithangdarasastrinchwngaerkerimkhxngoyhnens ekhpelxrcakkhxmulkarsngektthimikhwamaemnyasungkhxngthuxok praexx aelakarsuksainkarekhluxnthitang thixyubnolkkhxngkalielox odymummxngkhxngfisiksidthukepliynaeplngeruxymaxyangyawnankxnthicamithvsdismphththphaphaelaklsastrkhwxntm sungaetedim inbangaehngthvsdismphththphaphkhxngixnsitnimthukcdxyuinklsastrdngedim aetxyangirktamemuxewlaphanip hlayaehngerimcdihsmphththphaphepnklsastrdngediminrupaebbthithuktxng aelathukphthnamakthisudaetedimnn karphthnainswnkhxngklsastrdngedimmkcaklawthungklsastrniwtn sungmikarichhlkkarthangfisiksprakxbkbwithikarthangkhnitsastrodyniwtn ilbnis aelabukhkhlxunthiekiywkhxng aelawithikarpktihlayxyangidthukphthna namasukarkahndklsastrkhrngihm imwacaepn klsastraebblakrangc aelaklsastraehmiltn sungsingehlaniidthukphthnakhunepnxyangmakinchwngkhriststwrrsthi 18 aela 19 xikthngidkhyaykhwamruepnxyangmakphrxmkbklsastrniwtnodyechphaaxyangyingkarnaklsastrehlaniipichinklsastrechingwiekhraahxikdwyinklsastrdngedim wtthuthixyuinolkkhxngkhwamepncringcathukcalxngihxyuinrupkhxngxnuphakhcud wtthuthiimmikarxangxingthungkhnad odyekhluxnthikhxngxnuphakhcudcamikarkahndlksnaechphaakhxngwtthu idaek taaehnngkhxngwtthu mwl aelaaerngthikrathatxwtthu sungcakahndiwepntwelkhthixacmihnwykahndiw aelaklawthungmaepnladbemuxmxngcakkhwamepncring wtthutang thiklsastrdngedimkahndiwwawtthumikhnadimepnsunyesmx sungthawtthuthimikhnadelkmak xyangechn xielktrxn klsastrkhwxntmcaxthibayidxyangaemnyakwaklsastrdngedim wtthuthimikhnadimepnsunycamikhwamsbsxninkarsuksamakkwaxnuphakhcudtamthvsdi ephraawtthumikhwamxisrakhxngmnexng Degrees of freedom xathi luktakrxsamarthhmunidkhnaekhluxnthihlngcakthithukedaakhunipbnxakas xyangirktam phllphthkhxngxnuphakhcudsamarthichinkarsuksacaphwkwtthuthwipidodysmmutiwaepnwtthunn hruxsrangxnuphakhcudsmmutihlay cudkhunma dngechncudsunyklangmwlkhxngwtthuthiaesdngepnxnuphakhcudklsastrdngedimichsamysanukepnaenwwassaraelaaerngekidkhunaelamiptismphnthknxyangir odytngsmmutithanwassaraelaphlngnganmikhwamaennxn aelamikhunsmbtithiruxyuaelw idaek taaehnngkhxngwtthuinpriphumi Space aelakhwamerwkhxngwtthu xikthngyngsamarthsmmutiwamixiththiphlodytrngkbsingthixyurxbwtthuinkhnannidxikdwy hruxeriykxikxyanghnungwa Principle of locality enuxha 1 hlkkarkhxngklsastrdngedim 1 1 taaehnngaelaxnuphnthkhxngtaaehnng 1 1 1 khwamerwaelaxtraerw 1 1 2 khwamerng 1 1 3 krxbxangxing 1 2 aernginkdkhxthisxngkhxngniwtn 1 3 nganaelaphlngngan 1 4 nxkehnuxcakkdkhxngniwtn 2 khxcakdkhxngklsastrdngedim 2 1 karkhadpramaninklsastrniwtnkbthvsdismphththphaphphiess 2 2 karkhadpramaninklsastrdngedimkbklsastrkhwxntm 3 prawti 4 sakhawicha 5 duephimhlkkarkhxngklsastrdngedim aekikhephuxkhwamngayinkarwiekhraah wtthuthixyuinolkkhxngkhwamepncringcathukcalxngihxyuinrupkhxngxnuphakhcud imsnicinkhnadkhxngwtthu odykarekhluxnthikhxngxnuphakhcudcamikarkahndepnpharamietxrthimikhanxy idaek taaehnngkhxngwtthu mwl aelaaerngthikrathatxwtthu sungcakahndiwepntwelkhthixacmihnwykahndiw aelaklawthungmaepnladbemuxmxngcakkhwamepncring wtthutang thiklsastrdngedimkahndiwwawtthumikhnadimepnsunyesmx sungthawtthuthimikhnadelkmak xyangechn xielktrxn klsastrkhwxntmcaxthibayidxyangthuktxngkwaklsastrdngedim wtthuthimikhnadimepnsunycamikhwamsbsxninkarsuksamakkwaxnuphakhcudtamthvsdi ephraawtthumiradbkhwamxisra Degrees of freedom thimak xathi luktakrxsamarthhmunidkhnaekhluxnthihlngcakthithukedaakhunipbnxakas xyangirktam phllphthsahrbxnuphakhcudsamarthichinkarsuksacaphwkwtthuthwipidodysmmutiwaepnwtthunn hruxsrangxnuphakhcudsmmutihlay cudkhunma dngechncudsunyklangmwlkhxngwtthuthiaesdngepnxnuphakhcudklsastrdngedimichsamysanukepnaenwwassaraelaaerngekidkhunaelamiptismphnthknxyangir odytngsmmutithanwassaraelaphlngnganmikhwamaennxn aelamikhunsmbtithiruxyuaelw idaek taaehnngkhxngwtthuinpriphumi Space aelakhwamerwkhxngwtthu xikthngyngsamarthsmmutiwamixiththiphlodytrngkbsingthixyurxbwtthuinkhnannidxikdwy hruxeriykxikxyanghnungwa Principle of locality taaehnngaelaxnuphnthkhxngtaaehnng aekikh dubthkhwamhlkthi clnsastr hnwyxnuphnthexsixthiekiywkhxngkbklsastr odyimekiywkhxngkbthvsdiaemehlkiffahruxfisiksxunhphaph inhnwykhxngkiolkrm emtr aelawinathi taaehnng emtrtaaehngechingmum mum immihnwy erediyn khwamerw emtr winathi 1khwamerwechingmum winathi 1khwamerng emtr winathi 2khwamerngechingmum winathi 2khwamkratuk Jerk emtr winathi 3 khwamkratukechingmum Angular jerk winathi 3phlngngancaephaa Specific Energy emtr2 winathi 2xtrakardudsb Absorbed dose rate emtr2 winathi 3omemntkhwamechuxy kiolkrm emtr2omemntm kiolkrm emtr winathi 1omemntmechingmum kiolkrm emtr2 winathi 1aerng kiolkrm emtr winathi 2thxrk Torque kiolkrm emtr2 winathi 2phlngngan kiolkrm emtr2 winathi 2kalng kiolkrm emtr2 winathi 3khwamdn aela khwamhnaaennkhxngphlngngan kiolkrm emtr 1 winathi 2aerngtungphiw kiolkrm winathi 2khanicspring Spring constant kiolkrm winathi 2khwamekhmtkkrathb Irradiance aela khwamekhmkhxngphlngngan Energy flux kiolkrm winathi 3khwamhnudcln Kinematic Viscosity emtr2 winathi 1khwamhnudphlwt Dynamic Viscosity kiolkrm emtr 1 winathi 1khwamhnaaenn khwamhnaaennmwl kiolkrm emtr 3khwamhnaaenn khwamhnaaennnahnk kiolkrm emtr 2 winathi 2khakhwamhnaaenn Number density emtr 3karkratha Action kiolkrm emtr2 winathi 1taaehnng khxngxnuphakhcudidthukkahndtamcudxangxingthikahndidexnginpriphumi eriykwa cudkaenid Origin sunginpriphumi caihtaaehnngxyuinrabbphikd odyinrabbphikdxyangngaymkkahndtaaehnngwtthu aelamiluksrthimithisthangepnewketxrinklsastrdngedim odyerimcakcudkaenidlakipyngtaaehnngkhxngwtthu echn taaehnng r xyuinfngkchnkhxng t ewla insmphththphaphchwngkxnixnsitn hruxepnthiruckinchux smphththphaphkalielox ewlaepnsingsmburn khux ewlathisngektmirayaethaknhmdinthukphusngekt yingipkwaewlasmburn klsastrdngedimyngihokhrngsrangkhxngpriphumimilksnaokhrngsrangepnerkhakhnityukhlidxikdwy khwamerwaelaxtraerw aekikh dubthkhwamhlkthi khwamerw aela xtraerwkhwamerw hrux xtrakarepliynkhxngtaaehnngtxewla idniyamiwdwyxnuphnthewlakhxngtaaehnngdngniv d r d t displaystyle mathbf v mathrm d mathbf r over mathrm d t odykahndih v epnkhwamerw dr epnewketxrrayahangkhxngtaaehnngedimaelataaehnngihm dt epnrayaewlathiichewlaekhluxnthiipyngtaaehnngihminklsastrdngedim khwamerwsamarthephimaelaldidodytrng yktwxyangechn tharthodysarpracathangsayhnungedinthangdwykhwamerw 40 km chm thistawntk aelwmirthckryanyntkhnhnungedinthangdwykhwamerw 25 km chm ipyngthistawnxxk emuxmxngcakrthckryanyntsungmixtraerwtakwa rthodysarcaedinthangdwykhwamerw 40 25 15 km chm danthistawntk xikdanhnung indankhxngrthodysarpracathang caehnrthckryanedinthangdwykhwamerw 15 km chm danthistawnxxk dngnnkhwamerwsamarthephimhruxldidepnprimanewketxr sungtxngcdkarodyewketxrechingwiekhraahinthangkhnitsastr thakhwamerwkhxngwtthuaerkihepn u ud aelakhwamerwkhxngwtthuthisxngihepn v ve ody v aela u epnxtraerwkhxngwtthuaerk aelawtthuthisxngtamladb aela d kb e epnewketxrhnunghnwysungaesdngthungthisthangkarekhluxnthikhxngwtthu dngnnkhwamerwkhxngwtthuaerkthiehnodywtthuthisxng khuxu u v displaystyle mathbf u mathbf u mathbf v echnediywkbwtthuthihnungthimxngkbwtthuthisxngv v u displaystyle mathbf v mathbf v mathbf u emuxwtthuedinthanginthisthangediywkn samarththasmkarihepnrupxyangngaydngniu u v d displaystyle mathbf u u v mathbf d hruxthaimkhanungthungthisthang khwamtangnicaxyuinrupkhxngxtraerwethann dngsmkarniu u v displaystyle u u v khwamerng aekikh dubthkhwamhlkthi khwamerngkhwamerng hruxxtrakarepliynaeplngkhxngkhwamerwkhuxxnuphnthewlakhxngkhwamerw xnuphnthewlathisxngkhxngtaaehnng samarthaesdngiddngnia d v d t d 2 r d t 2 displaystyle mathbf a mathrm d mathbf v over mathrm d t mathrm d 2 mathbf r over mathrm d t 2 odykhwamerngcaaesdngthungkhwamerwthiepliynaeplngipinchwngewlann imwaepnxtraerw thisthangkhxngkhwamerw hruxthngsxngxyang sungthakhwamerwldlngiperuxy ephiyngxyangediyw ksamartheriykidwakhwamhnwngechnkn aetpktiaelw thngkhwamhnwngaelakhwamerngmkthukeriykngay wakhwamerngephiyngxyangediyw krxbxangxing aekikh dubthkhwamhlkthi krxbxangxingechuxy aela karaeplngaebbkalieloxkhnathitaaehnng khwamerw aelakhwamerngkhxngxnuphakhsamarthxthibayiddwyphusngektcaksthanakarekhluxnthiid sungklsastrdngedimsamarthsmmutiidwakrxbxangxingphiessthixyuinthrrmchatixyuinrupaebbngay mixyucring odyeriykkrxbehlaniwakrxbxangxingechuxy cakniyamebuxngtn krxbxangxingechuxyepnkarmxngcaksing hnungthiimmiaerngmakrathama klawkhuxkrxbxangxingechuxycaimekhluxnthihruxekhluxnthidwykhngthidwyesntrng krxbehlanicathukkahndiwodyaehlngthisamarthyunynidthiepnaerngmakrathatxphusngekt sungkhux snam echn snamiffa ekidcakpracuiffasthit snamaemehlk ekidcakpracuthiekhluxnthi snamaerngonmthwng ekidcakmwl aelaxun krxbxangxingimechuxyepnkarmxngcaksing hnungthimikhwamerngodyxangxingcakkrxbxangxingechuxy aelainkrxbxangxingimechuxy xnuphakhcapraktwamiaerngxun makrathathiimsamarthxthibayidodysnamthimixyu odyeriykidhlayxyangthng aernginniyay aerngechuxy hruxaerngethiym sungsmkarkhxngkarekhluxnthicamiaerngehlaniephiminsmkarephuxihtrngtxphllphthcakkarsngektinkrxbthimikhwamerng inthangptibti krxbxangxingechuxykhunxyukbdawthixyuikl cudthixyuiklmak sungimmikhwamerngthuxepnkarpramankarthidisahrbkrxbxangxingechuxyphicarnakrxbxangxingechuxy 2 krxb khux S aela S phusngektaetlakhncatikrxbehtukarnihxyuinphikdpriphumi ewlakhxng x y z t sahrbkrxb S aela x y z t inkrxb S odyihewlathisngektnnethakninthukkrxbxangxing aelathaeraih x x emux t 0 caknnkhwamsmphphnthrahwangphikdpriphumi ewlakhxngehtukarnediywknthimxngcak S aela S sungekhluxnthixyudwykhwamerwsmphthththi U inthisthang x khuxx x u t displaystyle x x ut y y displaystyle y y z z displaystyle z z t t displaystyle t t odychudsutrehlanithukniyamiwwaepnkaraeplngaebbklumhruxruckinchuxwa karaeplngaebbkalielox klumnimikhxcakdinswnkhxngklumpwngkaer Poincare group thiichinthvsdismphththphaphphiess sungkhxcakdthiwacamiphlemuxkhwamerw u mikhanxymakemuxethiybkb c hruxkhwamerwaesngkaraeplngcamiphlthitammadngniv v u displaystyle mathbf v v u khwamerw v khxngxnuphakhcakmummxngkhxng S chakwa v cakmummxngkhxng S thiethakb u a a displaystyle mathbf a a khwamerngkhngthiesmxinkrxbxangxingechuxyid F F displaystyle mathbf F F aerngthikrathaethaediminkrxbxangxingechuxyid khwamerwaesngimichkhakhngthiinklsastrdngedim hruximichepntaaehnngphiessthithukihodykhwamerwaesnginklsastrsmphththphaphsungtrngkhamkbklsastrdngedimsahrbbangpyha mnxaccatxngichphikdthihmunxyuepnkrxbxangxingephuxkhwamsadwkinkarwiekhraahpyha hruxxaccaichkrxbxangxingthiehmaasm hruxxacephimaernghnisusunyklang aela aerngokhrixxlis sungepnaerngethiym aernginkdkhxthisxngkhxngniwtn aekikh dubthkhwamhlkthi aerng aela kdkarekhluxnthikhxngniwtnniwtnepnkhnaerkthixthibaykhwamsmphnththangkhnitsastrrahwangaerngaelaomemntm nkfisiksbangkhntikhwamkdkarekhluxnthikhxsxngkhxngniwtnwaepnniyamkhxngaerngaelamwl inkhnathikhnxunphicarnaihmnepnscphcnphunthan hakcatikhwamxikrupaebbhnunginphlthitammathangkhnitsastrthiehmuxnkn hruxinthangprawtisastreriykwa kdkhxthisxngkhxngniwtn sungkkhuxF d p d t d m v d t displaystyle mathbf F mathrm d mathbf p over mathrm d t mathrm d m mathbf v over mathrm d t priman mv thukeriykwa omemntm khaonnikhl aernglphthkhxngxnuphakhcaethakbxtrakarepliynaeplngkhxngomemntmkhxngxnuphakhemuxethiybkbewla emuxniyamkhxngkhwamerngkhux a dv dt kdsamarthekhiyninrupthingayaelakhunekhykwa khuxF m a displaystyle mathbf F m mathbf a tharuwaaerngthikrathatxxnuphakhmikhakhngthi kdkhxngniwtnkhxthisxngephiyngphxthicaxthibaykarekhluxnthikhxngxnuphakh aetthaaerngidaernghnungkhunkbkhwamsmphnthaebbxisra samarthaethnkhwamsmphnthnnidinkdkhxngniwtnkhxsxng cungidsmkarechingxnuphnthsamy Ordinary differential function sungsamartheriykwa smkarkarekhluxnthiyktwxyanginkrnihnung smmutiwaaerngesiydthankrathaephiyngbnxnuphakhethannaelasamarthcalxngodyichfngkchnkhxngkhwamerwkhxngxnuphakh echnF R l v displaystyle mathbf F mathrm R lambda mathbf v odyih l epnkhakhngthibwk aelasthanakhxngekhruxnghmaylbkhuxkhwamerwtrngknkhamkbewketxrxangxing dngnncaidsmkarkarekhluxnthiwa l v m a m d v d t displaystyle lambda mathbf v m mathbf a m operatorname d mathbf v over operatorname d t odysamarthaethnepnkhwamerwidodyichkarpriphnthv v 0 e l t m displaystyle mathbf v mathbf v 0 e lambda t over m odyih v0 epnkhwamerwinkhnaerimtn hmaykhwamwakhwamerwkhxngxnuphakhmikarldlngechingexksophennechiyl khwamerwmikhaekhaikl 0 emuxewlaphanipnankhun inkrnini samarthethiybethaidkbphlngnganclnthithuksbipcakkaresiydthan klayepnphlngngankhwamrxnthiekiywenuxngkbkarxnurksphlngngan aelaxnuphakhekhluxnthichalng niphcnnisamarththakarpriphnthephimetimephuxaethnepntaaehnng r txfngkchnkhxngewlaaerngthisakhycarwmthungaerngonmthwngaelaaernglxernssahrbaemehlkiffa nxkcaknn kdkhxngniwtnkhxthisamsamarthxnumanidepnaerngthikrathatxwtthu khux tharuwaxnuphakh A krathaaerng F txxnuphakh B thaih B txngxxkaerngptikiriya sungkhnadethakn aetxyuinthistrngkham F bn A rupaebbthiekhmaekhng Strong form khxngkdkhxthisamkhxngniwtn khux aerng F aela F krathaknbnesnthilakphanrahwang A aela B sungrupaebbxyangxxncaimepnaebbrupaebbxyangekhm mkcaphbecxinaerngaemehlk nganaelaphlngngan aekikh dubthkhwamhlkthi ngan fisiks phlngngancln aela phlngnganskythaaerngthikrathakhngthi F krathatxxnuphakh odykxihekidkarkracd Dr ngansudthayodyaerngthikrathaniyamepnphlkhunseklarkhxngaerngaelaewketxrkarkracd sungkhuxW F D r displaystyle W mathbf F cdot Delta mathbf r emuxthaihxyuinrupthwipmakkhun thaaerngthikrathaimkhngthiepnfngkchnkhxngtaaehnngthixnuphakhekhluxnthicakcud r1 thung r2 iptamesnthang C ngansudthaykhxngxnuphakhcathukihniyamodypriphnthtamesn Line Integral dngniW C F r d r displaystyle W int C mathbf F r cdot mathrm d mathbf r thangansudthayinkarekhluxnthikhxngxnuphakhcakcud r1 thung r2 ethaedimemuxidedintamesnthangaelw aerngphwknicaeriykidwaaerngxnurks aerngonmthwngepnaerngxnurks echnediywkbaerngthikrathatxspringinxudmkhti sungihodykdkhxnghuk aetthaaerngkhunxyukbkhwamesiydthan aerngnncaepnaerngimxnurksphlngngancln Ek khxngxnuphakhthimimwl m thiekhluxnthidwykhwamerw v thukihniyamodyE k 1 2 m v 2 displaystyle E mathrm k 1 over 2 mv 2 aerngxnurkssamarthxthibayiddwyekrediyntkhxngfngkchnseklar hruxruckkninchuxphlngngansky aelaaethndwy Ep sungkkhuxF E p displaystyle mathbf F nabla E mathrm p thaaerngthnghmdthikrathatxxnuphakhepnaerngxnurks aela Ep epnphlngnganskythnghmd sungniyamodyngankhxngaerngthiekiywoyngsukaryaytaaehnngkhxngwtthurwmkn emuxnaphlngnganskythnghmdmarwmkntrngkbaerngaetlaaerngF D r E p D r D E p displaystyle mathbf F cdot Delta mathbf r nabla E mathrm p cdot Delta mathbf r Delta E mathrm p karldlngkhxngphlngnganskymikhaethakbkarephimkhxngphlngngancln D E p D E k D E k E p 0 displaystyle Delta E mathrm p Delta E mathrm k Rightarrow Delta E mathrm k E mathrm p 0 singniruckinchuxwa kdkarxnurksphlngngan aelasphawakhxngphlngnganthnghmdcungepn E E k E p displaystyle sum E E mathrm k E mathrm p sungepnkhakhngthitlxdewla kdxnurksphlngnganmkcamipraoychn ephraaaerngthwipthikrathaxyucanwnmakepnaerngxnurks nxkehnuxcakkdkhxngniwtn aekikh klsastrdngedimsamarthxthibaykarekhluxnthithisbsxnkwanixyangxnuphakhthimilksnaimkhlaycud kdkhxngxxyelxrchwyihkhyaykarichkdkhxngniwtninswnni echnediywkbaenwkhidkhxngomemntmechingmumcakhunxyukbaekhlkhulschudediywknthixthibaykarekhluxnthiinhnungmiti smkarcrwdidkhyayaenwkhidkhxngxtrakarepliynaeplngkhxngomemntmsungmiphlkrathb khux karsuyesiymwlklsastrdngedimidmikarcdrupthiaetktangcakklsastrniwtnxyusxngaebbthisakhy khux klsastraebblakrangc aela klsastraehmiltn sungklsastrehlanihruxkarcdrupinyukhihmmkimichaenwkhidkhxng aerng odycaaethndwyprimanthangfisiksxun echn phlngngan xtraerw aela omemntm ephuxxthibayrabbklikinphikdthwipniphcnehlaniidthukihniyamipaelwsahrbomemntmaelaphlngnganclninswnkxnhnasungmixyuemuxngimmiaemehlkiffamaekiywkhxngxyangminysakhy inaemehlkiffa kdkhxngniwtnkhxthisxngsahrbsaysahrbiwyaypracuiffacaichimidemuxmisnamaemehlkiffamaekiywkhxngkbomemntmkhxngrabbsungxthibayodyphxyntingewketxr Poynting vector hardwy c2 emux c epnkhwamerwaesnginphunthieplakhxcakdkhxngklsastrdngedim aekikh klsastrdngedimemuxepriybethiybkbklsastrxuninkhxbekhtsuksakhxngkhwamerwaelakhnadkhxngwtthuhlay sakhakhxngklsastrdngedimepnkarpramankarkhxngrupaebbthimikhwamthuktxngkwa sungklsastrdngedimthimikhwamthuktxngthisud 2 xn khux thvsdismphththphaphphiess aela klsastrechingsthitiaebbsmphththphaph echn thsnsastrechingerkhakhnitepnkarpramankhxngthvsdikhwxntmkhxngaesng aelaimmirupaebbthidikwaniinklsastrdngedimxikemuxthngklsastkhwxntmaelaklsastrdngedimimsamarthichid echn inradbkhnadthielkmak thimiradbkhwamepnxisramak thvsdisnamkhwxntmcungthuknamaichaethn sungthvsdisnamkhwxntmcaichinrayathangthiiklaelamikhwamerwthisungdwyradbkhwamepnxisrathimak phx kbkhwamepnipidthicanwnkhxngxnuphakhcaepliynipdwyxntrkiriya emuxepliynradbkhnadepnkhnadihykhun klsastrsthitierimsamarthichid sungklsastrsthitixthibayphvtikrrmkhxngxnuphakhcanwnmak aetyngsamarthnbid aelaptikiriyainradbkhnadihy klsastrsthitithukichhlk kbxunhphlsastrsahrbrabbthiyngxyuinxunhphlsastrdngedim inkrnisahrbwtthuthimikhwamerwsungiklekhiyngkhwamerwaesng klsastrdngedimthukephimetimodythvsdismphththphaphphiess thvsdismphththphaphthwipidrwmthvsdismphththphaphphiessaelakdaerngonmthwngsaklkhxngniwtn ihnkfisiksidsuksakhwamonmthwnginradbthilukyingkhun karkhadpramaninklsastrniwtnkbthvsdismphththphaphphiess aekikh inthvsdismphththphaphphiess omemntmkhxngxnuphakhihniyamodyp m v 1 v 2 c 2 displaystyle mathbf p m mathbf v over sqrt 1 v 2 over c 2 emux m khuxmwlkhxngxnuphakhthixyuning v khuxkhwamerwkhxngxnuphakh aela c khuxkhwamerwaesngtha v mikhanxymaemuxethiybkb c thaih v2 c2 mikhapraman 0 aelwp m v displaystyle mathbf p approx m mathbf v dngnnsmkaraebbniwtn p mv epnkarpramankhxngsmkaraebbsmphththphaphsahrbwtthuthiekhluxnthidwykhwamerwthinxyemuxethiybkbkhwamerwaesngyktwxyangechn khwamthiisokhltrxnaebbsmphththphaphsahrbekhruxngerngxnuphakhisokhltrxn Cyclotron thxicortrxn Gyrotron hrux aemknitrxn Magnetron samarthekhiynidwaf f c m 0 m 0 T c 2 displaystyle f f mathrm c m 0 over m 0 T over c 2 sung fc khuxkhwamthikhxngxnuphakhpracu echn xielktrxn inklsastrdngedimdwyphlngngancln T aelamwlthixyuning m0 wingwnxyurxbsnamaemehlk sungmwlthixyuningkhxngxielktrxnmikhaethakb 511 keV dngnnkhwamthuktxngkhwamthikhxngxielktrxnethakbrxyla 1 khxngthxaemehlksuyyakasdwykraaestrngthimikhakhwamtangsky 5 11 kV karkhadpramaninklsastrdngedimkbklsastrkhwxntm aekikh karpramanrngsiinklsastrdngedimichimid emuxkhwamyawkhlunedxbrxyimidnxykwakhwamyawkhlunkhxngmitixunkhxngrabb sahrbxnuphakhthiimepnaebbsmphththphaph khwamyawkhlunethakbl h p displaystyle lambda h over p emux h epnkhakhngthiphlngk aela p khuxomemntmaelasingniidekidkhunkbxielktrxnkxprawtikhxngklsastrdngedimnthicakhuninxnuphakhhnkinphayhlng echn xielktrxnthikhlintn edwissn aela elsetxr ecxemxrichin ph s 2470 mikhwamtangsky 54 owlt aelamikhwamyawkhlun 0 167 naonemtr sungmikhwamyawphxthicaekidkareliywebnphudankhangxnediyw emuxsathxncakphiwkhxngphluknikekildwychxngwangrahwangxatxm 0 215 naonemtrthihxngsuyyakaskhnadihy caehnidwamnngaythicaephimkhwamlaexiydechingmumcakpramanerediynepnhlkmillierediyn aelaehnkareliywebnkhwxntmcakrupaebbkhabkhxngwngcrrwminthiekbkhwamcakhxngkhxmphiwetxremuxmxngtwxyangthiiklchiwitpracawnmakkhunkhxngkhwamlmehlwinklsastrdngedimthimixyuinxtraswnwiswkrrm khux karthaxuomngkhkhwxntm Quantum Tunneling phayinxuomngkhidoxd aelamipratuthransisetxr Transistor gate thiaekhbmakinwngcrrwmklsastrdngedimepnkarpramankarkhxngkhlunthimikhwamthisungmakaelaethaedimtlxddngthsnsastrerkhakhnit sungmkcamikhwamthuktxngephraamnxthibayxnuphakhaelawtthuthimwlhyudning sungmiomemntmmakkwaaeladngnnkhwamyawkhlunedxbrxysnkwaxnuphakhthiimmimwl echn aesngthimiphlngnganclnethaedimprawti aekikhdubthkhwamhlkthi prawtikhxngklsastrdngedimduephimetimthi esnewlakhxngklsastrdngedimsakhawicha aekikhklsastrdngedimaebngxxkepnsamsakhahlk dngni sthitysastr suksaekiywkbsphaphsmdulphayitkhwamsmphnthkbaerng phlsastr suksakarekhluxnthiphayitkhwamsmphnthkbaerng clnsastr ekiywkhxngkbkarxthibaykarekhluxnthi odyimkhanungthungaerngthikxihekidkarekhluxnthinnduephim aekikh fisiksrabbphlwt Dynamical systems prawtikhxngklsastrdngedim raychuxsmkarinklsastrdngedim raychuxsingtiphimphthiekiywkhxngkbklsastrdngedim phlwtomelkul kdkarekhluxnthikhxngniwtn thvsdismphththphaphphiess klsastrkhwxntm thvsdisnamkhwxntm bthkhwamekiywkbfisiksniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy fisiksekhathungcak https th wikipedia org w index php title klsastrdngedim amp oldid 9451571, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม