การหมุนควงลาร์เมอร์

การหมุนควงลาร์เมอร์ (Larmor precession) เป็นการหมุนควงของเวกเตอร์โมเมนต์แม่เหล็กรอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอก พบได้ในอิเล็กตรอน มิวออน และอะตอม จากทฤษฎี เมื่อมีสนามแม่เหล็กจากภายนอกมากระทำกับโมเมนต์แม่เหล็ก จะทำให้เกิดทอร์ก

ทิศทางการหมุนควงรอบแกนของอนุภาคที่มีประจุเป็นลบ

${\displaystyle {\vec {\Gamma }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}=\gamma {\vec {J}}\times {\vec {B}}}$

โดยที่ ${\displaystyle {\vec {\Gamma }}}$ แทนทอร์ก ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ แทนโมเมนต์ขั้วคู่แม่เหล็ก ${\displaystyle {\vec {J}}}$ แทนโมเมนตัมเชิงมุม ${\displaystyle {\vec {B}}}$ แทนสนามแม่เหล็กภายนอก และ ${\displaystyle \ \gamma }$ แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติกซึ่งเป็นอัตราส่วนที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็ก

ความถี่ลาร์เมอร์

เวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ${\displaystyle {\vec {J}}}$  จะหมุนควง (คือ มีจุดหนึ่งยันกับแกนอ้างอิง ที่เหลือหมุนไปรอบ ๆ ในลักษณะกวาดเป็นรูปทรงกรวย) รอบเส้นสนามแม่เหล็กจากภายนอกด้วยความถี่เชิงมุมค่าหนึ่ง เรียกความถี่นี้ว่าความถี่ลาร์เมอร์ (Larmor frequency) ความถี่ลาร์เมอร์กำหนดตามสมการ

${\displaystyle \omega =-\gamma B}$ 

หรือ

${\displaystyle \omega ={\frac {egB}{2m}}}$ 

โดยที่ ${\displaystyle \omega }$  แทนความถี่ลาร์เมอร์ ${\displaystyle \gamma =-{\frac {eg}{2m}}}$  แทนอัตราส่วนไจโรแมกเนติก อัตราส่วนใจโรแมกเนติกคำนวณจากตัวแปรต่อไปนี้คือ ${\displaystyle m}$  แทนมวล ${\displaystyle -e}$  แทนประจุมูลฐาน ${\displaystyle B}$  แทนขนาดของสนามแม่เหล็ก และ ${\displaystyle g}$  เป็นตัวประกอบจี ซึ่งปกติอยู่ที่ 1 สำหรับอนุภาคเดี่ยว แต่จะเป็นค่าอื่นเมื่ออนุภาครวมตัวเป็นนิวเคลียส ค่าจีไม่สามารถคำนวณได้โดยตรง แต่สามารถวัดได้ ซึ่งสมบัติในข้อนี้เป็นส่วนสำคัญของสเปกโทรสโคปีด้วยวิธีการสั่นพ้องของนิวเคลียสโดยใช้สนามแม่เหล็ก (NMR spectroscopy)

การหมุนควงลาร์เมอร์แบบซับซ้อน

สมการข้างต้นเป็นสมการความถี่ของการหมุนควงลาร์เมอร์แบบที่ใช้โดยทั่วไป ซึ่งยังไม่ได้คิดการหมุนควงโทมัส (Thomas precession) ซึ่งกำหนดตามสมการ

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}}$ 

โดยที่ ${\displaystyle \gamma }$  เป็นตัวประกอบลอเรนซ์ (Lorentz factor) ซึ่งเป็นค่าที่คำนวณในสัมพัทธภาพพิเศษ Lorentz factor (ระวังสับสนกับอัตราส่วนไจโรแมกเนติก) มีข้อสังเกตอย่างหนึ่งคือ ถ้าค่า g = 2 แล้วความถี่ของการหมุนควงจะได้เป็น

${\displaystyle \omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}}$ 

สมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ

การหมุนควงลาร์เมอร์ของอิเล็กตรอนโดยสนามแม่เหล็กไฟฟ้าจากภายนอก อธิบายได้ตามสมการบาร์กมันน์-มิเชล-เทเลกดิ หรือสมการบีเอ็มที (Bargmann–Michel–Telegdi equation; BMT equation) ซึ่งเขียนได้ว่า

${\displaystyle {\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda },}$ 

โดยที่ ${\displaystyle a^{\tau }}$ , ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle m}$ , and ${\displaystyle \mu }$  แทนเวกเตอร์สี่มิติแทนโพลาไรเซชัน, ประจุ, มวล และโมเมนต์แม่เหล็ก ${\displaystyle u^{\tau }}$  เป็นความเร็วสี่มิติของอิเล็กตรอน ${\displaystyle a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1}$ , ${\displaystyle u^{\tau }a_{\tau }=0}$ , และ ${\displaystyle F^{\tau \sigma }}$  แทนเทนเซอร์ขนาดของสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ต่อไป จากสมการการเคลื่อนที่

${\displaystyle m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma },}$ 

ทำให้ได้ว่า พจน์แรกของด้านขวาสมการบีเอ็มที สามารถเขียนใหม่ได้เป็น ${\displaystyle (-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }}$ โดยที่ ${\displaystyle w^{\tau }=du^{\tau }/ds}$  เป็นเวกเตอร์สี่มิติของความเร่ง อนึ่ง พจน์แรกด้านขวาสมการบีเอ็มที แสดงถึงปรากฎการณ์ขนส่งแฟร์มี-วอล์กเกอร์ (Fermi–Walker transport) ซึ่งทำให้เกิดการหมุนควงโทมัส ส่วนพจน์ที่สองแสดงถึงการหมุนควงลาร์เมอร์

หากสนามแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแบบสม่ำเสมอ (ขนาดเท่ากัน ทิศทางเดียวกันตลอด) หรือในกรณีที่ต้องการไม่คิดถึงผลของแรงจากความต่างศักย์ ${\displaystyle \nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})}$  การเคลื่อนที่แบบเลื่อนตำแหน่งของอนุภาคสามารถอธิบายได้โดยสมการ

${\displaystyle {du^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}F^{\alpha \beta }u_{\beta }\;.}$ 

จากนั้น สมการบีเอ็มทีสามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle {\;\,dS^{\alpha } \over d\tau }={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}\;,}$ 

การประยุกต์ใช้

เลฟ ลันเดา และเอฟเกนี ลิฟชิตซ์ (Evgeny Lifshitz) ได้พยากรณ์การค้นพบการหมุนควงลาร์เมอร์ในสารเฟอร์โรแมกเนติก เมื่อปี พ.ศ. 2478 ซึ่ง 11 ปีต่อมาได้มีการทดลองเพื่อพิสูจน์ยืนยันข้อความดังกล่าว

ความถี่ลาร์มอร์เป็นสมบัติของนิวเคลียสซึ่งใช้ในการศึกษาการสร้างภาพด้วยการสั่นพ้องผ่านสนามแม่เหล็ก อิเล็กตรอนพาราแมกเนติกเรโซแนนซ์ และมิวออนสปินสเปกโทรสโคปี

เชิงอรรถ

1. Spin Dynamics, Malcolm H. Levitt, Wiley, 2001
2. Louis N. Hand and Janet D. Finch. (1998). Analytical Mechanics. Cambridge, England: Cambridge University Press. p. 192. ISBN 978-0-521-57572-0.
3. V. Bargmann, L. Michel, and V. L. Telegdi, Precession of the Polarization of Particles Moving in a Homogeneous Electromagnetic Field, Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).
4. Jackson, J. D., Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley, 1999, p. 563.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Georgia State University HyperPhysics page on Larmor Frequency
• Larmor Frequency Calculator
• here รายการไอโซโทปที่พบในการสั่นพ้องนิวเคลียสโดยใช้แม่เหล็ก