การแจกแจงปรกติ

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น การแจกแจงปรกติ (อังกฤษ: normal distribution) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าแบบต่อเนื่อง โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มมีแนวโน้มที่จะมีค่าอยู่ใกล้ ๆ กับค่า ๆ หนึ่ง (เรียกว่าค่ามัชฌิม) กราฟแสดงค่าฟังก์ชันความหนาแน่น (probability density function) จะเป็นรูปคล้ายระฆังคว่ำ หรือเรียกว่า Gaussian function โดยค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปรกติ ได้แก่

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น The red line is the standard normal distribution
ฟังก์ชันแจกแจงสะสม Colors match the image above
สัญกรณ์:	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}$
ตัวแปรเสริม:	μ ∈ R — mean (location) σ^2 > 0 — variance (squared scale)
ฟังก์ชันค้ำจุน:	x ∈ R
pdf:	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$
cdf:	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\Big [}1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2}}}}{\Big )}{\Big ]}}$
ค่าเฉลี่ย:	μ
มัธยฐาน:	μ
ฐานนิยม:	μ
ความแปรปรวน:	σ^2
ความเบ้:	0
ความโด่งส่วนเกิน:	0
เอนโทรปี:	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi e\,\sigma ^{2})}$
mgf:	${\displaystyle \exp\{\mu t+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}}$
cf:	${\displaystyle \exp\{i\mu t-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}\}}$
Fisher information:	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$

โดย "x" แทนตัวแปรสุ่ม พารามิเตอร์ μ แสดงค่ามัชฌิม และ σ² คือค่าความแปรปรวน (variance) ซึ่งเป็นค่าที่ใช้บอกปริมาณการกระจายของการแจกแจง การแจกแจงปรกติที่มีค่า μ = 0 และ σ² = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน

การแจกแจงปรกติเป็นการแจกแจงที่เด่นที่สุดในทางวิชาความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ ซึ่งก็มาจากหลาย ๆ เหตุผล ซึ่งก็รวมถึงผลจากทฤษฎีบทขีดจํากัดกลาง (central limit theorem) ที่กล่าวว่า ภายใต้สภาพทั่ว ๆ ไปแล้ว ค่าเฉลี่ยจากการสุ่มค่าของตัวแปรสุ่มอิสระจากการแจกแจงใด ๆ (ที่มีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนจำกัด) ถ้าจำนวนการสุ่มนั้นใหญ่พอ แล้วค่าเฉลี่ยนั้นจะมีการแจกแจงประมาณได้เป็นการแจกแจงปรกติ

ลักษณะที่สำคัญของการแจกแจงปรกติ

1. ${\displaystyle f(x)>0}$  ทุกค่าของ ${\displaystyle x}$ 
2. ${\displaystyle f(x)}$  ลดลงเรื่อย ๆ ถ้าค่า ${\displaystyle x}$  ห่างจาก ${\displaystyle \mu }$  เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ
3. ${\displaystyle f(x)}$  สมมาตรที่ ${\displaystyle \mu }$  คือ ${\displaystyle f(\mu +x=f(\mu -x)}$  ทุกค่า ${\displaystyle x}$ 
4. เมื่อ ${\displaystyle x=\mu }$  แล้ว ${\displaystyle f(x)}$  จะมีค่าสูงสุด และ ${\displaystyle \mu }$  มีค่าเท่ากับมัธยฐาน กับ ฐานนิยม
5. ถ้า ${\displaystyle \sigma }$  ลดลง ส่วนโค้งจะแคบลงด้วย
6. พื้นที่ใต้ส่วนโค้งระหว่าง

• ${\displaystyle \mu -\sigma }$  กับ ${\displaystyle \mu +\sigma =0.68}$ 
• ${\displaystyle \mu -2\sigma }$  กับ ${\displaystyle \mu +2\sigma =0.95}$ 
• ${\displaystyle \mu -3\sigma }$  กับ ${\displaystyle \mu +3\sigma =0.99}$ 

อ้างอิง

1. Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical inference (2nd ed.). Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.

ดูเพิ่ม

• การแจกแจงปรกติหลายตัวแปร