ข้อความคาดการณ์

ข้อความคาดการณ์ (อังกฤษ: conjecture) ในคณิตศาสตร์ คือ ข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ถูกเสนอว่าเป็นจริง แต่ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ ข้อคาดการณ์หลายข้อเป็นปัญหาผลักดันให้เกิดคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ๆ ตามมา เช่นในกรณี ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา หรือ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

ข้อความคาดการณ์อาจพิสูจน์ได้ในภายหลังว่าเป็นจริง เช่นในกรณี ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา หรือ ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ในขณะที่บางข้อความคาดการณ์อาจไม่จริง เช่น ข้อความคาดการณ์ของออยเลอร์ ในบางครั้งข้อคาดการณ์บางข้อกลับเป็นอิสระจากสัจพจน์พื้นฐานในคณิตศาสตร์ (เช่น เป็นอิสระจากสัจพจน์ใน ZF) ทำให้ข้อความดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์หรือยกตัวอย่างค้านได้ เช่น สมมติฐานความต่อเนื่อง

ข้อความคาดการณ์ที่มีชื่อเสียง

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

ดูบทความหลักที่: ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา กล่าวว่า ไม่มีจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle a,b}$  และ ${\displaystyle c}$  ที่สอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$  ทุกจำนวนเต็ม ${\displaystyle n>2}$ 

ข้อความคาดการณ์นี้ตั้งขึ้นโดย ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ในปี ค.ศ. 1637 โดยอ้างว่ามีบทพิสูจน์แต่มีเนื้อที่เขียนในขอบกระดาษไม่เพียงพอ บทพิสูจน์ที่สมบูรณ์นั้นปรากฏในปี ค.ศ. 1994 โดย แอนดรูว์ ไวลส์

สมมติฐานของรีมันน์

ดูบทความหลักที่: สมมติฐานของรีมันน์

สมมติฐานของรีมันน์ เสนอว่า ทุก ๆ รากของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ที่ไม่ใช่รากชัดแจ้ง ต้องมีส่วนจริงเท่ากับ 1/2

แบร์นฮาร์ด รีมันน์ได้เสนอข้อความคาดการณ์นี้ในปี ค.ศ. 1859 ปัจจุบันยังเป็นปัญหาเปิดที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน

ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค

ดูบทความหลักที่: ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค

ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค (Goldbach's conjecture) เป็นข้อความคาดการณ์ในทฤษฎีจำนวน ซึ่งประกอบด้วยข้อความคาดการณ์ 2 อันที่เกี่ยวเนื่องกัน ได้แก่ ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อน (weak Goldbach conjecture) ที่กล่าวว่า ทุกจำนวนคี่ที่มากกว่า 5 สามารถเขียนได้ในรูปของผลบวกของจำนวนเฉพาะสามจำนวน และ ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบเข้ม (strong Goldbach conjecture) ซึ่งกล่าวว่า ทุกจำนวนคู่ที่มากกว่า 2 จะสามารถเขียนในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนได้ ข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อนเป็นผลโดยตรงจากข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบเข้ม

ปัญหาข้อนี้เสนอโดย คริสเตียน ก็อลท์บัค ในจดหมายจากเขาถึง เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี ค.ศ. 1742 ปัจจุบันมีบทพิสูจน์ของข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัคแบบอ่อนโดย ฮาราล์ด เฮลฟ์กอดท์ ในปี ค.ศ. 2013

ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

ดูบทความหลักที่: ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เสนอว่า ทุก 3-แมนิโฟลด์ที่มีสมบัติเป็นแมนิโฟลด์เชื่อมโยงอย่างง่ายและเป็นเซตปิดจะสมานสัณฐานกับ 3-sphere (ทรงกลมในปริภูมิสี่มิติ)

อ็องรี ปวงกาเร ตั้งข้อคาดการณ์นี้ในปี ค.ศ. 1904 ก่อนจะได้รับการพิสูจน์ว่าจริงโดย กริกอรี เพเรลมาน ผ่านพรีพรินต์ในปี ค.ศ. 2002-2003 ก่อนจะได้รับการยืนยันว่าจริงในปี ค.ศ. 2006

สมมติฐานความต่อเนื่อง

ดูบทความหลักที่: สมมติฐานความต่อเนื่อง

สมมติฐานความต่อเนื่อง เป็นสมมติฐานเกี่ยวกับขนาดของเซตอนันต์ ซึ่งกล่าวว่า ไม่มีเซตใดมีภาวะเชิงการนับ (cardinality) อยูระหว่างขนาดของเซตของจำนวนเต็ม และเซตของจำนวนจริง

สมมติฐานความต่อเนื่อถูกตั้งเป็นข้อคาดการณ์โดย เกออร์ก คันตอร์ ในปี ค.ศ. 1878 ก่อนที่จะพบว่าข้อความนี้เป็นอิสระจากสัจพจน์อื่น ๆ ของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลพร้อมกับสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) จากบทพิสูจน์ว่า สมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถหักล้างได้จากสัจพจน์ใน ZFC ของควร์ท เกอเดิล และ สมมติฐานความต่อเนื่องไม่สามารถพิสูจน์ได้จากสัจพจน์ใน ZFC ของ พอล โคเฮน

ข้อความคาดการณ์ของเวย์

ดูบทความหลักที่: ข้อความคาดการณ์ของเวย์

ข้อคาดการณ์ของเวย์เป็นข้อความคาดการณ์หลายข้อที่ อ็องเดร เวย์ เสนอไว้ในปี ค.ศ. 1949 เกี่ยวกับฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ที่นิยามบนวาไรตีเชิงพีชคณิตเหนือฟีลด์จำกัด ข้อคาดการณ์นี้เสนอว่า ฟังก์ชันซีตาเหล่านี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะ จะสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันรูปแบบหนึ่ง จะสอดคล้องกับเงื่อนไขเกี่ยวข้องกับจำนวนเบตตี และมีผลเฉลยอยู่ในบริเวณจำกัดคล้ายกับในสมมติฐานของรีมันน์

ความเป็นฟังก์ชันตรรกยะพิสูจน์โดย เบอร์นาร์ด ดวอร์ก ข้อคาดการณ์เกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชันและความเชื่อมโยงกับจำนวนเบตตีพิสูจน์โดย อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก และส่วนเหมือนของสมมติฐานรีมันน์พิสูจน์โดย ปิแยร์ เดอลิญน์

ข้อความคาดการณ์ที่มีชื่อเสียงอื่น ๆ ได้แก่

• ไม่มีจำนวนสมบูรณ์คี่
• ปัญหาสี่สี
• ข้อความคาดการณ์ของคอลลาตซ์
• ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด
• P ≠ NP
• ข้อความคาดการณ์ของฮาร์ดี-ลิตเติลวูด ประกอบด้วยสองข้อความคาดการณ์ย่อยที่พิสูจน์ได้แล้วว่า ไม่เป็นจริงพร้อมกันทั้งคู่
• ข้อความคาดการณ์ของเคปเลอร์ (ได้รับการพิสูจน์แล้ว ในปี ค.ศ. 1998 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกัน ทอมัส แคลลิสเตอร์ เฮลส์)

อ้างอิง

1. "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Conjecture". Math Vault. 1 August 2019.
2. Weisstein, Eric W. "Fermat's Last Theorem". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ).
3. Hosch, William L. "Riemann hypothesis | mathematics". Encyclopedia Britannica (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 9 February 2021.
4. Weisstein, Eric W. "Goldbach Conjecture". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ).
5. Helfgott, H. A. (17 January 2014). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 [math].
6. Stillwell, John. "Poincaré and the early history of 3-manifolds". Bulletin of the American Mathematical Society (ภาษาอังกฤษ). pp. 555–576. doi:10.1090/S0273-0979-2012-01385-X.
7. Goldrei, Derek. Classic set theory : a guided independent study (1st ed.). London: Chapman & Hall. ISBN 978-0412606106.