fbpx
วิกิพีเดีย

คณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Mathematics) เป็นศาสตร์ที่ครอบคลุมการค้นคว้าเกี่ยวกับ ปริมาณ โครงสร้าง การเปลี่ยนแปลง และปริภูมิ คณิตศาสตร์ไม่มีคำนิยามที่เป็นที่ยอมรับกันทั่วไป กล่าวคร่าว ๆ ได้ว่าคณิตศาสตร์นั้นสนใจ "รูปร่างและจำนวน" และเนื่องจากคณิตศาสตร์มิได้สร้างความรู้ผ่านกระบวนการทดลอง บางคนจึงไม่จัดว่าคณิตศาสตร์เป็นสาขาของวิทยาศาสตร์

ยูคลิด (กำลังถือคาลิเปอร์) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ในสมัย 300 ปีก่อนคริสตกาล ภาพวาดของราฟาเอลในชื่อ โรงเรียนแห่งเอเธนส์

คณิตศาสตร์ในปัจจุบันเป็นคณิตศาสตร์ที่ยึดโยงกับโครงสร้างนามธรรมที่ถูกกำหนดขึ้นผ่านทางกลุ่มของสัจพจน์ และอาศัยการให้เหตุผลที่รัดกุมโดยใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ และสัญกรณ์คณิตศาสตร์

โครงสร้างต่าง ๆ ที่นักคณิตศาสตร์สนใจและพิจารณานั้น มักจะมีต้นกำเนิดจากวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และสังคมศาสตร์ โดยเฉพาะฟิสิกส์ และเศรษฐศาสตร์ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน ยังเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และทฤษฎีการสื่อสาร อีกด้วย

เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ยังถูกจัดว่าเป็นศาสตร์สัมบูรณ์ โดยไม่จำเป็นต้องมีการอ้างถึงใด ๆ จากโลกภายนอก นักคณิตศาสตร์กำหนดและพิจารณาโครงสร้างบางประเภท สำหรับใช้ในคณิตศาสตร์เองโดยเฉพาะ เนื่องจากโครงสร้างเหล่านี้ อาจทำให้สามารถอธิบายสาขาย่อย ๆ หลาย ๆ สาขาได้ในภาพรวม หรือเป็นประโยชน์ในการคำนวณพื้นฐาน

ที่มาของคำ

คำว่า "คณิตศาสตร์" (คำอ่าน: คะ-นิด-ตะ-สาด) มาจากคำว่า คณิต (การนับ หรือ คำนวณ) และ ศาสตร์ (ความรู้ หรือ การศึกษา) ซึ่งรวมกันมีความหมายโดยทั่วไปว่า การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณ หรือ วิชาที่เกี่ยวกับการคำนวณ ส่วนในภาษาอังกฤษ คำว่าคณิตศาสตร์ตรงกับคำว่า mathematics ซึ่งมาจากคำภาษากรีกโบราณ μάθημα (máthēma ) ซึ่งดั้งเดิมหมายถึง "สิ่งที่ได้เรียน" "สิ่งที่จะได้ทราบ" จึงขยายความหมายออกไปรวมถึงความหมาย "วิทยาศาสตร์, ความรู้, และการเรียน"

ในอเมริกาเหนือนิยมย่อคำว่า mathematics ว่า math ส่วนประเทศอื่น ๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษนิยมย่อว่า maths

จุดมุ่งหมายของคณิตศาสตร์

ดูบทความหลักที่: ความงดงามของคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์มีจุดเริ่มต้นจากปัญหาจำนวนมากที่หลากหลาย ในยุคแรกเริ่มคณิตศาสตร์มาจากความจำเป็นเพื่อการค้า การรังวัดที่ดิน สถาปัตยกรรมศาสตร์และดาราศาสตร์ ในขณะที่ปัจจุบัน วิทยาศาสตร์เป็นสาขาสำคัญที่เสนอปัญหาและนำไปสู่การค้นคว้าหัวข้อใหม่ ๆ สำหรับนักคณิตศาสตร์ ทั้งนี้ยังไม่รวมถึงข้อปัญหาที่เกิดขึ้นจากการศึกษาคณิตศาสตร์ในตัวมันเองของนักคณิตศาสตร์ด้วย

ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ ผ่านทางการวิจัยและการประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมืออันหนึ่งของวิทยาศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การคิดค้นทางคณิตศาสตร์ไม่จำเป็นต้องมีเป้าหมายอยู่ที่การนำไปใช้ทางวิทยาศาสตร์ (ดู คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์)

นอกจากนี้ นักคณิตศาสตร์หลายคนก็ทำงานเพื่อเป้าหมายเชิงสุนทรียภาพเท่านั้น โดยมองว่าคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์เชิงศิลปะ มากกว่าที่จะเป็นศาสตร์เพื่อการนำไปประยุกต์ใช้ (ดังเช่น จี. เอช. ฮาร์ดี ที่ได้กล่าวไว้ในหนังสือ A Mathematician's Apology) ; แรงผลักดันในการทำงานเช่นนี้ มีลักษณะไม่ต่างไปจากที่กวีและนักปรัชญาได้ประสบ และเป็นสิ่งที่ไม่สามารถอธิบายได้ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (รัสเซีย) กล่าวว่า คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์ ในหนังสือ Ideas and Opinions ของเขา

ประวัติ

พัฒนาการ

 
นักคณิตศาสตร์กรีกพีทาโกรัส (ค.ศ. 570 - ค.ศ. 495 ก่อนคริสต์ศักราช) ได้รับการยกย่องในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับการค้นพบทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem)

วิวัฒนาการของคณิตศาสตร์อาจถูกมองว่าเป็นชุดของการเพิ่มขึ้นของภาวะนามธรรมหรืออาจเป็นการขยายตัวของวิชาที่เกี่ยวกับสสาร ภาวะนามธรรมที่เกิดขึ้นเป็นครั้งแรกนั้น, มีส่วนเกี่ยวข้องกับสัตว์หลาย ๆ ชนิด, เป็นความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับจำนวน

สาขาของคณิตศาสตร์

ดูบทความหลักที่: สาขาของคณิตศาสตร์

ในเชิงภาพรวมอาจกล่าวได้ว่า คณิตศาสตร์สามารถแบ่งออกเป็นสาขาย่อย ๆ ตามสิ่งที่ศึกษาได้เป็น การศึกษาปริมาณ โครงสร้าง ปริภูมิและความเปลี่ยนแปลง ซึ่งตรงกับสาขาเลขคณิต พีชคณิต เรขาคณิต และคณิตวิเคราะห์ตามลำดับ นอกจากนี้เราอาจพิจารณาคณิตศาสตร์ผ่านความสมพันธ์กับสาขาอื่น ๆ เช่น คณิตตรรกศาสตร์กับตรรกศาสตร์ คณิตศาสตร์ประยุกต์กับวิทยาศาสตร์ ปัจจุบันเราพบว่าหลายสาขาของคณิตศาสตร์ที่ดูผิวเผินจะไม่เกี่ยวข้องกัน กลับสัมพันธ์กันอย่างลึกซึ้ง เช่น กรุปกาลัวส์ พื้นผิวรีมันน์และทฤษฎีจำนวน ซึ่งดูแยกออกจากกันโดยสิ้นเชิงนั้น เกี่ยวเนื่องกันผ่านมุมมองของโปรแกรมแลงแลนดส์

รากฐานและปรัชญา

ดูบทความหลักที่: รากฐานของคณิตศาสตร์
หลังจากการพัฒนาทฤษฎีเซตในปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้ทฤษฎีเซตกลายเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่สำคัญมากที่สุดในรูปแบบหนึ่ง ความพยายามทำความเข้าใจรากฐานนี้ส่งผลให้เกิดการศึกษาคณิตตรรกศาสตร์ และปรัชญาคณิตศาสตร์

ปรัชญาของคณิตศาสตร์

     
คณิตตรรกศาสตร์ ทฤษฎีเซต ทฤษฎีแคทิกอรี ทฤษฎีการคำนวณ
ปรัชญาคณิตศาสตร์ - รากฐานของคณิตศาสตร์ - ทฤษฎีเซต - ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ - ทฤษฎีโมเดล - ทฤษฎีแคทิกอรี - ตรรกศาสตร์

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ดูบทความหลักที่: คณิตศาสตร์บริสุทธิ์

ปริมาณ ระบบจำนวนและทฤษฎีจำนวน

ดูบทความหลักที่: ทฤษฎีจำนวน
การศึกษาเกี่ยวกับปริมาณเริ่มต้นจากจำนวน จำนวนแรก ๆ คือจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติ   ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี ก่อนจะขยายไปสู่จำนวนเต็ม   และการดำเนินการที่เกี่ยวข้อง เช่น การบวก การลบ การคูณ การหาร ซึ่งเรีกยรวมว่าเป็นการศึกษาเลขคณิต สมบัติที่ซับซ้อนมากขึ้นของจำนวนเต็มถูกศึกษาในวิชาทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงเช่น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา นอกจากนี้ทฤษฎีจำนวนยังมีข้อความคาดการณ์จำนวนมากที่ยังแก้ไม่ได้ เช่น ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝด และข้อความคาดการณ์ของก็อลท์บัค
ระบบจำนวนได้รับการพัฒนาเพิ่มขึ้นเป็นระบบจำนวนตรรกยะหรือเศษส่วน   และในภายหลังเป็นส่วนหนึ่งของระบบจำนวนจริง   อีกที ซึ่งกำหนดให้เป็นลิมิตของลำดับของจำนวนตรรกยะและเป็นระบบจำนวนที่มีความต่อเนื่อง ระบบจำนวนจริงถูกขยายนัยทั่วไปเป็นระบบจำนวนเชิงซ้อน   และจากทฤษฎีบทหลักมูลของพีชคณิต ทุกสมการพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน และไม่ใช่พหุนามคงตัวจะมีรากเสมอ
ระบบจำนวนนับยังถูกขยายต่อโดยแบ่งตามสมบัติที่เกี่ยวข้อง เนื่องจากจำนวนนับมีหน้าที่ได้สองแบบ คือ จำนวนนับใช้เพื่อบ่งบอกจำนวนของวัตถุในกลุ่ม ๆ หนึ่ง และจำนวนนับใช้เพื่อบ่งบอกอันดับของวัตถุในกลุ่ม ๆ หนึ่ง แนวคิดแรกนำไปสู่จำนวนเชิงการนับซึ่งสามารถใช้เปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์ได้ และแนวคิดหลักนำไปสู่แนวคิดเรื่องจำนวนเชิงอันดับที่
           
จำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงการนับ
จำนวน - จำนวนธรรมชาติ - จำนวนเต็ม - จำนวนตรรกยะ - จำนวนจริง - จำนวนเชิงซ้อน - จำนวนเชิงพีชคณิต - ควอเทอร์เนียน - ออกโทเนียน - จำนวนเชิงอันดับที่ - จำนวนเชิงการนับ - ลำดับของจำนวนเต็ม - ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ - อนันต์

โครงสร้าง

ดูบทความหลักที่: พีชคณิต
สาขาเหล่านี้ ศึกษาขนาดและความสมมาตรของจำนวนและวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ
พีชคณิตนามธรรม - ทฤษฎีจำนวน - ทฤษฎีกรุป - ทอพอโลยี - พีชคณิตเชิงเส้น - ทฤษฎีแคทิกอรี - ทฤษฎีอันดับ

ปริภูมิ

ดูบทความหลักที่: เรขาคณิต
สาขาเหล่านี้ มักใช้วิธีการเชิงรูปภาพมากกว่าในสาขาอื่น ๆ
ทอพอลอยี - เรขาคณิต - ตรีโกณมิติ - เรขาคณิตเชิงพีชคณิต - เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ - ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ - ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต - พีชคณิตเชิงเส้น - เรขาคณิตสาทิสรูป

ความเปลี่ยนแปลง

ดูบทความหลักที่: คณิตวิเคราะห์
หัวข้อเหล่านี้ เกี่ยวข้องกับการวัดความเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ และความเปลี่ยนแปลงระหว่างจำนวน
แคลคูลัส - แคลคูลัสเวกเตอร์ - คณิตวิเคราะห์ - การวิเคราะห์เชิงจริง - การวิเคราะห์เชิงซ้อน - ทฤษฎีเมเชอร์ - การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน - การวิเคราะห์ฟูร์ริเยร์ - สมการเชิงอนุพันธ์ - ระบบพลวัติ - ทฤษฎีความอลวน - รายการฟังก์ชัน

วิยุตคณิต

วิยุตคณิต คือแขนงของคณิตศาสตร์ที่สนใจวัตถุที่มีค่าเฉพาะเจาะจงที่แตกต่างกัน
       
คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีการคำนวณ วิทยาการเข้ารหัสลับ ทฤษฎีกราฟ
คณิตศาสตร์เชิงการจัด - ทฤษฎีการคำนวณ - วิทยาการเข้ารหัสลับ - ทฤษฎีกราฟ

คณิตศาสตร์ประยุกต์

สาขาในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาในโลกของความเป็นจริง
คณิตศาสตร์ฟิสิกส์ - กลศาสตร์ - กลศาสตร์ของไหล - การวิเคราะห์เชิงตัวเลข - การหาค่าเหมาะที่สุด - ความน่าจะเป็น - สถิติศาสตร์ - คณิตศาสตร์การเงิน - ทฤษฎีเกม - คณิตศาสตร์ชีววิทยา - วิทยาการเข้ารหัสลับ - ทฤษฎีข้อมูล - ทฤษฎีระบบควบคุม


เครื่องมือทางคณิตศาสตร์

อ้างอิง

  1. ไม่มีภาพหรือคำบรรยายลักษณะรูปร่างของยุคลิดหลงเหลือมายังปัจจุบัน ดังนั้นภาพยุคลิดในงานศิลปะทั้งหมดมาจากจินตนาการของผู้เขียน (ดูเพิ่มที่ ยุคลิด)
  2. Mura, Roberta (1993). "Images of mathematics held by university teachers of mathematical sciences". Educational Studies in Mathematics (ภาษาอังกฤษ). 25 (4): 375–385. doi:10.1007/BF01273907. ISSN 0013-1954.
  3. "mathematic | Origin and meaning of mathematic by Online Etymology Dictionary". www.etymonline.com (ภาษาอังกฤษ).
  4. S. Dehaene; G. Dehaene-Lambertz; L. Cohen (Aug 1998). "Abstract representations of numbers in the animal and human brain". Trends in Neuroscience. 21 (8): 355–361. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. PMID 9720604.

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

ภาษาไทย

ภาษาอื่น

  • สารานุกรมคณิตศาสตร์ (อังกฤษ)
  • The Mathematical Atlas - แนะนำสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่
  • Planet Math 2005-06-07 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน - สารานุกรมคณิตศาสตร์ เน้นคณิตศาสตร์สมัยใหม่
  • MathWorld - สารานุกรมคณิตศาสตร์ เน้นคณิตศาสตร์ดั้งเดิม
  • Metamath - อธิบาย และพิสูจน์หลักการทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ อย่างเป็นขั้นเป็นตอน
  • Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles - บทความ และเกมคณิตศาสตร์ เล่นออนไลน์ได้

ชุมชนไทย

  • ศูนย์กลางคณิตศาสตร์ไทย - เว็บไซต์สำหรับผู้มีใจรักคณิตศาสตร์
  • เครื่องคิดเลข - เว็บไซต์สำหรับคำนวณเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

คณ, ตศาสตร, บทความน, ได, บแจ, งให, ปร, บปร, งหลายข, กร, ณาช, วยปร, บปร, งบทความ, หร, ออภ, ปรายป, ญหาท, หน, าอภ, ปราย, บทความน, องการจ, ดร, ปแบบข, อความ, การจ, ดหน, การแบ, งห, วข, การจ, ดล, งก, ภายใน, และอ, บทความน, งขาดแหล, งอ, างอ, งเพ, อพ, จน, ความถ, กต, อง,. bthkhwamniidrbaecngihprbprunghlaykhx krunachwyprbprungbthkhwam hruxxphipraypyhathihnaxphipray bthkhwamnitxngkarcdrupaebbkhxkhwam karcdhna karaebnghwkhx karcdlingkphayin aelaxun bthkhwamniyngkhadaehlngxangxingephuxphisucnkhwamthuktxngkhnitsastr xngkvs Mathematics epnsastrthikhrxbkhlumkarkhnkhwaekiywkb priman okhrngsrang karepliynaeplng aelapriphumi khnitsastrimmikhaniyamthiepnthiyxmrbknthwip 2 klawkhraw idwakhnitsastrnnsnic ruprangaelacanwn aelaenuxngcakkhnitsastrmiidsrangkhwamruphankrabwnkarthdlxng bangkhncungimcdwakhnitsastrepnsakhakhxngwithyasastryukhlid kalngthuxkhaliepxr nkkhnitsastrchawkrik insmy 300 pikxnkhristkal phaphwadkhxngrafaexlinchux orngeriynaehngexethns 1 khnitsastrinpccubnepnkhnitsastrthiyudoyngkbokhrngsrangnamthrrmthithukkahndkhunphanthangklumkhxngscphcn aelaxasykarihehtuphlthirdkumodyichtrrksastrsylksn aelasykrnkhnitsastrokhrngsrangtang thinkkhnitsastrsnicaelaphicarnann mkcamitnkaenidcakwithyasastrthrrmchati aelasngkhmsastr odyechphaafisiks aelaesrsthsastr pyhathangkhnitsastrinpccubn yngekiywkhxngkbkarprayuktichinsakhawithyakarkhxmphiwetxr aelathvsdikarsuxsar xikdwyenuxngcakkhnitsastrnnichtrrksastrsylksnaelasykrnkhnitsastr sungthaihkickrrmthukxyangkrathaphanthangkhntxnthichdecn eracungsamarthphicarnakhnitsastrwa epnrabbphasathiephimkhwamaemnyaaelachdecnihkbphasathrrmchati phanthangsphthaelaiwyakrnbangxyang sahrbkarxthibayaelasuksakhwamsmphnththngthangkayphaphaelanamthrrm khwamhmaykhxngkhnitsastrnnyngmixikhlaymummxng sunghlayxnthukklawthunginbthkhwamekiywkbprchyakhxngkhnitsastrkhnitsastryngthukcdwaepnsastrsmburn odyimcaepntxngmikarxangthungid cakolkphaynxk nkkhnitsastrkahndaelaphicarnaokhrngsrangbangpraephth sahrbichinkhnitsastrexngodyechphaa enuxngcakokhrngsrangehlani xacthaihsamarthxthibaysakhayxy hlay sakhaidinphaphrwm hruxepnpraoychninkarkhanwnphunthan enuxha 1 thimakhxngkha 2 cudmunghmaykhxngkhnitsastr 3 prawti 3 1 phthnakar 4 sakhakhxngkhnitsastr 4 1 rakthanaelaprchya 4 2 khnitsastrbrisuththi 4 2 1 priman rabbcanwnaelathvsdicanwn 4 3 okhrngsrang 4 4 priphumi 4 5 khwamepliynaeplng 4 6 wiyutkhnit 4 7 khnitsastrprayukt 5 ekhruxngmuxthangkhnitsastr 6 xangxing 7 duephim 8 aehlngkhxmulxun 8 1 phasaithy 8 2 phasaxun 8 3 chumchnithythimakhxngkha aekikhkhawa khnitsastr khaxan kha nid ta sad macakkhawa khnit karnb hrux khanwn aela sastr khwamru hrux karsuksa sungrwmknmikhwamhmayodythwipwa karsuksaekiywkbkarkhanwn hrux wichathiekiywkbkarkhanwn swninphasaxngkvs khawakhnitsastrtrngkbkhawa mathematics sungmacakkhaphasakrikobran ma8hma mathema sungdngedimhmaythung singthiideriyn singthicaidthrab cungkhyaykhwamhmayxxkiprwmthungkhwamhmay withyasastr khwamru aelakareriyn 3 inxemrikaehnuxniymyxkhawa mathematics wa math swnpraethsxun thiichphasaxngkvsniymyxwa mathscudmunghmaykhxngkhnitsastr aekikhdubthkhwamhlkthi khwamngdngamkhxngkhnitsastr khnitsastrmicuderimtncakpyhacanwnmakthihlakhlay inyukhaerkerimkhnitsastrmacakkhwamcaepnephuxkarkha karrngwdthidin sthaptykrrmsastraeladarasastr inkhnathipccubn withyasastrepnsakhasakhythiesnxpyhaaelanaipsukarkhnkhwahwkhxihm sahrbnkkhnitsastr thngniyngimrwmthungkhxpyhathiekidkhuncakkarsuksakhnitsastrintwmnexngkhxngnkkhnitsastrdwykhwamruthangdankhnitsastrephimkhunxyangsmaesmx phanthangkarwicyaelakarprayuktich khnitsastrepnekhruxngmuxxnhnungkhxngwithyasastr xyangirktam karkhidkhnthangkhnitsastrimcaepntxngmiepahmayxyuthikarnaipichthangwithyasastr du khnitsastrbrisuththi aelakhnitsastrprayukt nxkcakni nkkhnitsastrhlaykhnkthanganephuxepahmayechingsunthriyphaphethann odymxngwakhnitsastrepnsastrechingsilpa makkwathicaepnsastrephuxkarnaipprayuktich dngechn ci exch hardi thiidklawiwinhnngsux A Mathematician s Apology aerngphlkdninkarthanganechnni milksnaimtangipcakthikwiaelankprchyaidprasb aelaepnsingthiimsamarthxthibayid xlebirt ixnsitn rsesiy klawwa khnitsastrepnrachinikhxngwithyasastr inhnngsux Ideas and Opinions khxngekhaprawti aekikhswnnirxephimetimkhxmul khunsamarthchwyephimkhxmulswnniidphthnakar aekikh nkkhnitsastrkrikphithaokrs kh s 570 kh s 495 kxnkhristskrach idrbkarykyxngineruxngthiekiywkhxngkbkarkhnphbthvsdibthphithaokrs Pythagorean theorem wiwthnakarkhxngkhnitsastrxacthukmxngwaepnchudkhxngkarephimkhunkhxngphawanamthrrmhruxxacepnkarkhyaytwkhxngwichathiekiywkbssar phawanamthrrmthiekidkhunepnkhrngaerknn miswnekiywkhxngkbstwhlay chnid 4 epnkhwamnacaepnthiekiywkhxngkbcanwnsakhakhxngkhnitsastr aekikhdubthkhwamhlkthi sakhakhxngkhnitsastr inechingphaphrwmxacklawidwa khnitsastrsamarthaebngxxkepnsakhayxy tamsingthisuksaidepn karsuksapriman okhrngsrang priphumiaelakhwamepliynaeplng sungtrngkbsakhaelkhkhnit phichkhnit erkhakhnit aelakhnitwiekhraahtamladb nxkcaknieraxacphicarnakhnitsastrphankhwamsmphnthkbsakhaxun echn khnittrrksastrkbtrrksastr khnitsastrprayuktkbwithyasastr pccubneraphbwahlaysakhakhxngkhnitsastrthiduphiwephincaimekiywkhxngkn klbsmphnthknxyangluksung echn krupkalws phunphiwrimnnaelathvsdicanwn sungduaeykxxkcakknodysinechingnn ekiywenuxngknphanmummxngkhxngopraekrmaelngaelnds rakthanaelaprchya aekikh dubthkhwamhlkthi rakthankhxngkhnitsastr hlngcakkarphthnathvsdiestinplaystwrrsthi 19 thaihthvsdiestklayepnrakthankhxngkhnitsastrthisakhymakthisudinrupaebbhnung khwamphyayamthakhwamekhaicrakthannisngphlihekidkarsuksakhnittrrksastr aelaprchyakhnitsastrprchyakhxngkhnitsastr p q displaystyle p Rightarrow q khnittrrksastr thvsdiest thvsdiaekhthikxri thvsdikarkhanwnprchyakhnitsastr rakthankhxngkhnitsastr thvsdiest trrksastrsylksn thvsdiomedl thvsdiaekhthikxri trrksastrkhnitsastrbrisuththi aekikh dubthkhwamhlkthi khnitsastrbrisuththi priman rabbcanwnaelathvsdicanwn aekikh dubthkhwamhlkthi thvsdicanwn karsuksaekiywkbprimanerimtncakcanwn canwnaerk khuxcanwnnbhruxcanwnthrrmchati N displaystyle mathbb N sungepnthiruckkndi kxncakhyayipsucanwnetm Z displaystyle mathbb Z aelakardaeninkarthiekiywkhxng echn karbwk karlb karkhun karhar sungerikyrwmwaepnkarsuksaelkhkhnit smbtithisbsxnmakkhunkhxngcanwnetmthuksuksainwichathvsdicanwn sungmithvsdibththimichuxesiyngechn thvsdibthsudthaykhxngaefrma nxkcaknithvsdicanwnyngmikhxkhwamkhadkarncanwnmakthiyngaekimid echn khxkhwamkhadkarncanwnechphaakhuaefd aelakhxkhwamkhadkarnkhxngkxlthbkh rabbcanwnidrbkarphthnaephimkhunepnrabbcanwntrrkyahruxessswn Q displaystyle mathbb Q aelainphayhlngepnswnhnungkhxngrabbcanwncring R displaystyle mathbb R xikthi sungkahndihepnlimitkhxngladbkhxngcanwntrrkyaaelaepnrabbcanwnthimikhwamtxenuxng rabbcanwncringthukkhyaynythwipepnrabbcanwnechingsxn C displaystyle mathbb C aelacakthvsdibthhlkmulkhxngphichkhnit thuksmkarphhunamintwaeprediywthimismprasiththiepncanwnechingsxn aelaimichphhunamkhngtwcamirakesmx rabbcanwnnbyngthukkhyaytxodyaebngtamsmbtithiekiywkhxng enuxngcakcanwnnbmihnathiidsxngaebb khux canwnnbichephuxbngbxkcanwnkhxngwtthuinklum hnung aelacanwnnbichephuxbngbxkxndbkhxngwtthuinklum hnung aenwkhidaerknaipsucanwnechingkarnbsungsamarthichepriybethiybkhnadkhxngestxnntid aelaaenwkhidhlknaipsuaenwkhideruxngcanwnechingxndbthi1 2 3 displaystyle 1 2 3 2 1 0 1 2 displaystyle 2 1 0 1 2 2 2 3 1 21 displaystyle 2 frac 2 3 1 21 e 2 3 p displaystyle e sqrt 2 3 pi 2 i 2 3 i 2 e i 4 p 3 displaystyle 2 i 2 3i 2e i frac 4 pi 3 ℵ 0 ℵ 1 ℵ w displaystyle aleph 0 aleph 1 dotsc aleph omega canwnthrrmchati canwnetm canwntrrkya canwncring canwnechingsxn canwnechingkarnbcanwn canwnthrrmchati canwnetm canwntrrkya canwncring canwnechingsxn canwnechingphichkhnit khwxethxreniyn xxkotheniyn canwnechingxndbthi canwnechingkarnb ladbkhxngcanwnetm khakhngthithangkhnitsastr xnntokhrngsrang aekikh dubthkhwamhlkthi phichkhnit sakhaehlani suksakhnadaelakhwamsmmatrkhxngcanwnaelawtthuthangkhnitsastrtang thvsdicanwn thvsdikrup thvsdikraf thvsdixndbphichkhnitnamthrrm thvsdicanwn thvsdikrup thxphxolyi phichkhnitechingesn thvsdiaekhthikxri thvsdixndbpriphumi aekikh dubthkhwamhlkthi erkhakhnit sakhaehlani mkichwithikarechingrupphaphmakkwainsakhaxun erkhakhnit trioknmiti erkhakhnitechingxnuphnth thxphxolyi erkhakhnitsathisrup thvsdiemechxrthxphxlxyi erkhakhnit trioknmiti erkhakhnitechingphichkhnit erkhakhnitechingxnuphnth thxphxolyiechingxnuphnth thxphxolyiechingphichkhnit phichkhnitechingesn erkhakhnitsathisrupkhwamepliynaeplng aekikh dubthkhwamhlkthi khnitwiekhraah hwkhxehlani ekiywkhxngkbkarwdkhwamepliynaeplngkhxngfngkchnthangkhnitsastr aelakhwamepliynaeplngrahwangcanwn aekhlkhuls aekhlkhulsewketxr karwiekhraahechingsxn smkarechingxnuphnth rabbphlwt thvsdikhwamxlwnaekhlkhuls aekhlkhulsewketxr khnitwiekhraah karwiekhraahechingcring karwiekhraahechingsxn thvsdiemechxr karwiekhraahechingfngkchn karwiekhraahfurrieyr smkarechingxnuphnth rabbphlwti thvsdikhwamxlwn raykarfngkchnwiyutkhnit aekikh wiyutkhnit khuxaekhnngkhxngkhnitsastrthisnicwtthuthimikhaechphaaecaacngthiaetktangkn 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 displaystyle begin matrix 1 2 3 amp 1 3 2 2 1 3 amp 2 3 1 3 1 2 amp 3 2 1 end matrix khnitsastrechingkarcd thvsdikarkhanwn withyakarekharhslb thvsdikrafkhnitsastrechingkarcd thvsdikarkhanwn withyakarekharhslb thvsdikrafkhnitsastrprayukt aekikh sakhainkhnitsastrprayukt ichkhwamruthangkhnitsastrephuxaekpyhainolkkhxngkhwamepncring khnitsastrfisiks klsastrkhxngihl karwiekhraahechingtwelkh karhakhaehmaathisud khwamnacaepn sthitisastr khnitsastrkarengin thvsdiekm thvsdirabbkhwbkhum khnitsastrfisiks klsastr klsastrkhxngihl karwiekhraahechingtwelkh karhakhaehmaathisud khwamnacaepn sthitisastr khnitsastrkarengin thvsdiekm khnitsastrchiwwithya withyakarekharhslb thvsdikhxmul thvsdirabbkhwbkhumekhruxngmuxthangkhnitsastr aekikhlukkhid kraduknaepiyr imbrrthd aela wngewiyn ekhruxngkhidelkh aela khxmphiwetxr phasaopraekrmxangxing aekikh immiphaphhruxkhabrryaylksnaruprangkhxngyukhlidhlngehluxmayngpccubn dngnnphaphyukhlidinngansilpathnghmdmacakcintnakarkhxngphuekhiyn duephimthi yukhlid Mura Roberta 1993 Images of mathematics held by university teachers of mathematical sciences Educational Studies in Mathematics phasaxngkvs 25 4 375 385 doi 10 1007 BF01273907 ISSN 0013 1954 mathematic Origin and meaning of mathematic by Online Etymology Dictionary www etymonline com phasaxngkvs S Dehaene G Dehaene Lambertz L Cohen Aug 1998 Abstract representations of numbers in the animal and human brain Trends in Neuroscience 21 8 355 361 doi 10 1016 S0166 2236 98 01263 6 PMID 9720604 duephim aekikh khnitsastresnewlakhxngkhnitsastraehlngkhxmulxun aekikhkhxmmxns miphaphaelasuxekiywkb khnitsastrphasaithy aekikh khnitsastrebuxngtn caksaranukrmsahrbeyawchn aehlngrwmkhwamrudankhnitsastr cakekhruxkhaykhxmphiwetxrephuxorngeriynithyphasaxun aekikh saranukrmkhnitsastr xngkvs The Mathematical Atlas aenanasakhatang khxngkhnitsastrsmyihm Planet Math Archived 2005 06 07 thi ewyaebkaemchchin saranukrmkhnitsastr ennkhnitsastrsmyihm MathWorld saranukrmkhnitsastr ennkhnitsastrdngedim Metamath xthibay aelaphisucnhlkkarthangkhnitsastrtang xyangepnkhnepntxn Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles bthkhwam aelaekmkhnitsastr elnxxnilnidchumchnithy aekikh sunyklangkhnitsastrithy ewbistsahrbphumiicrkkhnitsastr ekhruxngkhidelkh ewbistsahrbkhanwnekiywkbkhnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title khnitsastr amp oldid 9561307, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม