fbpx
วิกิพีเดีย

ตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างความยาวและมุมของรูปสามเหลี่ยม ตรีโกณมิติเกิดขึ้นในสมัยเฮลเลนิสต์ ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช ปัจจุบันได้มีการนำไปใช้ตั้งแต่ในวิชาเรขาคณิตไปจนถึงวิชาดาราศาสตร์

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดของมุม θ สามารถนำมาสร้างทางเรขาคณิตในวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีศูนย์กลางที่จุด O

นักดาราศาสตร์ในศตวรรษที่ 3 ได้สังเกตว่าความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมุมระหว่างด้านมีความสัมพันธ์ที่คงที่ ถ้าทราบความยาวอย่างน้อยหนึ่งด้านและค่าของมุมหนึ่งมุม แล้วมุมและความยาวอื่น ๆ ที่เหลือก็สามารถคำนวณหาค่าได้ การคำนวณเหล่านี้ได้ถูกนิยามเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ และในปัจจุบันได้แพร่หลายไปทั้งคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ เช่น การแปลงฟูรีเย หรือสมการคลื่น หรือการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ที่เป็นคาบในสาขาวิชาฟิสิกส์ วิศวกรรมเครื่องกล วิศวกรรมไฟฟ้า ดนตรีและสวนศาสตร์ ดาราศาสตร์ นิเวศวิทยา และชีววิทยา นอกจากนี้ ตรีโกณมิติยังเป็นพื้นฐานของการสำรวจ

ตรีโกณมิติมีความเกี่ยวข้องมากที่สุดกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนระนาบ (กล่าวคือ รูปสามเหลี่ยมสองมิติที่มีมุมหนึ่งมีขนาด 90 องศา) มีการประยุกต์ใช้กับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉากด้วย โดยการแบ่งรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ปัญหาส่วนมากสามารถแก้ได้โดยใช้การคำนวณบนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น การประยุกต์ส่วนใหญ่ก็จะเกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ยกเว้นในตรีโกณมิติเชิงทรงกลม วิชาที่ศึกษารูปสามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลม ซึ่งมีความโค้งเป็นค่าคงที่บวก ในเรขาคณิตอิลลิปติก (elliptic geometry) อันเป็นพื้นฐานของวิชาดาราศาสตร์และการเดินเรือ) ส่วนตรีโกณมิติบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นค่าลบเป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก

วิชาตรีโกณมิติเบื้องต้นมักมีการสอนในโรงเรียน อาจเป็นหลักสูตรแยกหรือเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรความรู้พื้นฐานสำหรับแคลคูลัส

ประวัติศาสตร์

นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก

  • ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)
  • ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก ; และ
  • ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง

ศัพทมูลวิทยา

คำว่า ตรีโกณมิติ เป็นการรวมคำสามคำ คือ ตรี (สันสกฤต : त्रि, ตรี) แปลว่า สาม, โกณ (สันสกฤต : कोना, โกณะ) แปลว่า มุม หรือ เหลี่ยม, มิติ (สันสกฤต : मिति, มิติ) แปลว่า การวัด ดังนั้น ตรีโกณมิติ หมายถึง การคำนวณโดยความสัมพันธ์ระหว่างมุมและด้านของรูปสามเหลี่ยม

ภาพรวม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปด้วย

จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ π/2 (1.5707 เรเดียน)) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A และเขียนด้วย sin (A) ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

 

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์

 
 

วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)

ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง π/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด (ดูใน ฟังก์ชันตรีโกณมิติ)

ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎของไซน์ และ กฎของโคไซน์

กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน

นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ชึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ มันมีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ

การประยุกต์

ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่าง ๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้(และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลิกศาสตร์

เอกลักษณ์

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เช่น เอกลักษณ์ดังต่อไปนี้ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

 
 
 

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

  1. "trigonometry". Online Etymology Dictionary.
  2. R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)
  3. Peterson, John C. (2004). Technical Mathematics with Calculus (illustrated ed.). Cengage Learning. p. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3. Extract of page 856

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิตำรา มีคู่มือ ตำรา หรือวิธีการเกี่ยวกับ:
วิธีการจำฟังก์ชันตรีโกณมิติแบบต่างๆ

ตร, โกณม, จากภาษากร, trigonon, และ, metro, การว, เป, นสาขาหน, งของคณ, ตศาสตร, กษาความส, มพ, นธ, ระหว, างความยาวและม, มของร, ปสามเหล, ยม, เก, ดข, นในสม, ยเฮลเลน, สต, ในศตวรรษท, อนคร, สต, กราช, จจ, นได, การนำไปใช, งแต, ในว, ชาเรขาคณ, ตไปจนถ, งว, ชาดาราศาสตร, งก,. trioknmiti cakphasakrik trigonon mum 3 mum aela metro karwd 1 epnsakhahnungkhxngkhnitsastrthisuksakhwamsmphnthrahwangkhwamyawaelamumkhxngrupsamehliym trioknmitiekidkhuninsmyehlelnist instwrrsthi 3 kxnkhristskrach pccubnidmikarnaipichtngaetinwichaerkhakhnitipcnthungwichadarasastr 2 fngkchntrioknmitithnghmdkhxngmum 8 samarthnamasrangthangerkhakhnitinwngklmhnunghnwythimisunyklangthicud O nkdarasastrinstwrrsthi 3 idsngektwakhwamyawdankhxngrupsamehliymmumchakaelamumrahwangdanmikhwamsmphnththikhngthi thathrabkhwamyawxyangnxyhnungdanaelakhakhxngmumhnungmum aelwmumaelakhwamyawxun thiehluxksamarthkhanwnhakhaid karkhanwnehlaniidthukniyamepnfngkchntrioknmiti aelainpccubnidaephrhlayipthngkhnitsastrbrisuththiaelakhnitsastrprayukt echn karaeplngfuriey hruxsmkarkhlun hruxkarichfngkchntrioknmitiephuxxthibaypraktkarnthiepnkhabinsakhawichafisiks wiswkrrmekhruxngkl wiswkrrmiffa dntriaelaswnsastr darasastr niewswithya aelachiwwithya nxkcakni trioknmitiyngepnphunthankhxngkarsarwctrioknmitimikhwamekiywkhxngmakthisudkbrupsamehliymmumchakbnranab klawkhux rupsamehliymsxngmitithimimumhnungmikhnad 90 xngsa mikarprayuktichkbrupsamehliymthiimmimumchakdwy odykaraebngrupsamehliymdngklawepnrupsamehliymmumchaksxngrup pyhaswnmaksamarthaekidodyichkarkhanwnbnrupsamehliymmumchak dngnn karprayuktswnihykcaekiywkhxngkbrupsamehliymmumchak ykewnintrioknmitiechingthrngklm wichathisuksarupsamehliymbnphunphiwthrngklm sungmikhwamokhngepnkhakhngthibwk inerkhakhnitxilliptik elliptic geometry xnepnphunthankhxngwichadarasastraelakaredinerux swntrioknmitibnphunphiwthimikhwamokhngepnkhalbepnswnhnungkhxngerkhakhnitihephxroblikwichatrioknmitiebuxngtnmkmikarsxninorngeriyn xacepnhlksutraeykhruxepnswnhnungkhxnghlksutrkhwamruphunthansahrbaekhlkhuls enuxha 1 prawtisastr 2 sphthmulwithya 3 phaphrwm 4 karprayukt 5 exklksn 6 duephim 7 xangxing 8 aehlngkhxmulxunprawtisastr aekikhnkkhnitsastrmusliminyukhklang hruxyukhmud tamkhaeriykkhxngchawyuorp miswnepnxyangmakinkarphthnaaelaxuthisphlnganinkhnitsastrsakhatrioknmiti odyphwkekhaidrbaenwkhidphunthanmacak tarakhnitsastrxinediythichux Surya Siddhanta surysiththanta taraxlmaeks epnphasaxahrbaeplwayingihythisud aesdngihehnwankkhnitsastrxahrbykyxnghnngsuxelmnimak khxngthxelminkkhnitsastrthimichuxesiyngchawkrik aela tarasefiyrik khxngemenlaxusnkkhnitsastrchawkrikechnknxyangirktam thungaemwankkhnitsastrkrikaelaxinediycamibthbathinkarphthnatrioknmiti aetthwankprawtisastrkhnitsastrhlaythan idihekiyrtinkkhnitsastrxahrbwa epnphuphthnakhwamruinsakhanixyangaethcringsphthmulwithya aekikhkhawa trioknmiti epnkarrwmkhasamkha khux tri snskvt त र tri aeplwa sam okn snskvt क न okna aeplwa mum hrux ehliym miti snskvt म त miti aeplwa karwd dngnn trioknmiti hmaythung karkhanwnodykhwamsmphnthrahwangmumaeladankhxngrupsamehliymphaphrwm aekikhrupsamehliymsxngrupcaeriykwakhlaykn tharuphnungsamarthkhyayidepnxikruphnung aelacaepnkrniniktxemuxmumthismnyknmikhnadethakn twxyangechn rupsamehliymsxngrupthimimumrwmknmumhnung aeladanthitrngkhamkbmumnnkhnankn epnkhxethccringwarupsamehliymthikhlaykn danaetladancaepnsdswnkn nnkhux thadanthiyawthisudkhxngrupsamehliymhnung yawepnsxngethakhxngdanthiyawthisudkhxngrupsamehliymthikhlaykn caklawidwa danthisnthisudcayawepnsxngethakhxngdanthisnthisudkhxngxikrupsamehliym aeladanthiyawpanklangkcaepnsxngethakhxngxikrupsamehliymechnkn xtraswnrahwangdanthiyawthisudaeladanthisnthisudkhxngrupsamehliymaerk caethakb xtraswnrahwangdanthiyawthisudaeladanthisnthisudkhxngrupsamehliymxikrupdwy cakkhxethccringehlani eracaniyamfngkchntrioknmiti erimtndwyrupsamehliymmumchak sungepnrupsamehliymsungmimumchakhnungmum 90 xngsa hrux p 2 1 5707 erediyn danthiyawthisudinrupsamehliymidcaxyutrngkhamkbmumthiihythisud aetephraawaphlrwmkhxngmumphayinrupsamehliymethakb 180 xngsa hrux p erediyn dngnnmumthiihythisudinrupsamehliymnikhuxmumchak danthiyawthisudinrupsamehliymcungepndanthitrngkhamkbmumchak eriykwa dantrngkhammumchaknarupsamehliymmumchakmasxngrupthimimum A rwmkn rupsamehliymthngsxngnicakhlaykn aelaxtraswnkhxngdantrngkhammum A txdantrngkhammumchak caethaknthngsxngrup mncaepncanwnrahwang 0 thung 1 khunxyukbkhnadkhxngmum A ethann eraeriykwa isnkhxng A aelaekhiyndwy sin A inthanxngediywkn eraniyam okhisnkhxng A khuxxtraswnrahwang danprachidmum A txdantrngkhammumchak sin A opp a hyp c cos A adj b hyp c displaystyle sin A mbox opp a over mbox hyp c qquad cos A mbox adj b over mbox hyp c fngkchnehlaniepnfngkchntrioknmitithisakhy fngkchnxunsamarthniyamodyichxtraswnkhxngdantangkhxngrupsamehliym aetmnksamarthekhiynidinrupkhxng isn aela okhisn fngkchnehlanikhux aethnecnt siaekhnt okhaethnecnt aela okhsiaekhnt tan A sin A cos A opp a adj b sec A 1 cos A hyp c adj b displaystyle tan A sin A over cos A mbox opp a over mbox adj b qquad sec A 1 over cos A mbox hyp c over mbox adj b cot A cos A sin A adj b opp a csc A 1 sin A hyp c opp a displaystyle cot A cos A over sin A mbox adj b over mbox opp a qquad csc A 1 over sin A mbox hyp c over mbox opp a withica isn okhisn aethnecnt xyangngaykhuxcawa khamchak chidchak khamchid isn dantrngkham dantrngkhammumchak okhisn danprachid dantrngkhammumchak aethnecnt dantrngkham danprachid thiphanma fngkchntrioknmitithukniyamkhunsahrbmumrahwang 0 thung 90 xngsa 0 thung p 2 erediyn ethann hakichwngklmhnunghnwy cakhyayidepncanwnbwkaelacanwnlbthnghmd duin fngkchntrioknmiti khrnghnung fngkchnisnaelaokhisnthukcdlngintarang hruxkhanwndwyekhruxngkhidelkh thaihtxbkhathamthnghmdekiywkbrupsamehliymididxyangaethcring odyichkdkhxngisn aela kdkhxngokhisnkdehlanisamarthichinkarkhanwnmumthiehluxaeladankhxngrupsamehliymid emuxrukhwamyawdansxngdanaelakhnadkhxngmumhnungmum hruxrukhnadkhxngmumsxngmumaelakhwamyawkhxngdanhnungdan hrux rukhwamyawkhxngdanthngsamdannkkhnitsastrbangkhnechuxwatrioknmitiaetedimnn thukpradisthchunephuxichkhanwnnalikaaedd sungmkepnocthyinhnngsuxeka mnmikhwamsakhymakineruxngkarsarwckarprayukt aekikhpccubn mikarnatrioknmitiipichinngansakhatang echn epnethkhnikhinkarsrangrupsamehliym sungichinwichadarasastrephuxwdrayathangkhxngdawthixyuikl inphumisastrichwdrayathangrahwanghlkekhtthidin aelaichindawethiymnathang nganthimikarich aelakarnathanginmhasmuthr bnekhruxngbin aelainxwkas thvsdidntri swnsastr thsnsastr karwiekhraahtladkarengin xielkthrxniks thvsdikhwamnacaepn sthitisastr chiwwithya karsrangphaphthangkaraephthy karkradphaphtdkhwangichkhxmphiwetxrchwy CAT scans aela khlunesiyngkhwamthisung ephschsastr ekhmi thvsdicanwn rwmthung withyakarekharhslb withyaaephndinihw xutuniymwithya smuthrsastr withyasastrkayphaphsakhatang karsarwcphundin aelaphumimatrsastr sthaptykrrm sthsastr esrsthsastr wiswkrrmiffa wiswkrrmekhruxngkl wiswkrrmoytha erkhphaphkhxmphiwetxr karthaaephnthi phliksastrexklksn aekikhduephimetimthi raykarexklksntrioknmiti exklksntrioknmiti echn exklksndngtxipnithiekiywkhxngkbthvsdibthphithaokrs 3 sin 2 A cos 2 A 1 displaystyle sin 2 A cos 2 A 1 tan 2 A 1 sec 2 A displaystyle tan 2 A 1 sec 2 A cot 2 A 1 csc 2 A displaystyle cot 2 A 1 csc 2 A duephim aekikhraykarexklksntrioknmiti fngkchntrioknmiti wngklmhnunghnwyxangxing aekikh trigonometry Online Etymology Dictionary R Nagel ed Encyclopedia of Science 2nd Ed The Gale Group 2002 Peterson John C 2004 Technical Mathematics with Calculus illustrated ed Cengage Learning p 856 ISBN 978 0 7668 6189 3 Extract of page 856aehlngkhxmulxun aekikh wikitara mikhumux tara hruxwithikarekiywkb withikarcafngkchntrioknmitiaebbtangekhathungcak https th wikipedia org w index php title trioknmiti amp oldid 9187654, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม