บ่อศักย์แบบลึกจำกัด

บ่อศักย์แบบลึกจำกัด หรือ บ่อศักย์แบบความกว้างจำกัด เป็นแนวคิดจากกลศาสตร์ควอนตัม โดยเป็นส่วนขยายของบ่อศักย์แบบอนันต์ซึ่งเป็นอนุภาคที่ถูกกักขังอยู่ในกล่องแต่ในที่นี้เป็นแบบที่มีความลึกจำกัด และแตกต่างจากแบบลึกอนันต์ตรงที่มีโอกาสที่จะพบอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่อง การตีความแบบกลควอนตัมจะแตกต่างจากการตีความแบบคลาสสิก คือ ถ้าพลังงานทั้งหมดของอนุภาคน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง อนุภาคจะไม่สามารถพบอยู่ภายนอกกล่องได้ แต่ในการตีความแบบควอนตัม จะมีความน่าจะเป็นของอนุภาคที่อยู่ภายนอกกล่องที่ไม่เป็นศูนย์ ถึงแม้พลังงานของอนุภาคจะน้อยกว่าพลังงานศักย์กีดขวางของผนัง 

อนุภาคในกล่อง 1 มิติ

สำหรับกรณี 1 มิติในแนวแกน x สามารถเขียนสมการชเรอชิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา ได้ดังนี้

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \quad (1)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ ,

${\displaystyle h\,}$  คือ ค่าคงที่ของพลังค์

${\displaystyle m\,}$  คือ มวขของอนุภาค

${\displaystyle \psi \,}$  คือ ฟังก์ชันคลื่นจินตภาพ (ที่ต้องการหา)

${\displaystyle V\left(x\right)\,}$  คือ ฟังก์ชันของพลังงานศักย์ในแต่ละค่า x

${\displaystyle E\,}$  คือ พลังงาน ซึ่งเป็นจำนวนจริง 

เมื่อพิจารณาอนุภาคมวล m เคลื่อนที่ในบ่อศักย์แบบลึกจำกัด จะเขียนเป็นฟังก์ชันของพลังงานศักย์ได้ดังนี้

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0},&{\mbox{if }}x<-L/2\\0,&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2\\V_{0}&{\mbox{if }}x>L/2\end{cases}}}$ 

ตามทฤษฎีของกลศาสตร์คลาสสิก อนุภาคจะถูกกักและสะท้อนกลับไปกลับมาระหว่างขอบเขต -L/2<x<L/2 เท่านั้น โดยที่อนุภาคจะมีค่าพลังงานเป็นค่าใด ๆ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พลังงานของอนุภาคจะมีค่าได้เพียงบางค่าเท่านั้น และค่านั้นจะเป็นค่าเจาะลง (Eigen value) ของฟังก์ชันคลื่นที่เป็น Eigen function ที่สอดคล้องกันในแต่ละขอบเขตที่พิจารณา โดยฟังก์ชันคลื่นแต่ละขอบเขตจะแตกต่างกันตามขอบเขตของ x ขึ้นอยู่กับว่าอยู่ภายในหรือภายนอกของกล่อง แบ่งขอบเขตของกล่องเป็น 3 ส่วนและเขียนฟังก์ชันคลื่นได้ดังนี้

${\displaystyle \psi ={\begin{cases}\psi _{1},&{\mbox{if }}x<-L/2{\mbox{ (the region outside the box)}};R_{1}\\\psi _{2},&{\mbox{if }}-L/2<x<L/2{\mbox{ (the region inside the box)}};R_{2}\\\psi _{3}&{\mbox{if }}x>L/2{\mbox{ (the region outside the box)}};R_{3}\end{cases}}}$ 

ขอบเขตภายในกล่อง

กรณีขอบเขตอยู่ภายในกล่อง (บริเวณที่ 2) จะได้ V(x) = 0 และเขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}.\quad (2)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }},}$ 

ได้คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ (2) เป็น ${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}.}$ 

ขอบเขตภายนอกกล่อง

เมื่อพิจารณาบริเวณนอกกล่อง ซึ่งมี 2 บริเวณ คือ บริเวณที่ 1 และ 3 โดย V(x)= V₀ เขียนสมการชเรอดิงเงอร์ได้เป็น

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{o})\psi _{1}\quad (3)}$ 

การพิจารณาแบ่งเป็น 2 กรณี คือ

1.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานมากกว่าพลังงานศักย์ (E>V₀) จะไม่ถูกกักไว้ในบ่อ แต่จะถูกกระเจิงออกไปโดยพลังงานศักย์ของบ่อ เรียกว่า การกระเจิง (The Scattering)

2.  เมื่ออนุภาคมีพลังงานน้อยกว่าพลังงานศักย์ (E<V₀) จะถูกกักไว้ในบ่อศักย์ เรียกกรณีนี้ว่า สถานะจำกัดขอบเขต (Bound state)

ในกรณีนี้จะพิจารณา กรณีที่ 2 Bound state (E< V₀) ดังนั้นเขียนสมการใหม่ได้เป็น

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\quad (4)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{o}-E)}}{\hbar }}}$ 

คำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (4) คือ  ${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$ 

และคล้ายกันในบริเวณที่ 3 จะได้ ${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$ 

การหาฟังก์ชันคลื่นสำหรับกรณี bound state

โดยในส่วนก่อนหน้า เราหาฟังก์ชันคลื่นแต่ละบริเวณได้เป็น

${\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!}$ 

${\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad }$ 

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!}$ 

เมื่อพิจารณาที่ ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$  จะเห็นว่าเทอม ${\displaystyle Fe^{-\alpha x}}$  มีค่าไม่จำกัด

และเช่นเดียวกัน เมื่อพิจารณาที่ ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$   เทอม ${\displaystyle Ie^{\alpha x}\,\!}$  จะมีจำกัด

ซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะต้องลู่เข้าสู่ศูนย์ นั่นคือต้องให้ F = I = 0 เขียนฟังก์ชันคลื่นใหม่ได้ว่า

${\displaystyle \psi _{1}=Ge^{\alpha x}\,\!}$

and

${\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}\,\!}$

ในการคำนวณหา eigenvalue นั้น คำตอบของสมการชเรอดิงเงอร์หรือฟังก์ชันคลื่นทั้ง 3 บริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์อันดับ 1 ที่บริเวณรอยต่อที่ x= -L/2 และ L/2 

ตามสมการ

${\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!}$		${\displaystyle \psi _{2}(L/2)=\psi _{3}(L/2)\,\!}$
${\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{dx}}(-L/2)={\frac {d\psi _{2}}{dx}}(-L/2)\,\!}$		${\displaystyle {\frac {d\psi _{2}}{dx}}(L/2)={\frac {d\psi _{3}}{dx}}(L/2)\,\!}$

คำตอบของสมการเหล่านี้จะเป็นจริงได้ 2 กรณี

1.     กรณีสมมาตร (symmetric case)           เมื่อ A = 0 และ G = H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคี่ (Odd function)

2.     กรณีปฏิสมมาตร (antisymmetric case)  เมื่อ B = 0 และ G = -H    เป็นคำตอบฟังก์ชันคู่ (Even function)

ในกรณีเป็นแบบสมมาตร (ฟังก์ชันคี่) (A = 0 , B ${\displaystyle \neq }$   0) บริเวณรอยต่อที่ x = L/2 จะได้

${\displaystyle He^{-\alpha L/2}=B\cos(kL/2)\quad (5)}$ 

${\displaystyle -\alpha He^{-\alpha L/2}=-kB\sin(kL/2)\quad (6)}$ 

แก้สมการ โดย (6)/(5) จะได้  ${\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\quad (7)}$ .

และเช่นเดียวกันในกรณีไม่สมมาตร (ฟังก์ชันคู่)  จะได้  ${\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\quad (8)}$ .

จากสมการ (7) และ (8) Eigenvalue ไม่สามารถหาค่าได้โดยตรง เนื่องจากทำได้ยาก ต้องหาค่าโดยใช้กราฟหรือตัวเลข 

อ้างอิง

Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice-Hall. ISBN 0-13-111892-7.