ภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวย (conic section หรือ conic) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง เส้นโค้งที่ได้จากการตัดพื้นผิวกรวยกลม ด้วยระนาบแบน ภาคตัดกรวยนี้ถูกตั้งเป็นหัวข้อศึกษาตั้งแต่สมัย 200 ปีก่อนคริสต์ศักราชโดย อพอลโลเนียส แห่ง เพอร์กา ผู้ซึ่งศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติหลายประการของภาคตัดกรวย ต่อมากรณีการศึกษาภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ประโยชน์หลายแบบ ได้แก่ ในปี พ.ศ. 2133 (ค.ศ. 1590) กาลิเลโอ กาลิเลอี พบว่าขีปนาวุธที่ยิงขึ้นไปในมุมที่กำหนดมีวิถีการเคลื่อนที่โค้งแบบพาราโบลา, ใน พ.ศ. 2152 (ค.ศ. 1609) โยฮันส์ เคปเลอร์ พบว่าวงโคจรของดาวเคราะห์รอบนอกเป็นรูปวงรี เป็นต้น

ชนิดของภาคตัดกรวย

วงกลม และ วงรี คือ เส้นโค้งซึ่งได้จากการตัดกรวย ด้วยระนาบ ให้ได้เส้นโค้งปิด (เป็นวง) วงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของวงรี โดยแนวของระนาบในการตัดนั้น ตั้งฉากกับแกนกลางของกรวย หากระนาบตัดกรวยในแนวขนานกับเส้นขอบของกรวย หรือเรียก เส้นกำเนิดกรวย (generator line) จะได้เส้นโค้งเรียกว่า พาราโบลา หากระนาบไม่อยู่ในแนวขนานเส้นขอบ และตัดกรวยได้เส้นโค้งเปิดไม่เป็นวง จะเรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไฮเพอร์โบลา จะเห็นได้ว่าในกรณีนี้ระนาบจะตัดกรวยทั้งครึ่งบน และครึ่งล่าง ได้เป็นเส้นโค้งที่ขาดจากกันสองเส้น

ในกรณีที่เรียกว่า "ภาคตัดกรวยลดรูป" (degenerate conic) ระนาบจะตัดผ่านจุดยอดของกรวย และได้ผลของการตัดเป็น จุด เส้นตรง หรือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน กรณีเหล่านี้ไม่ได้ถูกรวมไว้ในภาคตัดกรวย

ภาคตัดกรวยจากทางเดินของจุด

แต่ละประเภทของภาคตัดกรวยนั้น สามารถนิยามโดยการใช้เส้นทางเดินของจุด โดยทุก ๆ จุด P บนเส้นทางเดิน จะต้องเป็นไปตามคุณสมบัติเฉพาะดังนี้

• วงกลม : ระยะ(P,C) = r โดยที่ Cคือจุดตายตัวเรียกว่า จุดศูนย์กลาง และ r คือค่าคงที่ เรียกว่า รัศมี
• พาราโบลา : ระยะ(P,F) = ระยะ(P,L) โดยที่ F คือจุดตายตัว เรียกว่า จุดโฟกัส และ L คือ เส้นตรง กำหนดตายตัว และไม่ผ่านจุดโฟกัส เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
• วงรี : ระยะ(P,A) + ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่ามากกว่า ระยะ(A,B) เรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางหลัก
• ไฮเพอร์โบลา : ระยะ(P,A) - ระยะ(P,B) = d โดยที่ A, B เป็นจุดตายตัวสองจุดที่แตกต่างกัน เรียกว่า จุดโฟกัส และ d เป็นค่าคงที่ ที่มีค่าน้อยกว่า ระยะ(A,B)

ความเยื้อง (Eccentricity)

 

ค่าความเยื้อง หรือ ค่าความเบี่ยงเบนจากศูนย์กลาง (eccentricity) ของภาคตัดกรวย เป็นค่าบ่งชี้ถึงความเบี้ยว หรือ เบี่ยงเบนไปจากความกลม โดยเมื่อความเยื้องมีค่าลดลง รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้จะมีรูปร่างเข้าใกล้ทรงกลมมากขึ้น

ถ้าเส้นตรง ${\displaystyle \,L\,}$  คือไดเรกทริกซ์ และ ${\displaystyle \,F\,}$  คือ จุดโฟกัส ค่าความเยื้อง ${\displaystyle \,e\,}$  หาได้จาก

${\displaystyle {\frac {dist(P,F)}{dist(P,L)}}=e\qquad e\in \mathbb {R} _{+}^{*}}$ 

โดยที่

• ${\displaystyle \,dist(P,F)}$  คือ ระยะทางจากจุด ${\displaystyle \,P\,}$  ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปยังจุดโฟกัส ${\displaystyle \,F\,}$ 
• ${\displaystyle \,dist(P,L)}$  คือ ระยะทางจากจุด ${\displaystyle \,P\,}$  ใดๆ บนภาคตัดกรวย ไปตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ ${\displaystyle \,L\,}$ 

รูปร่างของภาคตัดกรวยที่ได้ ขึ้นกับค่า ${\displaystyle \,e\,}$  โดย

• ${\displaystyle \,0<e<1}$  เป็นรูปวงรี
• ${\displaystyle \,e=1}$  เป็นรูปพาราโบลา
• ${\displaystyle \,e>1}$  เป็นรูปไฮเพอร์โบลา

ภาคตัดกรวยกับเรขาคณิตวิเคราะห์

 

รูปแสดงการตัดกรวยด้วยระนาดในแนวต่าง ๆ

บนระบบพิกัดคาร์ทีเซียน กราฟของสมการสองตัวแปรกำลังสอง (quadratic equation) จะเป็นรูปภาคตัดกรวยเสมอ หากเราพิจารณาสมการที่อยู่ในรูป

${\displaystyle ax^{2}+2hxy+by^{2}+2gx+2fy+c=0\;}$ 

แล้ว:

• ถ้า h² = ab แล้ว จะได้สมการของรูป พาราโบลา
• ถ้า h² < ab และ a ${\displaystyle \neq }$  b และ/หรือ h${\displaystyle \neq }$ 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงรี
• ถ้า h² > ab แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลา
• ถ้า h² < ab and a = b and h = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป วงกลม
• ถ้า a + b = 0 แล้ว จะได้สมการของรูป ไฮเพอร์โบลามุมฉาก

เซมิเลตัสเรกตัม และ ระบบพิกัดเชิงขั้ว

 

เซไมลาตัสเรกตัมของวงรี

เซมิเลตัสเรกตัม ของภาคตัดกรวย ปกติเขียนแทนด้วย l คือ ระยะทางจากจุดโฟกัสหนึ่ง ไปยังภาคตัดกรวย โดยวัดตั้งฉากกับแกนหลัก (major axis) มีความสัมพันธ์กับ a และ b โดย ${\displaystyle al=b^{2}\,\!}$  หรือ ${\displaystyle l=a(1-e^{2})\,\!}$ 

ในระบบพิกัดเชิงขั้วนั้น ภาคตัดกรวยที่มีจุดโฟกัสหนึ่งอยู่ที่จุดออริจิน และอีกจุดหนึ่ง(หากมี) บนแกน x ด้านบวก จะกำหนดโดยสมการต่อไปนี้

${\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!}$ .

คุณสมบัติทั่วไป

ภาคตัดกรวยนั้นมีรูปร่างที่มนสม่ำเสมอ ไม่มีจุดเปลี่ยนโค้ง (inflection point) ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่มีความสำคัญต่อการใช้งานหลายประเภท เช่น การใช้งานเกี่ยวกับแอโรไดนามิกส์ ซึ่งพื้นผิวนั้นจำเป็นต้องออกแบบเพื่อให้ของไหล ไหลผ่านอย่างสม่ำเสมอ (laminar flow) เพื่อป้องกันการเกิดการไหลทะลัก (turbulence)

การประยุกต์ใช้งาน

ภาคตัดกรวยนั้นได้มีความสำคัญต่อดาราศาสตร์ โดย วงโคจรของวัตถุสองชิ้นซึ่งมีแรงดึงดูดกระทำต่อกัน ตามกฎของนิวตัน นั้นจะมีรูปร่างเป็นภาคตัดกรวย หากจุดศูนย์กลางมวล (center of mass) ร่วมของทั้งสองวัตถุนั้นอยู่นิ่ง หากทั้งสองนั้นถูกดึงดูดอยู่ด้วยกัน ทางเดินของทั้งสองนั้นจะเป็นรูปวงรี หากวัตถุทั้งสองวิ่งออกจากกัน ทางเดินจะเป็นรูปพาราโบลา หรือ ไฮเปอร์โบลา ดู ปัญหาหลายวัตถุ

ในเรขาคณิตเชิงภาพฉาย (projective geometry) นั้น ภาพฉายบนระนาบ ของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้นจะเหมือนกัน ขึ้นอยู่กับลักษณะการฉาย หรือที่เรียกว่า การแปลงเชิงภาพฉาย (projective transformation)

สำหรับการประยุกต์ใช้งานเฉพาะของภาคตัดกรวยแต่ละชนิดนั้น ดูที่บทความ วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา

อ้างอิง

• Akopyan, A.V. and Zaslavsky, A.A. (2007). Geometry of Conics. American Mathematical Society. p. 134. ISBN 0821843230.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

แหล่งข้อมูลอื่น

• Derivations of Conic Sections at Convergence
• Conic sections at Special plane curves.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Conic Section" จากแมทเวิลด์.
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.
• Conics. An essay on conics and how they are generated.
• See Conic Sections at cut-the-knot for a sharp proof that any finite conic section is an ellipse and Xah Lee for a similar treatment of other conics.
• Cone-plane intersection MATLAB code
• Eight Point Conic 2009-10-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน at Dynamic Geometry Sketches
• An interactive Java conics grapher; uses a general second-order implicit equation. 2009-10-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน