ภาพแบบอันตรกิริยา

ภาพแบบอันตรกิริยา (Interaction picture) หรือภาพแบบดิแรก (Dirac picture) อยู่ตรงกลางระหว่างภาพแบบชเรอดิงเงอร์ (Schrodinger picture) และภาพแบบไฮเซนเบอร์ก (Heisenberg picture) คือทั้งเวกเตอร์สถานะ (state vector) และตัวดำเนินการ (operator) ขึ้นกับเวลาทั้งคู่ ภาพแบบอันตรกิริยามีประโยชน์ในการจัดการกับฟังก์ชันคลื่นที่เปลี่ยนแปลงและข้อมูลผู้สังเกตได้ (observables) เนื่องจากอันตรกิริยา โดยตัวดำเนินการและเวกเตอร์สถานะในภาพแบบอันตรกิริยานี้เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนของเบซิส (chang of basis) เช่นเดียวกับตัวดำเนินการและเวกเตอร์สถานะในภาพแบบชเรอดิงเงอร์

พอล เอเดรียน มัวริซ ดิแรก (Paul Adrien Maurice Dirac; 8 สิงหาคม 2445 -20 ตุลาคม 2527) นักฟิสิกส์ทฤษฎีชาวอังกฤษ

ฮามิลโทเนียนในภาพแบบอันตรกิริยาถูกแยกออกเป็น 2 เทอม ดังนี้

${\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}}$

เมื่อ H_0,s เป็นฮามิลโทเนียนของระบบที่ไม่ถูกรบกวน (ไม่มีอันตรกิริยา) และ H_1,s เป็นฮามิลโทเนียนของระบบที่ถูกรบกวน (มีอันตรกิริยา)

เวกเตอร์สถานะ (state vector)

นิยามของเวกเตอร์สถานะในภาพแบบอันตรกิริยาเขียนได้ ดังนี้

${\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }$

เมื่อ |ψ_S(t)〉คือเวกเตอร์สถานะในภาพแบบชเรอดิงเงอร์

ตัวดำเนินการ (operators)

นิยามของตัวดำเนินการในภาพแบบอันตรกิริยาเขียนได้ ดังนี้

${\displaystyle A_{\text{I}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

โดยปกติแล้ว A_S(t) จะไม่ขึ้นกับ t และสามารถเขียนได้ในรูป A_S แต่จะขึ้นกับ t เมื่อตัวดำเนินการ "ขึ้นกับเวลาอย่างชัดแจ้ง (explicit time dependent)"

ตัวดำเนินการ ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian operator)

สำหรับตัวดำเนินการฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกรบกวนที่ไม่ขึ้นกับเวลา H₀ ในภาพแบบอันตรกิริยาเขียนได้ในลักษณะเดียวกับฮามิลโทเนียนในภาพแบบชเรอดิงเงอร์

${\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}}$

สำหรับตัวดำเนินการฮามิลโทเนียนที่ถูกรบกวน H₁ ในภาพแบบอันตรกิริยาเขียนได้ ดังนี้

${\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=e^{iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}e^{-iH_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}$

เมื่อฮามิลโทเนียนที่ถูกรบกวนกลายเป็นฮามิลโทเนียนที่ขึ้นกับเวลา เว้นเสียแต่ว่า [H_1,S, H_0,S] = 0

วิวัฒนาการเชิงเวลา (Time-evolution)

วิวัฒนาการเชิงเวลาของสถานะ (Time-evolution of states)

การแปลงสมการชเรอดิงเงอร์ในภาพแบบอันตรกิริยาได้

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle }$

วิวัฒนาการเชิงเวลาของตัวดำเนินการ (Time-evolution of operators)

ถ้าตัวดำเนินการ A_S ไม่ขึ้นกับเวลา จะสอดคล้องกับวิวัฒนาการเชิงเวลา A_I(t) ได้

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}]}$

ในภาพแบบอันตรกิริยา ตัวดำเนินการขึ้นกับเวลาเช่นเดียวกับในภาพแบบไฮเซนเบอร์ก มีฮามิลโทเนียนเป็น H' = H₀

ตารางเปรียบเทียบสถานะเคตและข้อมูลสังเกตได้ในภาพแบบต่างๆ

สำหรับฮามิลโทเนียนที่ไม่ขึ้นกับเวลา H_S

Evolution	Picture
of:	ภาพแบบไฮเซนเบอร์ก (Heisenberg picture)	ภาพแบบอันตรกิริยา (Interaction)	ภาพแบบชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger picture)
สถานะเคต (Ket state)	constant	${\displaystyle |\psi _{I}(t)\rangle =e^{iH_{0,S}~t/\hbar }|\psi _{S}(t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{S}(t)\rangle =e^{-iH_{S}~t/\hbar }|\psi _{S}(0)\rangle }$
ข้อมูลสังเกตได้ (Observable)	${\displaystyle A_{H}(t)=e^{iH_{S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{S}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{I}(t)=e^{iH_{0,S}~t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0,S}~t/\hbar }}$	constant

อ้างอิง

1. Albert Messiah (1966). Quantum Mechanics, North Holland, John Wiley & Sons. ISBN 0486409244; J. J. Sakurai (1994). Modern Quantum Mechanics(Addison-Wesley) ISBN 9780201539295.
2. The Interaction Picture, lecture notes from New York University.