รากฐานของคณิตศาสตร์ (อังกฤษ : Foundation of mathematics ) เป็นการศึกษาพื้นฐานสำคัญที่คณิตศาสตร์ จำเป็นต้องใช้ ผ่านมุมมองทางปรัชญา และทางตรรกะ คณิตศาสตร์อาจถือได้ว่ามีส่วนสำคัญสองส่วนคือ การให้นิยาม และการพิสูจน์ ซึ่งทั้งสองส่วนต้องอาศัยระบบสัจพจน์เป็นพื้นฐาน ในการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์เราศึกษาว่าระบบสัจพจน์ที่ใช้นั้นบริบูรณ์หรือไม่ขัดแย้งในตัวมันเองหรือไม่ หากระบบสัจพจน์ที่ใช้สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสอง และเราสามารถดำเนินการคณิตศาสตร์ทั่วไปในระบบสัจพจน์นั้นได้ ระบบสัจพจน์นั้นก็ถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่ดี
ในมุมมองเชิงปรัชญา รากฐานของคณิตศาสตร์ค้นหาทฤษฎีหรือข้อสมมติทางปรัชญาที่ใช้อธิบายธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ ความแตกต่างระหว่างรากฐานของคณิตศาสตร์และปรัชญาของคณิตศาสตร์ค่อนข้างคลุมเครือ การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นคำถามหลักของปรัชญาคณิตศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมกลายเป็นประเด็นสำคัญในปรัชญาของคณิตศาสตร์ การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะศึกษารากฐานของทุกหัวข้อในคณิตศาสตร์ เราสนใจเพียงแต่แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์เท่านั้น ตลอดจนความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดพื้นฐานเหล่านั้น
คณิตศาสตร์มีบทบาทพิเศษในความคิดทางวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ เพราะคณิตศาสตร์เป็นต้นแบบของการค้นหาความจริงอย่างมีเหตุผลและรัดกุม คณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับวิทยาศาสตร์สาขาอื่น ๆ หรือแม้แต่เป็นพื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สาขานั้น (โดยเฉพาะฟิสิกส์) เมื่อคณิตศาสตร์พัฒนาไปในรูปแบบที่เป็นนามธรรมมากขึ้นในศตวรรษที่ 19 ส่งผลให้เกิดปัญหาและปฏิทรรศน์ ใหม่ ๆ ตามมา ปัญหาและปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้น กระตุ้นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาให้ค้นหาความจริงทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบมากขึ้น ตลอดจนพยายามรวมสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันเป็นอันหนึ่งอันเดียว
การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบเริ่มต้นขึ้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้เกิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือ คณิตตรรกศาสตร์ ในภายหลังคณิตตรรกศาสตร์จะมีส่วนเชื่อมโยงอย่างมากกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ตกอยู่ในวิกฤตการณ์หลายครั้งเพราะผลลัพธ์จำนวนมากที่พิสูจน์ได้จากรากฐานของคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะขัดแย้งในตัวมันเอง การค้นพบเหล่านั้นปัจจุบันกลายเป็นความรู้พื้นฐาน และนำไปสู่สาขาย่อยของคณิตศาสตร์จำนวนมาก เช่น ทฤษฎีเซต ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการพิสูจน์ ยังมีการศึกษาหัวข้อเหล่านี้จนถึงปัจจุบัน
วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์ วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์ (มาจากภาษาเยอรมัน : Grundlagenkrise der Mathematik ) เป็นชื่อในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ที่ใช้เรียกการค้นหารากฐานที่เหมาะสมของคณิตศาสตร์
ส่วนนี้รอเพิ่มเติมข้อมูล คุณสามารถช่วยเพิ่มข้อมูลส่วนนี้ได้
การแก้ไขวิกฤต กลุ่มบูร์บากีซึ่งเป็นกลุ่มรวมนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ได้เริ่มจัดพิมพ์หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับสาขาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อวางรากฐานของคณิตศาสตร์สาขาเหล่านั้นบนรากฐานทางทฤษฎีเซตที่เพิ่งค้นพบใหม่
ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ทำงานจากระบบสัจพจน์โดยตรง แต่ถ้าหากต้องใช้ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ระบบสัจพจน์ ZFC และไม่สงสัยว่าระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะจริงหรือไม่ ในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ความไม่บริบูรณ์และปฏิทรรศน์ของทฤษฎีรูปนัยไม่มีผลต่อหัวข้อที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา แต่ในบางสาขาของคณิตศาสตร์บางสาขาที่มีความเสี่ยงจะสร้างทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเอง (เช่น ตรรกวิทยา และทฤษฎีแคทิกอรี) อาจจะต้องใช้ความระมัดระวังเพิ่มเติม
ความก้าวหน้าทางทฤษฎีแคทิกอรีในกลางศตวรรษที่ 20 ชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีเซตอื่น ๆ ที่ยอมให้มีชั้นมากกว่าที่ ZFC ยอมรับก็เป็นประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างทฤษฎีเซตที่มียอมรับชั้นมากกว่า ZFC เช่น ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิล หรือ ทฤษฎีเซตทาร์สกี-โกรเธนดีก แม้ว่าในหลาย ๆ กรณี การใช้สัจพจน์คาร์ดินัลขนาดใหญ่หรือจักรวาลโกรเธนดีกนั้นจะไม่จำเป็นก็ตามที
เป้าหมายอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ผันกลับ คือการค้นหาว่ามี "คณิตศาสตร์ด้านหลัก" ด้านใดบ้าง ที่อาจทำให้เกิดวิกฤติการณ์ทางรากฐานขึ้นอีกครั้ง
ดูเพิ่ม
อ้างอิง Joachim Lambek (2007), "Foundations of mathematics", Encyc. Britannica Mayberry, John P. (2000). The foundations of mathematics in the theory of sets . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-08939-6 . OCLC 852898494. "foundation of mathematics in nLab". ncatlab.org . Leon Horsten (2007, rev. 2012), "Philosophy of Mathematics" SEP Detlefsen, Michael (2016), "Mathematics, foundations of", Routledge Encyclopedia of Philosophy (1 ed.), Routledge, doi :10.4324/9780415249126-y089-1, ISBN 978-0-415-25069-6 , สืบค้นเมื่อ 2021-03-06
รากฐานของคณ, ตศาสตร, งกฤษ, foundation, mathematics, เป, นการศ, กษาพ, นฐานสำค, ญท, คณ, ตศาสตร, จำเป, นต, องใช, านม, มมองทางปร, ชญาและทางตรรกะ, คณ, ตศาสตร, อาจถ, อได, าม, วนสำค, ญสองส, วนค, การให, ยาม, และการพ, จน, งท, งสองส, วนต, องอาศ, ยระบบส, จพจน, เป, นพ, นฐ. rakthankhxngkhnitsastr xngkvs Foundation of mathematics epnkarsuksaphunthansakhythikhnitsastrcaepntxngich phanmummxngthangprchyaaelathangtrrka 1 khnitsastrxacthuxidwamiswnsakhysxngswnkhux karihniyam aelakarphisucn sungthngsxngswntxngxasyrabbscphcnepnphunthan inkarsuksarakthankhxngkhnitsastrerasuksawarabbscphcnthiichnnbriburnhruximkhdaeyngintwmnexnghruxim hakrabbscphcnthiichsxdkhlxngkbenguxnikhthngsxng aelaerasamarthdaeninkarkhnitsastrthwipinrabbscphcnnnid rabbscphcnnnkthuxepnrakthankhxngkhnitsastrthidi 2 3 inmummxngechingprchya rakthankhxngkhnitsastrkhnhathvsdihruxkhxsmmtithangprchyathiichxthibaythrrmchatikhxngkhnitsastr 4 5 inmummxngni khwamaetktangrahwangrakthankhxngkhnitsastraelaprchyakhxngkhnitsastrkhxnkhangkhlumekhrux karkhnharakthankhxngkhnitsastrepnkhathamhlkkhxngprchyakhnitsastr yingipkwann thrrmchatikhxngwtthuthangkhnitsastrthiepnnamthrrmklayepnpraednsakhyinprchyakhxngkhnitsastr karsuksarakthankhxngkhnitsastrimidmicudmunghmaythicasuksarakthankhxngthukhwkhxinkhnitsastr erasnicephiyngaetaenwkhidphunthankhxngkhnitsastrethann tlxdcnkhwamechuxmoyngrahwangaenwkhidphunthanehlannkhnitsastrmibthbathphiessinkhwamkhidthangwithyasastrmatngaetsmyobran ephraakhnitsastrepntnaebbkhxngkarkhnhakhwamcringxyangmiehtuphlaelardkum khnitsastrthahnathiepnekhruxngmuxsahrbwithyasastrsakhaxun hruxaemaetepnphunthansahrbwithyasastrsakhann odyechphaafisiks emuxkhnitsastrphthnaipinrupaebbthiepnnamthrrmmakkhuninstwrrsthi 19 sngphlihekidpyhaaelaptithrrsnihm tamma pyhaaelaptithrrsnthiekidkhun kratunnkkhnitsastraelankprchyaihkhnhakhwamcringthangkhnitsastrxyangepnrabbmakkhun tlxdcnphyayamrwmsakhatang khxngkhnitsastrekhadwyknepnxnhnungxnediywkarkhnharakthankhxngkhnitsastrxyangepnrabberimtnkhunemuxplaystwrrsthi 19 thaihekidsakhaihmkhxngkhnitsastrkhux khnittrrksastr inphayhlngkhnittrrksastrcamiswnechuxmoyngxyangmakkbwithyakarkhxmphiwetxr khnitsastrtkxyuinwikvtkarnhlaykhrngephraaphllphthcanwnmakthiphisucnidcakrakthankhxngkhnitsastrduehmuxncakhdaeyngintwmnexng karkhnphbehlannpccubnklayepnkhwamruphunthan aelanaipsusakhayxykhxngkhnitsastrcanwnmak echn thvsdiest thvsdiomedl thvsdikarphisucn yngmikarsuksahwkhxehlanicnthungpccubn enuxha 1 wikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr 2 karaekikhwikvt 3 duephim 4 xangxingwikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr aekikhwikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr macakphasaeyxrmn Grundlagenkrise der Mathematik epnchuxinchwngtnstwrrsthi 20 thiicheriykkarkhnharakthanthiehmaasmkhxngkhnitsastr swnnirxephimetimkhxmul khunsamarthchwyephimkhxmulswnniidkaraekikhwikvt aekikhklumburbakisungepnklumrwmnkkhnitsastrchawfrngessinchwngtnstwrrsthi 20 iderimcdphimphhnngsuxhlayelmekiywkbsakhatang inkhnitsastr odymicudmunghmayephuxwangrakthankhxngkhnitsastrsakhaehlannbnrakthanthangthvsdiestthiephingkhnphbihminthangptibti nkkhnitsastrswnihyimidthangancakrabbscphcnodytrng aetthahaktxngich nkkhnitsastrswnihyichrabbscphcn ZFC aelaimsngsywarabbscphcndngklawcacringhruxim inkhnitsastrswnihy khwamimbriburnaelaptithrrsnkhxngthvsdirupnyimmiphltxhwkhxthinkkhnitsastrsuksa aetinbangsakhakhxngkhnitsastrbangsakhathimikhwamesiyngcasrangthvsdithikhdaeyngknexng echn trrkwithyaaelathvsdiaekhthikxri xaccatxngichkhwamramdrawngephimetimkhwamkawhnathangthvsdiaekhthikxriinklangstwrrsthi 20 chiihehnwathvsdiestxun thiyxmihmichnmakkwathi ZFC yxmrbkepnpraoychninkarsuksakhnitsastr twxyangthvsdiestthimiyxmrbchnmakkwa ZFC echn thvsdiestfxnnxymnn aebrins ekxedil hrux thvsdiesttharski okrethndik aemwainhlay krni karichscphcnkhardinlkhnadihyhruxckrwalokrethndiknncaimcaepnktamthiepahmayxyanghnungkhxngkhnitsastrphnklb khuxkarkhnhawami khnitsastrdanhlk danidbang thixacthaihekidwikvtikarnthangrakthankhunxikkhrngduephim aekikhkhnittrrksastr karotethiyngrahwangebrawewxraelahilaebrth khxpyhakhxngechirch thwring yanwithya yukhlid pyhakhxnghilebirt ptithrrsnkhnokhk New Foundations prchyakhnitsastr Principia Mathematicaxangxing aekikh Joachim Lambek 2007 Foundations of mathematics Encyc Britannica Mayberry John P 2000 The foundations of mathematics in the theory of sets Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 1 107 08939 6 OCLC 852898494 foundation of mathematics in nLab ncatlab org Leon Horsten 2007 rev 2012 Philosophy of Mathematics SEP Detlefsen Michael 2016 Mathematics foundations of Routledge Encyclopedia of Philosophy 1 ed Routledge doi 10 4324 9780415249126 y089 1 ISBN 978 0 415 25069 6 subkhnemux 2021 03 06 bthkhwamekiywkbkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title rakthankhxngkhnitsastr amp oldid 9290329, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,
บทความ , อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม