fbpx
วิกิพีเดีย

รากฐานของคณิตศาสตร์

รากฐานของคณิตศาสตร์ (อังกฤษ: Foundation of mathematics) เป็นการศึกษาพื้นฐานสำคัญที่คณิตศาสตร์จำเป็นต้องใช้ ผ่านมุมมองทางปรัชญาและทางตรรกะ คณิตศาสตร์อาจถือได้ว่ามีส่วนสำคัญสองส่วนคือ การให้นิยาม และการพิสูจน์ ซึ่งทั้งสองส่วนต้องอาศัยระบบสัจพจน์เป็นพื้นฐาน ในการศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์เราศึกษาว่าระบบสัจพจน์ที่ใช้นั้นบริบูรณ์หรือไม่ขัดแย้งในตัวมันเองหรือไม่ หากระบบสัจพจน์ที่ใช้สอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสอง และเราสามารถดำเนินการคณิตศาสตร์ทั่วไปในระบบสัจพจน์นั้นได้ ระบบสัจพจน์นั้นก็ถือเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์ที่ดี

ในมุมมองเชิงปรัชญา รากฐานของคณิตศาสตร์ค้นหาทฤษฎีหรือข้อสมมติทางปรัชญาที่ใช้อธิบายธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ในมุมมองนี้ ความแตกต่างระหว่างรากฐานของคณิตศาสตร์และปรัชญาของคณิตศาสตร์ค่อนข้างคลุมเครือ การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์เป็นคำถามหลักของปรัชญาคณิตศาสตร์ ยิ่งไปกว่านั้น ธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เป็นนามธรรมกลายเป็นประเด็นสำคัญในปรัชญาของคณิตศาสตร์ การศึกษารากฐานของคณิตศาสตร์ไม่ได้มีจุดมุ่งหมายที่จะศึกษารากฐานของทุกหัวข้อในคณิตศาสตร์ เราสนใจเพียงแต่แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์เท่านั้น ตลอดจนความเชื่อมโยงระหว่างแนวคิดพื้นฐานเหล่านั้น

คณิตศาสตร์มีบทบาทพิเศษในความคิดทางวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่สมัยโบราณ เพราะคณิตศาสตร์เป็นต้นแบบของการค้นหาความจริงอย่างมีเหตุผลและรัดกุม คณิตศาสตร์ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับวิทยาศาสตร์สาขาอื่น ๆ หรือแม้แต่เป็นพื้นฐานสำหรับวิทยาศาสตร์สาขานั้น (โดยเฉพาะฟิสิกส์) เมื่อคณิตศาสตร์พัฒนาไปในรูปแบบที่เป็นนามธรรมมากขึ้นในศตวรรษที่ 19 ส่งผลให้เกิดปัญหาและปฏิทรรศน์ใหม่ ๆ ตามมา ปัญหาและปฏิทรรศน์ที่เกิดขึ้น กระตุ้นนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาให้ค้นหาความจริงทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบมากขึ้น ตลอดจนพยายามรวมสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์เข้าด้วยกันเป็นอันหนึ่งอันเดียว

การค้นหารากฐานของคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบเริ่มต้นขึ้นเมื่อปลายศตวรรษที่ 19 ทำให้เกิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือ คณิตตรรกศาสตร์ ในภายหลังคณิตตรรกศาสตร์จะมีส่วนเชื่อมโยงอย่างมากกับวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ตกอยู่ในวิกฤตการณ์หลายครั้งเพราะผลลัพธ์จำนวนมากที่พิสูจน์ได้จากรากฐานของคณิตศาสตร์ดูเหมือนจะขัดแย้งในตัวมันเอง การค้นพบเหล่านั้นปัจจุบันกลายเป็นความรู้พื้นฐาน และนำไปสู่สาขาย่อยของคณิตศาสตร์จำนวนมาก เช่น ทฤษฎีเซต ทฤษฎีโมเดล ทฤษฎีการพิสูจน์ ยังมีการศึกษาหัวข้อเหล่านี้จนถึงปัจจุบัน

วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์

วิกฤตการณ์ทางรากฐานของคณิตศาสตร์ (มาจากภาษาเยอรมัน : Grundlagenkrise der Mathematik) เป็นชื่อในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ที่ใช้เรียกการค้นหารากฐานที่เหมาะสมของคณิตศาสตร์

การแก้ไขวิกฤต

กลุ่มบูร์บากีซึ่งเป็นกลุ่มรวมนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ได้เริ่มจัดพิมพ์หนังสือหลายเล่มเกี่ยวกับสาขาต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อวางรากฐานของคณิตศาสตร์สาขาเหล่านั้นบนรากฐานทางทฤษฎีเซตที่เพิ่งค้นพบใหม่

ในทางปฏิบัติ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ได้ทำงานจากระบบสัจพจน์โดยตรง แต่ถ้าหากต้องใช้ นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ใช้ระบบสัจพจน์ ZFC และไม่สงสัยว่าระบบสัจพจน์ดังกล่าวจะจริงหรือไม่ ในคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ความไม่บริบูรณ์และปฏิทรรศน์ของทฤษฎีรูปนัยไม่มีผลต่อหัวข้อที่นักคณิตศาสตร์ศึกษา แต่ในบางสาขาของคณิตศาสตร์บางสาขาที่มีความเสี่ยงจะสร้างทฤษฎีที่ขัดแย้งกันเอง (เช่น ตรรกวิทยาและทฤษฎีแคทิกอรี) อาจจะต้องใช้ความระมัดระวังเพิ่มเติม

ความก้าวหน้าทางทฤษฎีแคทิกอรีในกลางศตวรรษที่ 20 ชี้ให้เห็นว่าทฤษฎีเซตอื่น ๆ ที่ยอมให้มีชั้นมากกว่าที่ ZFC ยอมรับก็เป็นประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ ตัวอย่างทฤษฎีเซตที่มียอมรับชั้นมากกว่า ZFC เช่น ทฤษฎีเซตฟอนนอยมันน์-แบร์ไนส์-เกอเดิล หรือ ทฤษฎีเซตทาร์สกี-โกรเธนดีก แม้ว่าในหลาย ๆ กรณี การใช้สัจพจน์คาร์ดินัลขนาดใหญ่หรือจักรวาลโกรเธนดีกนั้นจะไม่จำเป็นก็ตามที

เป้าหมายอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์ผันกลับ คือการค้นหาว่ามี "คณิตศาสตร์ด้านหลัก" ด้านใดบ้าง ที่อาจทำให้เกิดวิกฤติการณ์ทางรากฐานขึ้นอีกครั้ง

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

  1. Joachim Lambek (2007), "Foundations of mathematics", Encyc. Britannica
  2. Mayberry, John P. (2000). The foundations of mathematics in the theory of sets. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-08939-6. OCLC 852898494.
  3. "foundation of mathematics in nLab". ncatlab.org.
  4. Leon Horsten (2007, rev. 2012), "Philosophy of Mathematics" SEP
  5. Detlefsen, Michael (2016), "Mathematics, foundations of", Routledge Encyclopedia of Philosophy (1 ed.), Routledge, doi:10.4324/9780415249126-y089-1, ISBN 978-0-415-25069-6, สืบค้นเมื่อ 2021-03-06


รากฐานของคณ, ตศาสตร, งกฤษ, foundation, mathematics, เป, นการศ, กษาพ, นฐานสำค, ญท, คณ, ตศาสตร, จำเป, นต, องใช, านม, มมองทางปร, ชญาและทางตรรกะ, คณ, ตศาสตร, อาจถ, อได, าม, วนสำค, ญสองส, วนค, การให, ยาม, และการพ, จน, งท, งสองส, วนต, องอาศ, ยระบบส, จพจน, เป, นพ, นฐ. rakthankhxngkhnitsastr xngkvs Foundation of mathematics epnkarsuksaphunthansakhythikhnitsastrcaepntxngich phanmummxngthangprchyaaelathangtrrka 1 khnitsastrxacthuxidwamiswnsakhysxngswnkhux karihniyam aelakarphisucn sungthngsxngswntxngxasyrabbscphcnepnphunthan inkarsuksarakthankhxngkhnitsastrerasuksawarabbscphcnthiichnnbriburnhruximkhdaeyngintwmnexnghruxim hakrabbscphcnthiichsxdkhlxngkbenguxnikhthngsxng aelaerasamarthdaeninkarkhnitsastrthwipinrabbscphcnnnid rabbscphcnnnkthuxepnrakthankhxngkhnitsastrthidi 2 3 inmummxngechingprchya rakthankhxngkhnitsastrkhnhathvsdihruxkhxsmmtithangprchyathiichxthibaythrrmchatikhxngkhnitsastr 4 5 inmummxngni khwamaetktangrahwangrakthankhxngkhnitsastraelaprchyakhxngkhnitsastrkhxnkhangkhlumekhrux karkhnharakthankhxngkhnitsastrepnkhathamhlkkhxngprchyakhnitsastr yingipkwann thrrmchatikhxngwtthuthangkhnitsastrthiepnnamthrrmklayepnpraednsakhyinprchyakhxngkhnitsastr karsuksarakthankhxngkhnitsastrimidmicudmunghmaythicasuksarakthankhxngthukhwkhxinkhnitsastr erasnicephiyngaetaenwkhidphunthankhxngkhnitsastrethann tlxdcnkhwamechuxmoyngrahwangaenwkhidphunthanehlannkhnitsastrmibthbathphiessinkhwamkhidthangwithyasastrmatngaetsmyobran ephraakhnitsastrepntnaebbkhxngkarkhnhakhwamcringxyangmiehtuphlaelardkum khnitsastrthahnathiepnekhruxngmuxsahrbwithyasastrsakhaxun hruxaemaetepnphunthansahrbwithyasastrsakhann odyechphaafisiks emuxkhnitsastrphthnaipinrupaebbthiepnnamthrrmmakkhuninstwrrsthi 19 sngphlihekidpyhaaelaptithrrsnihm tamma pyhaaelaptithrrsnthiekidkhun kratunnkkhnitsastraelankprchyaihkhnhakhwamcringthangkhnitsastrxyangepnrabbmakkhun tlxdcnphyayamrwmsakhatang khxngkhnitsastrekhadwyknepnxnhnungxnediywkarkhnharakthankhxngkhnitsastrxyangepnrabberimtnkhunemuxplaystwrrsthi 19 thaihekidsakhaihmkhxngkhnitsastrkhux khnittrrksastr inphayhlngkhnittrrksastrcamiswnechuxmoyngxyangmakkbwithyakarkhxmphiwetxr khnitsastrtkxyuinwikvtkarnhlaykhrngephraaphllphthcanwnmakthiphisucnidcakrakthankhxngkhnitsastrduehmuxncakhdaeyngintwmnexng karkhnphbehlannpccubnklayepnkhwamruphunthan aelanaipsusakhayxykhxngkhnitsastrcanwnmak echn thvsdiest thvsdiomedl thvsdikarphisucn yngmikarsuksahwkhxehlanicnthungpccubn enuxha 1 wikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr 2 karaekikhwikvt 3 duephim 4 xangxingwikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr aekikhwikvtkarnthangrakthankhxngkhnitsastr macakphasaeyxrmn Grundlagenkrise der Mathematik epnchuxinchwngtnstwrrsthi 20 thiicheriykkarkhnharakthanthiehmaasmkhxngkhnitsastr swnnirxephimetimkhxmul khunsamarthchwyephimkhxmulswnniidkaraekikhwikvt aekikhklumburbakisungepnklumrwmnkkhnitsastrchawfrngessinchwngtnstwrrsthi 20 iderimcdphimphhnngsuxhlayelmekiywkbsakhatang inkhnitsastr odymicudmunghmayephuxwangrakthankhxngkhnitsastrsakhaehlannbnrakthanthangthvsdiestthiephingkhnphbihminthangptibti nkkhnitsastrswnihyimidthangancakrabbscphcnodytrng aetthahaktxngich nkkhnitsastrswnihyichrabbscphcn ZFC aelaimsngsywarabbscphcndngklawcacringhruxim inkhnitsastrswnihy khwamimbriburnaelaptithrrsnkhxngthvsdirupnyimmiphltxhwkhxthinkkhnitsastrsuksa aetinbangsakhakhxngkhnitsastrbangsakhathimikhwamesiyngcasrangthvsdithikhdaeyngknexng echn trrkwithyaaelathvsdiaekhthikxri xaccatxngichkhwamramdrawngephimetimkhwamkawhnathangthvsdiaekhthikxriinklangstwrrsthi 20 chiihehnwathvsdiestxun thiyxmihmichnmakkwathi ZFC yxmrbkepnpraoychninkarsuksakhnitsastr twxyangthvsdiestthimiyxmrbchnmakkwa ZFC echn thvsdiestfxnnxymnn aebrins ekxedil hrux thvsdiesttharski okrethndik aemwainhlay krni karichscphcnkhardinlkhnadihyhruxckrwalokrethndiknncaimcaepnktamthiepahmayxyanghnungkhxngkhnitsastrphnklb khuxkarkhnhawami khnitsastrdanhlk danidbang thixacthaihekidwikvtikarnthangrakthankhunxikkhrngduephim aekikhkhnittrrksastr karotethiyngrahwangebrawewxraelahilaebrth khxpyhakhxngechirch thwring yanwithya yukhlid pyhakhxnghilebirt ptithrrsnkhnokhk New Foundations prchyakhnitsastr Principia Mathematicaxangxing aekikh Joachim Lambek 2007 Foundations of mathematics Encyc Britannica Mayberry John P 2000 The foundations of mathematics in the theory of sets Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 1 107 08939 6 OCLC 852898494 foundation of mathematics in nLab ncatlab org Leon Horsten 2007 rev 2012 Philosophy of Mathematics SEP Detlefsen Michael 2016 Mathematics foundations of Routledge Encyclopedia of Philosophy 1 ed Routledge doi 10 4324 9780415249126 y089 1 ISBN 978 0 415 25069 6 subkhnemux 2021 03 06 bthkhwamekiywkbkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title rakthankhxngkhnitsastr amp oldid 9290329, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม