ลิมิตของลำดับ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของลำดับเป็นค่าซึ่งพจน์ของลำดับ "โน้มเอียง" (tend to) หากมีลิมิต ลำดับนั้นเรียก ลู่เข้า (convergent) หากลำดับไม่ลู่เข่าจะเรียก ลู่ออก (divergent) มีคำกล่าวว่าลิมิตของลำดับเป็นความคิดมูลฐานซึ่งสุดท้ายเป็นที่ลงเอยของการวิเคราะห์ทั้งหมด

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

เมื่อจำนวนเต็มบวก ${\displaystyle n}$ มีค่ามากขึ้น ค่า ${\displaystyle n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$ จะเข้าใกล้ ${\displaystyle 1}$ กล่าวได้ว่า "ลิมิตของลำดับ ${\displaystyle n\cdot \sin {\bigg (}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$ เท่ากับ ${\displaystyle 1}$"

สามารถนิยามลิมิตในปริภูมิเมตริกหรือทอพอโลยีใดก็ได้ แต่ปกติพบในจำนวนจริง

จำนวนจริง

 

การลงจุดของลำดับลู่เข้า {a_n} แสดงในสีน้ำเงิน จะเห็นได้ว่าลำดับลู่เข้าลิมิตเมื่อ n เพิ่ม

ในจำนวนจริง จำนวน ${\displaystyle L}$  เป็นลิมิตของลำดับ ${\displaystyle (x_{n})}$  ถ้าจำนวนในลำดับมีค่าเข้าใกล้ ${\displaystyle L}$  มากขึ้น ๆ และไม่เข้าใกล้จำนวนอื่น

ตัวอย่าง

• ถ้า ${\displaystyle x_{n}=c}$  สำหรับค่าคงตัว c แล้ว ${\displaystyle x_{n}\to c}$ 
• ถ้า ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$  แล้ว ${\displaystyle x_{n}\to 0}$ 
• ถ้า ${\displaystyle x_{n}=1/n}$  เมื่อ ${\displaystyle n}$  เป็นคู่ และ ${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$  เมื่อ ${\displaystyle n}$  เป็นคี่ แล้ว ${\displaystyle x_{n}\to 0}$  (ข้อเท็จจริงว่า ${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$  ต่อเมื่อ ${\displaystyle n}$  เป็นคู่นั้นไม่เกี่ยวข้องกัน)
• สำหรับจำนวนจริงใด ๆ อาจสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าจำนวนนั้นได้โดยการใช้การประมาณทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับ ${\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,...}$  ลู่เข้า ${\displaystyle 1/3}$  หมายเหตุว่า ตัวแทนทศนิยม ${\displaystyle 0.3333...}$  เป็นลิมิตของลำดับก่อนหน้า นิยามโดย

${\displaystyle 0.3333...\triangleq \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}}$ 

• การค้นหาลิมิตของลำดับอาจไม่ชัดเจนเสมอไป สองตัวอย่างได้แก่ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$  (ซึ่งมีลิมิตเป็น จำนวน e) และ มัชฌิมเลขคณิต–เรขาคณิต (arithmetic–geometric mean) ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทบีบ (squeeze theorem) มักมีประโยชน์ในการหาลิมิต

ข้อพิสูจน์

1. Proof: choose ${\displaystyle N=1}$ . For every ${\displaystyle n\geq N}$ , ${\displaystyle |x_{n}-c|=0<\epsilon }$ 
2. Proof: choose ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {1}{\epsilon }}\right\rfloor }$  + 1 (the floor function). For every ${\displaystyle n\geq N}$ , ${\displaystyle |x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\epsilon \rfloor +1}}<\epsilon }$ .

อ้างอิง

• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)