fbpx
วิกิพีเดีย

เซตกำลัง

ตามหลักวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ , P(S), ℙ(S), ℘(S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ

สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด

เซตย่อยใดๆ ของ เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่าง

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

  • {} (อาจเขียนแทนด้วย   เรียกเซตว่าง)
  • {x}
  • {y}
  • {z}
  • {x, y}
  • {x, z}
  • {y, z}
  • {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

สมบัติ

ถ้า   เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก   ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ   คือ   ทำให้เกิดสัญกรณ์   สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ   ในรูปแบบ   ซึ่ง   มีค่า   หรือ   ถ้า   สมาชิกตัวที่  ของ   อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่ ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ  

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน

ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ   โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ  กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2S และ   ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่   เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

  • { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
  • {x} = 100 = 4
  • {y} = 010 = 2
  • {z} = 001 = 1
  • {x, y} = 110 = 6
  • {x, z} = 101 = 5
  • {y, z} = 011 = 3
  • {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก   ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก   ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่   เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

  • เซตขนาด 0   เซต
  • เซตขนาด 1   เซต
  • เซตขนาด 2   เซต
  • เซตขนาด 3   เซต

อ้างอิง

  1. Devlin (1979) หน้า 50
  2. Puntambekar (2007), หน้า 1-2

รายชื่อหนังสืออ้างอิง

  • Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
  • Puntambekar, A.A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.

เซตกำล, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, ดตามหล, กว, ชาคณ, ตศาสตร, หร, เพาเวอร, เซต, งกฤษ, power, ของเซต, ใดๆ, เข, ยนแสดงด,. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudtamhlkwichakhnitsastr estkalng hrux ephaewxrest xngkvs power set khxngest S id ekhiynaesdngdwysylksn P S displaystyle mathcal P S P S ℙ S S hrux 2S epnestkhxngestyxythnghmdkhxng S rwmthngestwang aelaest S exng tamhlkthvsdiestechingscphcn echnscphcn ZFC scphcnaehngestkalngrxngrbkarmixyukhxngestkalngsahrbestid 1 smachikkhxngestkalngkhxngest x y z eriyngladbtamkarmismachikinxikesthnungthnghmd estyxyid khxngP S displaystyle mathcal P S eriykwa khrxbkhrwkhxngest bn S enuxha 1 twxyang 2 smbti 3 aesdngestyxyinrupfngkchn 4 khwamsmphnthkbthvsdibththwinam 5 xangxing 6 raychuxhnngsuxxangxingtwxyang aekikhtha S epnest x y z aelwestyxykhxng S idaek xacekhiynaethndwy displaystyle varnothing eriykestwang x y z x y x z y z x y z dngnnestkalngkhxng S khux x y z x y x z y z x y z 2 smbti aekikhtha S displaystyle S epnestcakdthimismachik S n displaystyle S n tw aelwcanwnkhxngestyxykhxng S displaystyle S khux P S 2 n displaystyle mathcal P S 2 n thaihekidsykrn 2 S displaystyle 2 S samarthphisucniddngni ekhiynestyxyid khxng S displaystyle S inrupaebb w 1 w 2 w n displaystyle omega 1 omega 2 ldots omega n sung w i 1 i n displaystyle omega i 1 leq i leq n mikha 0 displaystyle 0 hrux 1 displaystyle 1 tha w i 1 displaystyle omega i 1 smachiktwthii displaystyle i khxng S displaystyle S xyuinestyxy michannsmachiktwthii displaystyle i imxyuinestyxy dngnncanwnkhxngestyxythiaetktangknthnghmdthisamarthsrangodywithinikhux 2 n displaystyle 2 n karxangehtuphlaenwthaeyngkhxngkhnthxr aesdngwaestkalngkhxngest thngestcakdaelaestxnnt mi phawaechingkarnb makkwaestnn esmx klawkhuxestkalngkhxngestid txngihykwaestnn odyechphaaxyangyingthvsdibthkhxngkhnthxraesdngwaestkalngkhxngestxnntnbidepnestxnntnbimid twxyang echn estkalngkhxngestkhxngcanwnthrrmchatimikhwamsmphnthhnungtxhnungthwthungkbestkhxngcanwncring duhna cardinality of the continuum estkalngkhxngest S aelakardaeninkarhayueniyn xinetxreskchn aela swnetimetm samarthmxngepntwxyangtnaebbkhxngphichkhnitaebbbul thicringaelwyngsamarthaesdngwaphichkhnitaebbbulkhnadcakdid epnsmsnthankbphichkhnitaebbbulkhxngestkalngkhxngestcakdbangest sahrbphichkhnitaebbbulkhnadxnnt khxkhwamniimepncring aetphichkhnitaebbbulkhnadxnntthukokhrngsrangsamarthaethndwyokhrngsrangphichkhnityxy khxngestkalngkhxngphichkhnitaebbbul duhna Stone s representation theorem estkalngkhxngest S kxihekid xabieliynkrup emuxphicarnadwykardaeninkarhaphltangsmmatr odymiestwangepnsmachikexklksnaelaaetlaestepntwphkphnkbestnn estkalngkhxngest S yngkxihekidomnxydslbthi emuxphicarnadwykardaeninkarhaxinetxreskchn karphisucnkdkaraeckaecngsamarthaesdngwaestkalngkbkardaeninkarthngsxngnisrangringaebbbulaesdngestyxyinrupfngkchn aekikhinwichathvsdiest XY epnestkhxngfngkchnthnghmdcak Y ip X ephraawa 2 xacniyamepn 0 1 duhna canwnthrrmchati dngnn 2S nnkhux 0 1 S epnestkhxngfngkchnthnghmdcak S ipyng 0 1 emuxcaaenkfngkchntwidtwhnungin 2S kbbuphphaphthisxdkhlxngknkhxngfngkchnnn caehnwamikhwamsmphnthhnungtxhnungthwthungrahwang 2S kb P S displaystyle mathcal P S odyaetlafngkchnepnfngkchnbngchikhxngestyxythiepnsmachikkhxngP S displaystyle mathcal P S kbsingthifngkchnbngchibngchi chann 2S aela P S displaystyle mathcal P S thuxwaethaknthukprakarechingthvsdiestid dngnncungmimulehtusahrbkarekhiynaethnestkalngdwy 2S sxngprakar idaek karekhiynsbestaethndwyfngkchnepnkrniphiesskhxngsykrn XY aelasmbtikhxngestkalngkhangtnwa 2S 2 S sykrnsamarthprayuktichkbtwxyangkhangtnthi S x y z displaystyle S x y z ephuxihehnsmsnthankbcanwnthansxngtngaet 0 cnthung 2n 1 ody n epncanwnsmachikkhxngest 1 intaaehnngthisxdkhlxngknkbtaaehnngsmachikthipraktin S bngchithungkarmismachiktwnn dngnn x y 110sahrbestkalngthnghmdkhxng S caid 000 thansxng 0 thansib x 100 4 y 010 2 z 001 1 x y 110 6 x z 101 5 y z 011 3 x y z 111 7khwamsmphnthkbthvsdibththwinam aekikhestkalngmikhwamsmphnthkbthvsdibththwinam canwnkhxngestthimismachik k displaystyle k twinestkalngkhxngestthimismachik n displaystyle n twcaethakbkarcdhmu C n k displaystyle C n k eriykxikchuxwasmprasiththithwinamtwxyang estkalngkhxngestkhnad 3 mi estkhnad 0 C 3 0 1 displaystyle C 3 0 1 est estkhnad 1 C 3 1 3 displaystyle C 3 1 3 est estkhnad 2 C 3 2 3 displaystyle C 3 2 3 est estkhnad 3 C 3 3 1 displaystyle C 3 3 1 estxangxing aekikh Devlin 1979 hna 50 Puntambekar 2007 hna 1 2raychuxhnngsuxxangxing aekikhDevlin Keith J 1979 Fundamentals of contemporary set theory Universitext Springer Verlag ISBN 0 387 90441 7 Zbl 0407 04003 Puntambekar A A 2007 Theory Of Automata And Formal Languages Technical Publications ISBN 978 81 8431 193 8 ekhathungcak https th wikipedia org w index php title estkalng amp oldid 5348380, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม