เมทริกซ์เพาลี

ในวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เพาลีคือเซตของ เมทริกซ์ 2 X 2 มิติที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์แบบ เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix) และเมทริกซ์ยูนิแทรี่ (unitary matrix) โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์แทนด้วยตัวอักษรกรีก sigma (σ) บางครั้งก็ถูกแทนด้วยตัวอักษร tau (τ) เมื่อใช้เชื่อมโยงเกี่ยวกับ isospin symmetries ในวิชาควอนตัม

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

เมทริกซ์เหล่านี้ถูกต้องชื่อตามนักฟิสิกส์ที่ชื่อว่า วูล์ฟกัง เพาลี (Wolfgang Pauli) เนื่องจากพวกมันเกิดขึ้นในสมการของเพาลีที่นำมาใช้พิจารณาปฏิกิริยาระหว่างสปินของอนุภาคกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าภายนอก ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม เมทริกซ์เพาลีเกี่ยวข้องกับตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมที่สอดคล้องกับการอธิบายสปินของอนุภาคในแต่ละทิศทาง เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันจะเป็นเมทริกซ์เอร์มีเชียนโดยที่กำลังสองของตัวมันเองจะเท่ากับเมริกซ์เอกลักษณ์ (identity matrix) รูปแบบของเมทริกซ์เพาลีเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีขนาด 2 x 2 มิติ

สมบัติพีชคณิต

เมทริกซ์เพาลีแต่ละอันสามารถเขียนอยู่ในรูปนิพจน์เดียวได้ดังนี้

${\displaystyle \sigma _{a}={\begin{pmatrix}\delta _{a3}&\delta _{a1}-i\delta _{a2}\\\delta _{a1}+i\delta _{a2}&-\delta _{a3}\end{pmatrix}}}$

เมื่อ i = √−1 คือ จำนวนจินตภาพ และ δ_ab คือ Kronecker delta

เมทริกซ์นี้จะมีความเป็นเอกลักษณ์ดังนี้

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$

เมื่อ I คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์

• Determinants และ Traces (ผลรวมของเมทริกซ์ในแนวทะแยง) ของเมทริกซ์เพาลีคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\det \sigma _{i}&=-1,\\\operatorname {Tr} \sigma _{i}&=0.\end{aligned}}}$

จากข้างต้นเราสามารถอนุมาน eigenvalue ของแต่ละ σ_i  คือ ±1

Eigenvectors และ Eigenvalues

Eigenvalue ของเมทริกซ์เพาลีแต่ละตัวมี 2 ค่าคือ +1 และ -1 ซึ่ง Eigenvector ที่สอดคล้องคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{x+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},&&\psi _{x-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}},\\&\psi _{y+}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}},&&\psi _{y-}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}},\\&\psi _{z+}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&&\psi _{z-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

เวกเตอร์ของเพาลี

เวกเตอร์เพาลีถูกนิยามโดย

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}$

และจากพื้นฐานของเวกเตอร์ทำให้เวกเตอร์เพาลีจะเป็นตาม

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a_{i}{\hat {x}}_{i})\cdot (\sigma _{j}{\hat {x}}_{j})\\&=a_{i}\sigma _{j}{\hat {x}}_{i}\cdot {\hat {x}}_{j}\\&=a_{i}\sigma _{j}\delta _{ij}\\&=a_{i}\sigma _{i}={\begin{pmatrix}a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&-a_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

ใช้การรวมแบบ summation convention

${\displaystyle \det {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}=-{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=-|{\vec {a}}|^{2},}$

จะมีค่า Eigenvalue เป็น ${\displaystyle \pm |{\vec {a}}|}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {tr} [({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}){\vec {\sigma }}]={\vec {a}}~.}$

และจะมี Eigenvector คือ ${\displaystyle \psi _{+}={\begin{pmatrix}a_{3}+|{\vec {a}}|\\a_{1}+ia_{2}\end{pmatrix}};\qquad \psi _{-}={\begin{pmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{pmatrix}}.}$

อ้างอิง

http://www.il.mahidol.ac.th/e-media/ap-chemistry1/atomic_structure/pauli.htm

http://wikivisually.com/lang-th/wiki/%E0%B8%AB%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%81%E0%B8%B5%E0%B8%94%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%99%E0%B8%82%E0%B8%AD%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%A5%E0%B8%B5

http://www.vcharkarn.com/varticle/505837