ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง หรือ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (อังกฤษ: exponential function) หมายถึงฟังก์ชัน e^x เมื่อ e คือจำนวนที่ทำให้ฟังก์ชัน e^x เท่ากับอนุพันธ์ของมันเอง (ซึ่ง e มีค่าประมาณ 2.718281828) ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกใช้เพื่อจำลองความสัมพันธ์ เมื่อการเปลี่ยนแปลงคงตัวในตัวแปรอิสระ ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามสัดส่วนเดียวกันในตัวแปรตาม (เช่นการเพิ่มขึ้นหรือลดลงของอัตราร้อยละ) ฟังก์ชันนี้มักเขียนเป็น exp(x) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อตัวแปรอิสระเขียนเป็นตัวยกไม่ได้

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ${\displaystyle y=e^{x}}$

กราฟของฟังก์ชัน y = e^x มีลักษณะตั้งชันขึ้นและมีอัตราเพิ่มค่าเร็วยิ่งขึ้นเมื่อ x เพิ่มขึ้น กราฟจะวางตัวอยู่เหนือแกน x เสมอ แต่เมื่อ x เป็นลบกราฟจะลู่เข้าแกน x ดังนั้นแกน x จึงเป็นเส้นกำกับแนวนอน (horizontal asymptote) เส้นหนึ่งของกราฟนี้ ความชันของกราฟแต่ละจุดมีค่าเท่ากับพิกัด y ของจุดนั้น ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ ln(x) ด้วยเหตุนี้ตำราบางเล่มจึงอ้างถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังว่าเป็น แอนติลอการิทึม (antilogarithm)

ในบางกรณีคำว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ก็มีใช้ในความหมายทั่วไปยิ่งขึ้น สำหรับฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ cb^x เมื่อ b คือฐานที่เป็นจำนวนจริงบวก ไม่จำเป็นต้องเป็น e ดูเพิ่มที่การเติบโตแบบเลขชี้กำลังสำหรับความหมายนี้

โดยทั่วไปตัวแปร x สามารถเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือแม้แต่วัตถุทางคณิตศาสตร์ต่าง ๆ ที่ต่างชนิดกันอย่างสิ้นเชิงก็ได้ ดูรายละเอียดที่ นิยามเชิงรูปนัย

ภาพรวม

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะเกิดขึ้น เมื่อใดก็ตามที่ปริมาณอย่างหนึ่งเติบโตหรือเสื่อมสลายในอัตราที่ได้สัดส่วนกับค่าปัจจุบัน ตัวอย่างสถานการณ์นี้เช่นดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง เมื่อ ค.ศ. 1683 ยาคอบ แบร์นูลลี (Jocob Bernoulli) พบว่ามันเป็นเช่นนั้นโดยข้อเท็จจริง และนำไปสู่จำนวน e ที่ไม่ทราบค่าดังนี้

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ 

ต่อมา ค.ศ. 1697 โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ก็ได้ศึกษาแคลคูลัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังกล่าว

ถ้ามีเงินต้นจำนวน 1 และได้รับดอกเบี้ยในอัตรารายปี x โดยทบต้นรายเดือน ดังนั้นอัตราดอกเบี้ยที่ได้รับต่อเดือนจึงเป็น x/12 เท่าของมูลค่าปัจจุบัน แต่ละเดือนจึงมียอดรวมของเดือนก่อนหน้าคูณด้วย (1+x/12) ในที่สุดมูลค่าที่ได้เมื่อสิ้นปีจึงเท่ากับ (1+x/12)¹² ถ้าคิดดอกเบี้ยทบต้นรายวันแทน มูลค่าจะกลายเป็น (1+x/365)³⁶⁵ และถ้ากำหนดให้จำนวนช่วงเวลาต่อปีเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด จะนำไปสู่นิยามของลิมิตของฟังก์ชันเลขชี้กำลังดังนี้

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

นิยามนี้กำหนดไว้โดยออยเลอร์ สิ่งนี้เป็นการอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลังวิธีหนึ่ง ส่วนวิธีการอื่นจะเกี่ยวข้องกับอนุกรมและสมการเชิงอนุพันธ์

จากนิยามใด ๆ เหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นไปตามเอกลักษณ์การยกกำลังพื้นฐาน

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$ ....

จึงเป็นที่มาว่าเหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงสามารถเขียนในรูปแบบ e^x ได้

อนุพันธ์ (อัตราการเปลี่ยนแปลง) ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง คือฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยตัวมันเอง หรืออีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันที่มีอัตราการเปลี่ยนแปลงได้สัดส่วนกับฟังก์ชันตัวเอง (แทนที่จะหมายถึงเท่ากับตัวเอง) สามารถแสดงได้ในรูปแบบฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สมบัติของฟังก์ชันข้อนี้นำไปสู่การอธิบายการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังขยายแนวคิดเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่งบนระนาบเชิงซ้อน สูตรของออยเลอร์เกี่ยวข้องกับค่าของฟังก์ชันเมื่อส่งค่าอาร์กิวเมนต์ส่วนจินตภาพไปยังฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็มีสิ่งที่คล้ายกันสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นเมทริกซ์ หรือแม้แต่สมาชิกของพีชคณิตแบบบานัค (Banach algebra) หรือพีชคณิตแบบลี (Lie algebra)

นิยามเชิงรูปนัย

ดูบทความหลักที่: การอธิบายลักษณะเฉพาะของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

 

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (สีน้ำเงิน) และผลบวกของ n + 1 พจน์แรกของอนุกรมกำลัง (สีแดง)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e^x สามารถอธิบายลักษณะเฉพาะได้เทียบเท่ากันหลายวิธีการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันเลขชี้กำลังอาจนิยามด้วยอนุกรมกำลังต่อไปนี้

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$ 

การใช้นิยามวิธีอื่นของฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันเมื่อขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์

e^x อาจถูกนิยามให้เป็นคำตอบ y ของสมการนี้ ซึ่งเป็นรูปแบบที่พบได้น้อยกว่า

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}}$ 

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังก็อาจหมายถึงลิมิตดังนี้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในตอนต้น

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$ 

อนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์

 

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีค่าเท่ากับค่าของฟังก์ชัน; จากจุด P ใด ๆ บนเส้นโค้ง (สีน้ำเงิน) ถ้ามีเส้นสัมผัส (สีแดง) และเส้นตรงตามแนวดิ่งจากจุดสัมผัส (สีเขียว) ตามลักษณะดังรูป จะเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนฐานแกน x (สีเขียว) ที่มีความยาว 1 หน่วย ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัส (อนุพันธ์) ที่จุด P จึงเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยม (ค่าของฟังก์ชัน)

ความสำคัญหลักของฟังก์ชันเลขชี้กำลังในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เกิดจากสมบัติของอนุพันธ์ของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$ 

นั่นคือ e^x เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง และเป็นตัวอย่างพื้นฐานอันหนึ่งของฟังก์ชันแบบพฟัฟฟ์ (Pfaffian function) ฟังก์ชันต่าง ๆ ที่อยู่ในรูปแบบ ce^x ซึ่ง c เป็นค่าคงตัว เป็นฟังก์ชันกลุ่มเดียวที่มีสมบัติเช่นนี้ (จากทฤษฎีบทปิการ์-ลินเดเลิฟ (Picard–Lindelöf theorem)) หรือกล่าวให้เจาะจงได้ว่า กำหนดให้ k เป็นค่าคงตัวจำนวนจริงใด ๆ ฟังก์ชัน f : R→R จะสอดคล้องกับเงื่อนไข f ′ = kf ก็ต่อเมื่อ f(x) = ce^kx สำหรับค่าคงตัว c บางจำนวน การอธิบายด้วยวิธีอื่นที่ให้ผลเหมือนกันเช่น

• ความชันของกราฟ ณ จุดใด ๆ เท่ากับความสูงของฟังก์ชันที่จุดนั้น
• อัตราการเพิ่มของฟังก์ชันที่จุด x เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x
• ฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ y ′ = y
• exp เป็นจุดตรึง (fixed point) ของอนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชันนัล (functional)

โดยข้อเท็จจริงแล้ว สมการเชิงอนุพันธ์หลายชนิดทำให้เกิดฟังก์ชันเลขชี้กำลัง รวมทั้งสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger equation) สมการลาปลัส (Laplace's equation) และสมการที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเดียว (simple harmonic motion)

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นคือ

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a}$ 

ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังใด ๆ จึงเป็นพหุคูณค่าคงตัวของอนุพันธ์ของตัวเอง

สำหรับฟังก์ชันเลขชี้กำลังในฐานอื่นที่มีค่าคงตัวประกอบในเลขชี้กำลัง

${\displaystyle \left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c},\qquad c>0}$ 

สมการข้างต้นเป็นจริงสำหรับค่า c ทุกจำนวน แต่ผลลัพธ์ของอนุพันธ์เมื่อ c < 0 จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าอัตราการเติบโตหรือเสื่อมสลายของตัวแปรได้สัดส่วนกับขนาดของตัวแปร เช่นการเติบโตของประชากรอย่างไม่จำกัด ดอกเบี้ยทบต้นต่อเนื่อง หรือการสลายตัวของสารกัมมันตรังสี ตัวแปรนั้นจะสามารถเขียนในรูปแบบค่าคงตัวคูณด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังของเวลา

นอกเหนือจากนี้ ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ f(x) ชนิดใด ๆ เราสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยใช้กฎลูกโซ่ดังนี้

${\displaystyle {d \over dx}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}}$ 

เศษส่วนต่อเนื่องของ e^x

เศษส่วนต่อเนื่องของ e^x สามารถนำมาจากเอกลักษณ์ข้อหนึ่งของออยเลอร์

${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-{\cfrac {4x}{x+5-{\cfrac {5x}{x+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}$ 

เศษส่วนต่อเนื่องนัยทั่วไปของ e^2x/y ต่อไปนี้ มีค่าลู่เข้าอย่างรวดเร็ว

${\displaystyle e^{2x/y}=1+{\cfrac {2x}{y-x+{\cfrac {x^{2}}{3y+{\cfrac {x^{2}}{5y+{\cfrac {x^{2}}{7y+{\cfrac {x^{2}}{9y+{\cfrac {x^{2}}{11y+{\cfrac {x^{2}}{13y+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$ 

สำหรับกรณีพิเศษเมื่อ x = y = 1 จะได้

${\displaystyle e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+{\cfrac {1}{13+\ddots }}}}}}}}}}}$ 

ระนาบเชิงซ้อน

 

กราฟของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน การเปลี่ยนสีจากมืดเป็นสว่างแสดงให้เห็นถึงขนาดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นไปทางขวา แถบสีในแนวราบที่ซ้ำเป็นช่วงแสดงว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันเป็นคาบในส่วนจินตภาพของอาร์กิวเมนต์

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสามารถนิยามบนระนาบเชิงซ้อนได้หลายรูปแบบเทียบเท่ากัน เช่นเดียวกับกรณีของจำนวนจริง การนิยามเหล่านี้บางอย่างเหมือนสูตรต่าง ๆ ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง หากกล่าวโดยเฉพาะเจาะจง เรายังสามารถใช้นิยามอนุกรมกำลังซึ่งค่าจริงถูกแทนที่ด้วยค่าเชิงซ้อน

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}}$ 

จากการใช้นิยามนี้ทำให้ง่ายต่อการแสดงว่า ${\displaystyle \textstyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}$  ยังคงเป็นจริงบนระนาบเชิงซ้อน

นิยามอีกตัวอย่างหนึ่งเป็นการขยายแนวคิดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริง ขั้นแรกระบุถึงสมบัติที่ต้องการ ${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}}$  ส่วนแรก e^x จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงตามปกติ ส่วนหลังใช้สูตรของออยเลอร์นิยาม ${\displaystyle e^{iy}=\cos(y)+i\sin(y)}$  ดังนั้นจึงจำเป็นต้องใช้การนิยามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้

เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่นิยามบนระนาบเชิงซ้อน ฟังก์ชันเลขชี้กำลังยังคงมีสมบัติที่สำคัญดังนี้

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,}$ 
• ${\displaystyle e^{0}=1\,}$ 
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$ 
• ${\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}$ 

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) ชนิดหนึ่ง เนื่องจากมันเป็นสาทิสสัณฐาน (holomorphic) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวนยกเว้นค่า 0 สิ่งนี้เป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทเล็กของปิการ์ (Picard's little theorem) ซึ่งกล่าวว่า ฟังก์ชันทั่วที่ไม่เป็นค่าคงตัวใด ๆ ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน โดยอาจยกเว้นค่าใดค่าหนึ่ง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังมีลักษณะเป็นคาบ (periodic) ซึ่งมีคาบบนจำนวนจินตภาพเป็น 2πi และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสูตร

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b)\,}$ 

เมื่อ a และ b เป็นค่าจริง (ดูเพิ่มที่สูตรของออยเลอร์) สูตรนี้เป็นตัวเชื่อมโยงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเข้ากับฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันไฮเพอร์บอลิก ดังนั้นฟังก์ชันมูลฐาน (elementary function) ทั้งหมดยกเว้นพหุนาม เป็นผลมาจากฟังก์ชันเลขชี้กำลังไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

การขยายแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติไปยังจำนวนเชิงซ้อน ทำให้ ln(z) เป็นฟังก์ชันหลายค่า (multi-valued function) การยกกำลังสามารถเขียนให้อยู่ในรูปทั่วไปมากขึ้นดังนี้

${\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}\,}$ 

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z และ w ทุกจำนวน การยกกำลังนี้จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าตามไปด้วย กฎการยกกำลังที่ระบุไว้ข้างต้นยังคงเป็นจริง ถ้าตีความว่าเป็นประโยคที่เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายค่าอย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตามกฎการคูณเลขชี้กำลังสำหรับจำนวนจริงบวก ไม่สามารถใช้ได้ในบริบทของฟังก์ชันหลายค่า นั่นคือ

${\displaystyle (e^{z})^{w}\neq e^{\left(zw\right)}}$ 

ดูเพิ่มที่ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมเกี่ยวกับปัญหาของการผสานรวมการยกกำลัง

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นการจับคู่ (map) เส้นตรงบนระนาบเชิงซ้อน ไปยังเส้นเวียนก้นหอยเชิงลอการิทึม (logarithmic spiral) บนระนาบเชิงซ้อนที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด มีกรณีพิเศษสองกรณีได้แก่ เมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจริง เส้นเวียนก้นหอยจะไม่เวียนใกล้เข้ามาหาตัวเอง และเมื่อเส้นตรงขนานกับแกนจินตภาพ เส้นเวียนก้นหอยจะกลายเป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีขนาดหนึ่ง

• ตัวอย่างการลงจุดของฟังก์ชันเลขชี้กำลังบนระนาบเชิงซ้อน
•  

  z = Re(e^x+iy)

•  

  z = Im(e^x+iy)

•  

การคำนวณ a^b เมื่อทั้ง a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ดูบทความหลักที่: การยกกำลัง

การยกกำลังเชิงซ้อน a^b สามารถนิยามได้จากการแปลง a เป็นพิกัดเชิงขั้วและการใช้เอกลักษณ์ (e^ln(a))^b = a^b นั่นคือ

${\displaystyle a^{b}=(re^{{\theta }i})^{b}=(e^{\ln(r)+{\theta }i})^{b}=e^{(\ln(r)+{\theta }i)b}\,}$ 

อย่างไรก็ตาม เมื่อ b ไม่ใช่จำนวนเต็ม ฟังก์ชันนี้จะเป็นฟังก์ชันหลายค่า เพราะ θ ไม่ได้มีเพียงหนึ่งเดียว

เมทริกซ์และพีชคณิตแบบบานัค

นิยามอนุกรมกำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส (สำหรับฟังก์ชันที่เรียกว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลัง) และเป็นแนวคิดทั่วไปยิ่งขึ้นในพีชคณิตแบบบานัค B ในการกำหนดเช่นนี้ e⁰ = 1 และ e^x จะมีตัวผกผันนั่นคือ e^−x สำหรับ x ใด ๆ ใน B; ถ้า xy = yx ดังนั้น ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$  แต่เอกลักษณ์นี้อาจใช้ไม่ได้ถ้า x และ y ไม่สามารถสลับที่ได้

การนิยามแบบอื่นก็นำไปสู่ฟังก์ชันเดียวกัน ตัวอย่างเช่น e^x สามารถนิยามเป็น ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$  หรือนิยามเป็น f(1) เมื่อ f : R→B เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ f ′(t) = xf(t) โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นว่า f(0) = 1

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น (double exponential function) อาจมีความหมายหนึ่งในสองอย่างดังต่อไปนี้

• ฟังก์ชันที่ประกอบด้วยพจน์เชิงเลขชี้กำลังสองพจน์ ซึ่งมีเลขชี้กำลังต่างกัน
• ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=a^{a^{x}}}$  ฟังก์ชันนี้มีอัตราการเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังธรรมดา เช่นกำหนดให้ a = 10 จะได้ f(−1) = 1.26, f(0) = 10, f(1) = 10¹⁰, f(2) = 10¹⁰⁰ = กูกอล, …, f(100) = กูกอลเพลกซ์

แฟกทอเรียลก็เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แต่ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น ตัวอย่างของฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้นเช่น จำนวนแฟร์มาต์ (Fermat number) ที่ได้จากสูตร ${\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1}$  และจำนวนแมร์แซนสองชั้น (double Mersenne number) ที่ได้จากสูตร ${\displaystyle MM(p)=2^{(2^{p}-1)}-1}$  เป็นต้น

ดูเพิ่ม

• e (ค่าคงตัว)
• การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
• การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
• การยกกำลัง
• เทเทรชัน

อ้างอิง

1. Goldstein, Lay, Schneider, Asmar, Brief calculus and its applications, 11th ed., Prentice-Hall, 2006.
2. "The natural exponential function is identical with its derivative. This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…" - p.448 of Courant and Robbins, What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods (edited by Stewart), 2nd revised edition, Oxford Univ. Press, 1996.
3. คู่มือครู คณิตศาสตร์ ม. 5 เล่ม 1, หน้า 7. (หน้า 11 ของเอกสาร)
4. John J O'Connor; Edmund F Robertson. "The number e". School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. สืบค้นเมื่อ 13-06-2011. Check date values in: |accessdate= (help)
5. Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
6. Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 3rd ed., 1986, ISBN 978-0070542341, page 1
7. Ahlfors, Lars V. (1953). Complex analysis. McGraw-Hill Book Company, Inc.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Complex exponential function on PlanetMath
• Derivative of exponential function on PlanetMath
• Derivative of exponential function interactive graph
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Exponential Function" จากแมทเวิลด์.
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda.com
• Complex exponential interactive graphic