เอกลักษณ์ของออยเลอร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของออยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

สมการประกอบด้วย:

${\displaystyle e\,\!}$ คือ เลขของออยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

${\displaystyle i\,\!}$ คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ ${\displaystyle -i\,\!}$)

${\displaystyle \pi \,\!}$ คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตาม เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิสเซอร์แลนด์ ได้ซื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว (${\displaystyle e\,\!}$, ${\displaystyle i\,\!}$, ${\displaystyle \pi \,\!}$, 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

ความงามทางคณิตศาสตร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน:

• หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
• หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
• ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
• จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของออยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
• ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์

Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของออยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชคสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของออยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"

Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ อธิบายถึงอัตลักษณ์ของออยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"

Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของออยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด" และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"

แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของออยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์" ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์ (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"

การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของออยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ

หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของออยเลอร์:

• Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)
• A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)
• Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).

คำอธิบาย

เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ

โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า ${\displaystyle e^{i\pi }}$ มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ ${\displaystyle e^{i\pi }}$ คือ รูปพิเศษหนึ่งของ ${\displaystyle e^{z}}$  โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว ${\displaystyle e^{z}}$  ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$ 

 

ในแอนิเมชันนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ (1 + iπ/N)^Nมีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น (1 + iπ/N)^N จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, ${\displaystyle (1+i\pi /n)^{n}}$ จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$ 

สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle x}$  ถ้าเราให้ ${\displaystyle x=\pi }$  จะได้

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!}$ 

จากนิยามของ

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$ 

และ

${\displaystyle \sin \pi =0\,\!}$ 

เราจะได้

${\displaystyle e^{i\pi }=-1\,\!}$  หรือ ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ 

อ้างอิง

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty
2. Nahin, 2006, p. 1.
3. Reid, chapter e.
4. Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
5. Wells, 1990.
6. Maxwell's equations
7. Crease, 2004.
8. Zeki et al., 2014.
9. Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (ภาษาอังกฤษ). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.
10. Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (ภาษาอังกฤษ) (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.
11. Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (ภาษาอังกฤษ). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.