กฎของฮุก

กฎของฮุก (อังกฤษ: Hooke's law) เป็นกฎทางฟิสิกส์ที่กล่าวว่าแรง ${\displaystyle F}$ ที่ต้องใช้ในการยืดหรือหดสปริงเป็นระยะทาง ${\displaystyle x}$ นั้นจะแปรผันตรงกับระยะทางนั้น หรือ ${\displaystyle F_{s}=kx}$ โดย ${\displaystyle k}$ คือค่าคงที่ของสปริงหรือความเหนียวของสปริง และ ${\displaystyle x}$ นั้นมีขนาดเล็กเทียบกับความยาวของสปริง กฎนี่ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่ 17 ชื่อว่า รอเบิร์ต ฮุก กฎของฮุกนั้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ในสถานการณ์อื่นที่มีการเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุยืดหยุ่น เช่น เมื่อมีลมพัดตึกสูงหรือเมื่อดีดสายกีตาร์

กฎของฮุก: แรงแปรผันตรงกับระยะยืด

กฎของฮุกนั้นเป็นเพียงการประมาณ ในความเป็นจริงนั้นวัตถุจะเสียสภาพเมื่อถูกยืดหรือหดถึงจุด ๆหนึ่ง นอกจากนี้วัสดุหลายประเภทนั้นยังเบี่ยงเบนไปจากกฎของฮุกเมื่อระยะยืดมีค่ามากระดับหนึ่ง อย่างไรก็ตามกฎของฮุกก็มีความแม่นยำในของแข็งหลายชนิด ตราบใดที่แรงและการยืดหดของมันไม่มากจนเกินไป ด้วยเหตุนี้เองกฎของฮุกจึงถูกใช้ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายแขนง และเป็นพิ้นฐานของศาสตร์ต่าง ๆ เช่น วิทยาแผ่นดินไหว กลศาสตร์โมเลกุล สวนศาสตร์ รวมถึงเป็นหลักการทำงานของอุปกรณ์เช่น ตาช่างสปริง มาโนมิเตอร์ นาฬิกากล

ในทฤษฎีความยืดหยุ่นกฎของฮุกกล่าวว่า ความเครียดของวัสดุยืดหยุ่นนั้นแปรผันตรงกับความเค้นที่กระทำต่อวัสดุนั้น อย่างไรก็ตามความเค้นและความเครียดนั้นมีหลายองค์ประกอบ ค่าคงที่ของการแปรผันนั้นจะไม่ใช่แค่ตัวเลขตัวเดียว แต่เป็นปริมาณเทนเซอน์สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ โดยทั่วไปกฎของฮุกสามารถใช้ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นและความเครียดได้ ตัวอย่างเช่น แท่งยาวที่มีขนาดพื่นที่หน้าตัดคงที่นั้นจะประพฤติตัวเหมือนสปริงที่มีค่าคงที่ k แปรผันตรงกับพื้นที่หน้าตัดและแปรผกผันกับความยาวของมัน

นิยาม

พิจารณาสปริงที่ยึดติดกับกำแพงไว้ด้านหนึ่ง ส่วนอีกด้านหนึ่งถูกดึงด้วยแรงขนาด ${\displaystyle F}$ เมื่อถึงภาวะสมดุลสปริงจะไม่เปลี่ยนขนาดอีกต่อไป ถ้าที่จุดนี้สปริงจะยืดจากความยาวธรรมชาติของสปริง (เมื่อไม่ถูกยืด) ไปเป็นระยะทาง ${\displaystyle x}$ กฎของฮุกกล่าวว่า

${\displaystyle F=kx}$ 

หรือ

${\displaystyle x={\frac {F}{k}}}$ 

โดย ${\displaystyle k}$ คือจำนวนจริงที่เป็นค่าคงที่เฉพาะตัวของสปริงนั้น ๆ ซึ่งสมการนี่ยังสามารถใช้ในกรณีที่สปริงถูกหดอีกด้วย โดย ${\displaystyle F}$ และ ${\displaystyle x}$ นั้นมีค่าติดลบ จากสมการนี้เราสามารถแสดงได้ว่ากราฟระหว่างแรงและระยะยืดจะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและมีความชัน ${\displaystyle k}$ 

ในกฎของฮุกนั้น เรามักจะเรียก ${\displaystyle F_{s}}$ ว่าเป็นแรงดึงกลับของสปริงที่ทำเพื่อต้านการดึง ในกรณีนี้เราสามารถเขียนสมการ

${\displaystyle F_{s}=-kx}$ 

เพราะทิศทางของแรงดึงกลับของสปริงนั้นจะตรงข้ามกับระยะทางเสมอ

หน่วยในการวัด

ในหน่วย SI ระยะทางมีหน่วยเป็นเมตร (m) และแรงมีหน่วยเป็นนิวตัน(N หรือ kg·m/s²) ดังนั้นค่าคงที่ของสปริง ${\displaystyle k}$  จึงมีหน่วยเป็นนิวตันต่อเมตร (N/m), หรือ กิโลกรัมต่อวินาทีกำลังสอง (kg/s²)

ที่มาของสูตร

ความเค้นของแท่งยาวสม่ำเสมอ

แท่งวัสดุยืดหยุ่นนั้นสามารถมองว่าเป็นสปริงได้ สำหรับแท่งยาว ${\displaystyle L}$ และพื้นที่หน้าตัด ${\displaystyle A}$  ความเค้น ${\displaystyle \sigma }$ นั้นจะแปรผันตรงกับความเครียด ${\displaystyle \epsilon }$ โดยมีมอดูลัสของยัง ${\displaystyle E}$  เป็นค่าคงที่ของการแปรผัน{\displaystyle \sigma =E\varepsilon }.

${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$ 

ซึ่งมอดูลัสของยังนั้นสามารถมองว่าเป็นค่าคงที่ได้ ความเครียด

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$ 

(ซึ่งเท่ากับอัตราส่วนของความยาวที่เปลี่ยนไป) และความเค้น

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$ 

จึงได้ว่า

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}}$ 

และความยาวที่เปลี่ยนไปสามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}}$ 

ซึ่งตรงกับกฎของฮุก

${\displaystyle F=\varepsilon L={\frac {AE}{L}}\Delta L=k\Delta L}$ 

พลังงานของสปริง

พลังงานศํกย์ที่สะสมในสปริง U_el(x) มีค่าเท่ากับ

${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)=\int Fdx=\int kxdx={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$ 

ซึ่งมาจากการค่อย ๆเพิ่มพลังงานที่ได้จากการหดสปริงทีละเล็กทีละน้อย ซึ่งทำได้โดยอินทิเกรตแรงเทียบกับระยะทาง พลังงานศักย์สปริงมีค่าเป็นบวกเสมอเพราะแรงภายนอกที่ต้องใช้ในการดึงสปริงนั้นมีทิศเดียวกับการกระจัดของสปริง

การสั่นแบบฮาร์มอนิก

See also: การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

 

มวลแขวนบนสปริงเป็นตัวยอย่างของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

มวลแขวนกับสปริงเป็นตัวอย่างคลาสสิกของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย เมื่อมวลถูกดึงแล้วปล่อยระบบจะสั่นไปมารอบ ๆจุดสมดุล ถ้าเราสมมุติว่าไม่มีแรงเสียดทานและมวลของสปริง แอมพลิจูดของการสั่นจะคงที่ และความถี่ในการสั่นจะไม่ขึ้นกับแอมพลิจูดแต่จะขึ้นกับเพียงแค่ค่าคงที่ของสปริงและมวล:

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ 

การเคลื่อนที่แบบหมุน

ถ้ามวล ${\displaystyle m}$  ถูกแขวนกับสปริงที่มีค่าคงที่ ${\displaystyle k}$  และถูกเหวี่ยงให้หมุนเป็นวงกลม แรงคืนตัวของสปริง(${\displaystyle F_{s}}$ )จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง(${\displaystyle F_{c}}$ ):

${\displaystyle F_{\mathrm {s} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$ 

ดังนั้น ${\displaystyle F_{\mathrm {s} }=F_{c}}$  และ ${\displaystyle x=r}$  ทำให้

${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$ 

จากความสัมพันธ์ ω = 2πf, ความถี่ในการหมุนจึงมีสูตรเดียวกับความถี่ในการสั่นของสปริง

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ 

อ้างอิง

1. De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies, London, 1678.