กฎลูกโซ่

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ ${\displaystyle f\circ g=f(g(x))}$ ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:

${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}{\frac {dg}{dx}}}$

เมื่อ ${\displaystyle {\frac {df}{dg}}}$ ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

The general power rule

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

Example I

พิจารณา ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}$ . ${\displaystyle f(x)}$  เทียบได้กับ ${\displaystyle h(g(x))}$  โดยที่ ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$  และ ${\displaystyle h(x)=x^{3}}$  ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {d}{d}}{\frac {x}{y}}}$  ${\displaystyle =f'(x).g'(x)}$ 

${\displaystyle f'(x)}$	${\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)}$
	${\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}}$

Example II

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),}$ 

เราสามารถเขียน ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$  ด้วย ${\displaystyle h(x)=\sin x}$  และ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$  จากกฎลูกโซ่ จะได้

${\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})}$ 

เนื่องจาก ${\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}$  และ ${\displaystyle g'(x)=2x}$ 

กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน ${\displaystyle f(u(x,y),v(x,y))}$  โดยที่

${\displaystyle u(x,y)=3x+y^{2}}$  และ ${\displaystyle v(x,y)=\sin(xy)}$ 

ดังนั้น

${\displaystyle {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3+\cos(xy)y}$ 

บทพิสูจน์กฎลูกโซ่

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

${\displaystyle g(x+\delta )-g(x)=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,}$  ซึ่ง ${\displaystyle {\frac {\epsilon (\delta )}{\delta }}\to 0\,}$  ขณะที่ ${\displaystyle \delta \to 0.}$ 

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle f(g(x)+\alpha )-f(g(x))=\alpha f'(g(x))+\eta (\alpha )\,}$  ซึ่ง ${\displaystyle {\frac {\eta (\alpha )}{\alpha }}\to 0\,}$  ขณะที่ ${\displaystyle \alpha \to 0.\,}$ 

จะได้

${\displaystyle f(g(x+\delta ))-f(g(x))\,}$	${\displaystyle =f(g(x)+\delta g'(x)+\epsilon (\delta ))-f(g(x))\,}$
	${\displaystyle =\alpha _{\delta }f'(g(x))+\eta (\alpha _{\delta })\,}$

ซึ่ง ${\displaystyle \alpha _{\delta }=\delta g'(x)+\epsilon (\delta )\,}$  จะเห็นว่าขณะที่ ${\displaystyle \delta \to 0}$  นั้น ${\displaystyle {\frac {\alpha _{\delta }}{\delta }}\to g'(x)}$  และ ${\displaystyle {\frac {\eta (\alpha _{\delta })}{\delta }}\to 0}$  ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {f(g(x+\delta ))-f(g(x))}{\delta }}\to g'(x)f'(g(x))}$  ขณะที่ ${\displaystyle \delta \to 0}$ 

กฎลูกโซ่พื้นฐาน

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : E → F และ g : F → G เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้

${\displaystyle {\mbox{D}}_{x}\left(g\circ f\right)={\mbox{D}}_{f\left(x\right)}\left(g\right)\circ {\mbox{D}}_{x}\left(f\right).}$ 

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ C^k (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

f : M → N และ g : N → P

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย

${\displaystyle {\mbox{d}}\left(g\circ f\right)={\mbox{d}}g\circ {\mbox{d}}f.}$ 

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C^∞ โดยมีการแปลง C^∞ เป็นสัณฐาน

เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์