การแจกแจงไคกำลังสอง

ในวิชาทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ การแจกแจงไคกำลังสอง (อังกฤษ: chi-squared distribution) ที่มี k องศาเสรี คือ การแจกแจงผลรวมของกำลังสองของตัวแปรสุ่มแจกแจงปรกติอิสระ k ตัว การแจกแจงไคกำลังสองเป็นการแจกแจงแกมมากรณีพิเศษและเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่ใช้กันแพร่หลายที่สุดอย่างหนึ่งในการอนุมานทางสถิติ เช่น ในการทดสอบสมมุติฐานหรือในการสร้างช่วงความเชื่อมั่น

ไคกำลังสอง

ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
ฟังก์ชันแจกแจงสะสม
สัญกรณ์:	${\displaystyle \chi ^{2}(k)\!}$ หรือ ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\!}$
ตัวแปรเสริม:	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}~~}$ (เรียก "องศาเสรี")
ฟังก์ชันค้ำจุน:	x ∈ [0, +∞)
pdf:	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
cdf:	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
ค่าเฉลี่ย:	k
มัธยฐาน:	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
ฐานนิยม:	max{ k − 2, 0 }
ความแปรปรวน:	2k
ความเบ้:	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
ความโด่งส่วนเกิน:	12 / k
เอนโทรปี:	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
mgf:	(1 − 2 t)^−k/2   เมื่อ  t  < ½
cf:	(1 − 2 i t)^−k/2      ^[1]

การแจกแจงไคกำลังสองใช้ในการทดสอบไคกำลังสองทั่วไปเพื่อดูความเหมาะสม (goodness of fit) ของการแจกแจงที่สังเกตกับการแจกแจงทางทฤษฎี ความเป็นอิสระของสองเกณฑ์การจำแนก (criteria of classification) ข้อมูลเชิงคุณภาพ และในการประมาณช่วงความเชื่อมั่นสำหรับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ยังมีการทดสอบทางสถิติอีกมากที่ใช้การแจกแจงนี้ เช่น การวิเคราะห์ความแปรปรวนโดยการจัดอันดับของฟรีดแมน (Friedman's analysis of variance by ranks)

อ้างอิง

1. M.A. Sanders. "Characteristic function of the central chi-squared distribution" (PDF). สืบค้นเมื่อ 2009-03-06.