ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน

ภาพโดยทั่วไป

โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v(t)}$ 

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

${\displaystyle dx=v(t)\,dt}$ 

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า ${\displaystyle \Delta x}$  คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน [a, b] ว่า

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ 

แล้ว

${\displaystyle F'(x)=f(x)\,}$ 

สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

ให้ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [a, b] ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$ สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$ 

ผลที่ตามมา

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b]. ถ้า F เป็นฟังก์ชันที่

${\displaystyle f(x)=F'(x)\,}$  สำหรับทุก x ที่อยู่ใน [a, b]

แล้ว

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+F(a)}$ 

และ

${\displaystyle f(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt}$ 

บทพิสูจน์

ส่วนที่ 1

กำหนดให้

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt}$ 

ให้ x₁ และ x₁ + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

${\displaystyle F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt}$ 

และ

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}$ 

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt\qquad (1)}$ 

เราสามารถแสดงได้ว่า

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}}f(t)dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}$ 

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)

ย้ายข้างสมการได้

${\displaystyle \int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt}$ 

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt\qquad (2)}$ 

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ที่ทำให้

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)dt=f(c)\Delta x}$ 

แทนค่าลงใน (2) ได้

${\displaystyle F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x\,}$ 

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

${\displaystyle {\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c)}$ 

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x₁

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)}$ 

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x₁

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c)\qquad (3)}$ 

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x₁, x₁ + Δx] ดังนั้น x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx

จาก ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}}$  และ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}}$ 

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}}$ 

แทนค่าลงใน (3) จะได้

${\displaystyle F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c)}$ 

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

${\displaystyle F'(x_{1})=f(x_{1})\,}$ 

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

ส่วนที่ 2

ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์

 

ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

${\displaystyle F(b)-F(a)\,}$ 

ให้ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n-1}<x_{n}=b}$  จะได้

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0})\,}$ 

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

${\displaystyle {\begin{matrix}F(b)-F(a)&=&F(x_{n})\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots \,+\,[-F(x_{1})+F(x_{1})]\,-\,F(x_{0})\,\\&=&[F(x_{n})\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots \,-\,F(x_{1})]\,+\,[F(x_{1})\,-\,F(x_{0})]\,\end{matrix}}}$ 

เขียนใหม่เป็น

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\qquad (1)}$ 

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ 

และจะได้

${\displaystyle f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)\,}$ 

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง x_i-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

${\displaystyle F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})\,}$ 

แทนค่าลงใน (1) จะได้

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})]}$ 

จาก ${\displaystyle F'(c_{i})=f(c_{i})\,}$  และ ${\displaystyle x_{i}-x_{i-1}}$  สามารถเขียนในรูป ${\displaystyle \Delta x}$  ของผลแบ่งกั้น ${\displaystyle i}$ 

${\displaystyle F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\qquad (2)}$ 

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง สังเกตอีกว่า ${\displaystyle \Delta x_{i}}$  ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ ${\displaystyle i}$  หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม ${\displaystyle n}$  รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ ${\displaystyle n}$  มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

${\displaystyle \lim _{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]\,dx}$ 

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

${\displaystyle F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{n}[f(c_{i})(\Delta x_{i})]}$ 

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

${\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ 

จบการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x}$ 

ให้ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  เราจะได้ ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$  เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\;\mathrm {d} x=F(5)-F(2)={125 \over 3}-{8 \over 3}={117 \over 3}=39}$ 

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ ${\displaystyle \int _{1}^{3}{\frac {dx}{x}}={\big [}\ln |x|{\big ]}_{1}^{3}=\ln 3-\ln 1=\ln 3}$ 

นัยทั่วไป

เราไม่จำเป็นต้องให้ ${\displaystyle f}$  ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า ${\displaystyle f}$  เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง ${\displaystyle [a,b]}$  และ ${\displaystyle x_{0}}$  เป็นจำนวนในช่วง ${\displaystyle [a,b]}$  ซึ่ง ${\displaystyle f}$  ต่อเนื่องที่ ${\displaystyle x_{0}}$  จะได้

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\mathrm {d} t}$ 

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ ${\displaystyle x=x_{0}}$  และ ${\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0})}$  เราสามารถคลายเงื่อนไขของ ${\displaystyle f}$  เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน ${\displaystyle F}$  นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$  จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$  ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ ${\displaystyle F}$  (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ ${\displaystyle U}$  เป็นเซตเปิดใน ${\displaystyle \mathbb {C} }$  และ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$  เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ ${\displaystyle F}$  ใน ${\displaystyle U}$  ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$  ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\;\mathrm {d} z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a))}$ 

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้

อ้างอิง

• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.