ผลคูณคาร์ทีเซียน

ในวิชาคณิตศาสตร์ ผลคูณคาร์ทีเซียนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ซึ่งดำเนินการกับเซตหลายเซตได้ผลเป็นเซต (หรือ เซตผลคูณ) นั่นคือสำหรับเซต A และ B ผลคูณคาร์ทีเซียน A × B เป็นเซตของทุกคู่อันดับ (a, b) ที่ a ∈ A และ b ∈ B

ผลคูณคาร์ทีเซียน ${\displaystyle \scriptstyle A\times B}$ ของเซต ${\displaystyle \scriptstyle A=\{x,y,z\}}$ และ ${\displaystyle \scriptstyle B=\{1,2,3\}}$

กรณีที่ง่ายที่สุดของผลคูณคาร์ทีเซียนคือจัตุรัสคาร์ทีเซียน ซึ่งดำเนินการกับเซตสองเซตได้เซตหนึ่งเซต เราสามารถสร้างตารางได้โดยหาผลคูณคาร์ทีเซียนของ เซตของแถว กับ เซตของหลัก ถ้าหาผลคูณคาร์ทีเซียน แถว × หลัก เซลล์ของตารางจะประกอบด้วยคู่อันดับในรูปแบบ (ค่าของแถว, ค่าของหลัก)

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต n เซตสามารถแสดงในรูปทูเพิล n มิติ โดยสมาชิกแต่ละตัวคือค่าของสมาชิกจากแต่ละเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียนตั้งชื่อตามแนวคิดของ เรอเน เดการ์ต ผู้ริเริ่มวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์

ตัวอย่าง

สำรับไพ่

ตัวอย่างที่ทำให้เห็นภาพคือไพ่ป๊อก เซตเลขไพ่ {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} มีสมาชิก 13 ตัว และเซตหน้าไพ่ {♠, ♥, ♦, ♣} มีสมาชิก 4 ตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตทั้งสองคือเซตคู่อันดับ 52 คู่ ซึ่งสัมพันธ์กับไพ่ทั้ง 52 ใบ

เลขไพ่ × หน้าไพ่ ทำให้เกิดเซต {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)} หรือ

หน้าไพ่ × เลขไพ่ ทำให้เกิดเซต {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}

ระบบพิกัดสองมิติ

ตัวอย่างจากวิชาเรขาคณิตวิเคราะห์คือระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นผลลัพธ์จากการหาผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซต X และ Y ที่หมายถึงจุดบนแกน x และแกน y ตามลำดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนสามารถเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ X × Y ผลคูณนี้เป็นเซตของคู่อันดับทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่ละคู่อันดับมีสมาชิกอันดับที่หนึ่งเป็นสมาชิกของ X และสมาชิกอันดับที่สองเป็นสมาชิกของ Y (แต่ละคู่อันดับประกอบเป็นระนาบ x–y ทั้งระนาบ) ในทางกลับกัน ผลคูณคาร์ทีเซียนอาจเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Y × X โดยสมาชิกของผลคูณนี้มีสมาชิกอันดับที่หนึ่งจากเซต Y และสมาชิกอันดับที่สองจากเซต X ผลคูณคาร์ทีเซียนจึงไม่มีสมบัติการสลับที่

${\displaystyle X\times Y=\{\,(x,y)\mid x\in X\ \land \ y\in Y\,\}}$ 

${\displaystyle Y\times X=\{\,(y,x)\mid y\in Y\ \land \ x\in X\,\}}$ 

${\displaystyle X\times Y\neq Y\times X}$ 

การประยุกต์ใช้ทั่วไปในทฤษฎีเซต

นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนตามหลักการของทฤษฎีเซตเป็นผลของนิยามของคู่อันดับ นิยามของคู่อันดับที่ใช้โดยทั่วไป คือนิยามของ Kuratowski ดังนี้ ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$  ข้อสังเกตภายใต้นิยามนี้ ${\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}$  โดย ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$  เป็น เพาเวอร์เซต เพราะฉะนั้น การมีอยู่ของผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตใดๆ ใน ZFC เป็นผลจากสัจพจน์แห่งการจับคู่ ยูเนียน เพาเวอร์เซต และ การเจาะจง เพราะว่าฟังก์ชัน มักนิยามเป็นกรณีพิเศษของ ความสัมพันธ์ และความสัมพันธ์มักนิยามเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน นิยามของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตสองเซตสำคัญมากกว่านิยามอื่น ๆ เป็นส่วนใหญ่

การคูณคาร์ทีเซียนไม่มีสมบัติการสลับที่และเปลี่ยนหมู่

ให้ ${\displaystyle A}$  ${\displaystyle B}$  และ ${\displaystyle C}$  เป็นเซต ผลคูณคาร์ทีเซียน ${\displaystyle A\times B}$  ไม่สามารถสลับที่ได้ นั่นคือ ${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$  เพราะคู่อันดับถูกสลับอันดับ เว้นแต่เงื่อนไข

• ${\displaystyle A=B}$ 
• ${\displaystyle A}$ เป็นเซตว่าง
• ${\displaystyle B}$ เป็นเซตว่าง

เป็นจริงอย่างน้อย 1 ข้อ

ตัวอย่าง

${\displaystyle A=\{1,2\}}$  และ ${\displaystyle B=\{1,3\}}$ 

${\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{1,3\}=\{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3)\}}$ 

${\displaystyle B\times A=\{1,3\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(3,1),(3,2)\}}$ 

${\displaystyle A\times B\neq B\times A}$ 

${\displaystyle A=B=\{1,2\}}$ 

${\displaystyle A\times B=B\times A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}}$ 

${\displaystyle A=\{1,2\}}$  และ ${\displaystyle B=\{\}}$ 

${\displaystyle A\times B=\{1,2\}\times \{\}=\{\}}$ 

${\displaystyle B\times A=\{\}\times \{1,2\}=\{\}}$ 

${\displaystyle A\times B=B\times A}$ 

ผลคูณคาร์ทีเซียนโดยทั่วไปไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เว้นแต่เซตใดเซตหนึ่งเป็นเซตว่าง เพราะการเปลี่ยนหมู่เปลี่ยนลำดับการสร้างคู่อันดับ

ตัวอย่าง

${\displaystyle A=\{a\}}$  ${\displaystyle B=\{b\}}$  และ ${\displaystyle C=\{c\}}$ 

${\displaystyle (A\times B)\times C=(\{a\}\times \{b\})\times \{c\}=\{(a,b)\}\times \{c\}=\{((a,b),c)\}}$ 

${\displaystyle A\times (B\times C)=\{a\}\times (\{b\}\times \{c\})=\{a\}\times \{(b,c)\}=\{(a,(b,c))\}}$ 

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$ 

สมบัติเกี่ยวกับอินเตอร์เซกชันและยูเนียน

ให้ ${\displaystyle A}$  ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle C}$  และ ${\displaystyle D}$  เป็นเซต

การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหาอินเตอร์เซกชัน ได้ผลลัพธ์เท่ากับการหาอินเตอร์เซกชันก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

${\displaystyle (A\times C)\cap (B\times D)=(A\cap B)\times (C\cap D)}$ 

แต่การหาผลคูณคาร์ทีเซียนก่อนหายูเนียน ได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับการหายูเนียนก่อนหาผลคูณคาร์ทีเซียน

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\neq (A\cup B)\times (C\cup D)}$ 

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)\subseteq (A\cup B)\times (C\cup D)}$ 

มีกฎเกี่ยวกับการแจกแจงอื่น ๆ ดังนี้:

${\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)}$ 

${\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)}$ 

${\displaystyle A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)}$ 

${\displaystyle (A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})}$ 

สมบัติเกี่ยวกับเซตย่อยได้แก่:

ถ้า ${\displaystyle A\subseteq B}$  แล้ว ${\displaystyle A\times C\subseteq B\times C}$ 

ถ้าทั้ง${\displaystyle A}$ และ${\displaystyle B}$  ไม่เป็นเซตว่าง แล้ว ${\displaystyle (A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D)}$ 

ภาวะเชิงการนับ

ภาวะเชิงการนับของเซตคือจำนวนสมาชิกของเซต เช่น กำหนดเซตสองเซต ${\displaystyle A=\{m,n\}}$  และ ${\displaystyle B=\{0,1\}}$  ทั้งเซต ${\displaystyle A}$  และเซต ${\displaystyle B}$  ต่างประกอบด้วยสมาชิกเซตละสองตัว ผลคูณคาร์ทีเซียนของสองเซตนี้ที่เขียนแทนด้วย ${\displaystyle A\times B}$  เป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกดังนี้:

${\displaystyle A\times B=\{(m,0),(m,1),(n,0),(n,1)\}}$ 

สมาชิกแต่ละตัวของ ${\displaystyle A}$  จับคู่กับสมาชิกแต่ละตัวของ ${\displaystyle B}$  แต่ละคู่เป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตผลลัพธ์ จำนวนของค่าในแต่ละหลายสิ่งอันดับเท่ากับจำนวนเซตที่นำมาหาผลคูณคาร์ทีเซียน สำหรับกรณีตัวอย่าง ค่านี้เป็น 2 ภาวะเชิงการนับของเซตผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของภาวะเชิงการนับของทุกเซตที่นำมาดำเนินการ นั่นคือ

${\displaystyle |A\times B|=|A||B|}$ 

และสามารถแสดงโดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า

${\displaystyle |A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}|=|A_{1}||A_{2}||A_{3}|...|A_{n}|}$ 

ภาวะเชิงการนับของ ${\displaystyle A\times B}$  เป็นอนันต์ถ้าเซต ${\displaystyle A}$  หรือเซต ${\displaystyle B}$  เซตใดเซตหนึ่งมีสมาชิกอนันต์และอีกเซตหนึ่งไม่ใช่เซตว่าง

จัตุรัสคาร์ทีเซียนและกำลังคาร์ทีเซียน

จัตุรัสคาร์ทีเซียน (หรือ ผลคูณคาร์ทีเซียนเชิงคู่) ของเซต X คือผลคูณคาร์ทีเซียน X² = X × X ตัวอย่างคือระนาบ R² = R × R เมื่อ R เป็นเซตของจำนวนจริง ซึ่งหมายถึงทุกจุด(x,y) ที่ x และ y เป็นจำนวนจริง (ดูหน้า ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน)

อ้างอิง

1. cartesian (2014) ในพจนานุกรมออน์ไลน์ Merriam-Webster Online Dictionary เปิดเมื่อวันที่ 17 กุมภาพันธ์ 2014 จาก http://www.merriam-webster.com/dictionary/cartesian
2. Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
3. Singh, S. (2009, August 27). Cartesian product. Retrieved from the Connexions Web site: http://cnx.org/content/m15207/1.5/
4. CartesianProduct on PlanetMath
5. Cartesian Product of Subsets. (2011, February 15). ProofWiki. Retrieved 05:06, August 1, 2011 from http://www.proofwiki.org/w/index.php?title=Cartesian_Product_of_Subsets&oldid=45868
6. Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm