ออกโทเนียน

ในคณิตศาสตร์ ออกโทเนียน (อังกฤษ:octonion) ​คือพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานที่อยู่เหนือจำนวนจริง มักจะใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ O ตัวพิมพ์ใหญ่หนา O นอกจากออกโทเนียนแล้วยังมีพีชคณิตบนฟีลด์การหารมาตรฐานอีกสามตัวเหนือจำนวนจริง จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน และควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนมีแปดมิติ เป็นสองเท่าของจำนวนมิติในควอเทอร์เนียน ออกโทเนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่และคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่การคูณ แต่มีคุณสมบัติที่อ่อนแอกว่าคุณสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือคุณสมบัติการมีทางเลือก

ออกโทเนียนไม่เป็นที่รู้จักกันมากเหมือนกับควอเทอร์เนียนหรือจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งถูกศึกษาและใช้งานกันมากกว่า อย่างไรก็ตาม ออกโทเนียนยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจ และเกี่ยวข้องกับโครงสร้างผิดปกติในคณิตศาสตร์ นอกจากนี้ออกโทเนียนยังมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสตริง ทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษ และตรรกะควอนตัม

ออกโทเนียนถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1843 โดยจอห์น ที. เกรฟส์ โดยได้รับแรงบันดาลใจมาจากการค้นพบควอเทอร์เนียนของเพื่อนของเขา เซอร์วิลเลียม โรวัน แฮมิลตัน แต่การตีพิมพ์ผลสรุปของเขานั้นช้ากว่าบทความเกี่ยวกับออกโทเนียนของอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ไปเล็กน้อยเท่านั้น โดยเคย์ลีย์ค้นพบออกโทเนียนเป็นอิสระจากเกรฟส์ และบางครั้งก็เรียกออกโทเนียนว่า จำนวนเคย์ลีย์ หรือ พีชคณิตเคย์ลีย์ นอกจากนี้ แฮมิลตันยังได้เขียนประวัติศาสตร์ช่วงต้นของการค้นพบของเกรฟส์อีกด้วย

นิยาม

ออกโทเนียนอาจมองให้เป็นหน่วยจำนวนจริงแปดหน่วย ออกโทเนียนทุกตัวคือผลรวมเชิงเส้นของหน่วยออกโทเนียน นั่นคือ {e₀,e₁,e₂,e₃,e₄,e₅,e₆,e₇}, โดยที่ e₀ คือสเกลาร์หรือส่วนจริง อาจใช้จำนวนจริง 1 แทนได้ นั่นคือ ทุกออกโทเนียน x สามารถเขียนได้อยู่ในรูป

x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

การบวกลบออกโทเนียนสามารถทำได้โดยการบวกลบพจน์ที่สอดคล้องกันเหมือนควอเทอร์เนียน ในขณะที่การคูณยากกว่านั้น ผลคูณระหว่างออกโทเนียนสองจำนวนสามารถหาได้โดยการรวมผลคูณของทุก ๆ พจน์ ผลคูณของพจน์แต่ละคู่สามารถหาได้จากสูตรคูณของหน่วยออกโทเนียน เช่นตารางนี้เป็นต้น (ตารางนี้เขียนโดยอาร์เธอร์ เคย์ลีย์ ค.ศ. 1845 และจอห์น ที. เกรฟส์ ค.ศ. 1843)

		${\displaystyle e_{j}}$
	${\displaystyle e_{i}e_{j}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

ตารางนี้สามารถสรุปอย่างคร่าวๆ ได้ดังนี้

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ 

สังยุค

สังยุคของออกโทเนียน x=x₀e₀+x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃+x₄e₄+x₅e₅+x₆e₆+x₇e₇

คือ x^*=x₀e₀-x₁e₁-x₂e₂-x₃e₃-x₄e₄-x₅e₅-x₆e₆-x₇e₇

ให้สังเกตว่าผลคูณของออกโทเนียนใดๆ กับสังยุคของจำนวนนั้น จะได้จำนวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ

x^*x=x₀²+x₁²+x₂²+x₃²+x₄²+x₅²+x₆²+x₇²

อ้างอิง

1. . Appendix reprinted in The Collected Mathematical Papers, Johnson Reprint Co., New York, 1963, p. 127
2. Hamilton (1848), "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy, 21: 338–341
3. G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009), "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable", in Irene Sabadini; M Shapiro; F Sommen, Hypercomplex analysis (Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings ed.), Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7