ควอเทอร์เนียน

ในคณิตศาสตร์ ควอเทอร์เนียน (อังกฤษ: Quaternion) เป็นระบบจำนวนที่เพิ่มเติมออกมาจากจำนวนเชิงซ้อน ถูกสร้างขึ้นโดย เซอร์วิลเลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir William Rowan Hamilton) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในปี ค.ศ. 1805-1865 นักคณิตศาสตร์ชาวไอร์แลนด์ มีผลงานในด้านพีชคณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ซึ่งในปี ค.ศ. 1843 เขาได้สร้างจำนวนชนิดใหม่ขึ้นเรียกว่า ควอเทอร์เนียน

ควอเทอร์เนียน เป็นจำนวนที่เขียนได้ในรูป ${\displaystyle w+ix+jy+kz}$ โดยที่ ${\displaystyle w,x,y}$ และ ${\displaystyle z}$ เป็นจำนวนจริง และ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1,ij=k=-ji}$ ซึ่งแสดงว่าควอเทอร์เนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่

ควอเทอร์เนียนมีบทบาททั้งในคณิตศาสตร์ทฤษฎีและคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการคำนวณที่มีการหมุนในสามมิติ เช่น คอมพิวเตอร์กราฟฟิกสามมิติ ในการใช้ประโยชน์เชิงปฏิบัติ พวกมันสามารถถูกใช้ควบคู่กับวิธีอื่นๆ เช่น มุมออยเลอร์ และเมทริกซ์การหมุน หรือใช้แทนพวกมันไปเลยโดยขึ้นอยู่กับการใช้ประโยชน์

พีชคณิตควอเทอร์เนียนมักใช้ตัวอักษร H (จากชื่อ Hamilton) หรือ ℍ (Unicode U+210D)

นิยาม

ควอเทอร์เนียน H คือเซตที่เท่ากับปริภูมิเวกเตอร์ 4 มิติของจำนวนจริง (R⁴) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในควอเทอร์เนียนมี 3 แบบคือ การบวก, การคูณด้วยปริมาณสเกลาร์ และการคูณด้วยควอเทอร์เนียน ผลรวมระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจะมีค่าเท่ากับการรวมของจำนวนสองจำนวนในปริภูมิ R⁴ และเช่นเดียวกัน การคูณควอเทอร์เนียนด้วยจำนวนจริงจะใช้นิยามเดียวกันกับการคูณเวกเตอร์ใน R⁴ ด้วยจำนวนจริง สำหรับการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนนั้น ก่อนอื่นจะต้องนิยามฐานหลัก (basis) ของ R⁴ ก่อน โดยปกติพื้นฐาน ฐานหลักที่นิยมใช้ก็คือ 1, i, j และ k ดังนั้นสมาชิกใดๆก็ตามใน H ย่อมสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของฐานหลักเหล่านั้นได้เสมอโดยไม่ซ้ำแบบกัน ยกตัวอย่างเช่น ควอเทอร์เนียน a1 + bi + cj + dk เป็นการเขียนในรูปฐานหลัก โดยที่ a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง และมี 1, i, j และ k เป็นฐานหลัก เป็นต้น ควอเทอร์เนียนมีเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 ดังนั้นการคูณควอเทอร์เนียนด้วย 1 จึงไม่เปลี่ยนแปลงควอเทอร์เนียน ด้วยเหตุนี้จำนวนควอเทอร์เนียนใดๆ มักเขียนในรูป a + bi + cj + dk ดังนั้นนิยามการคูณระหว่างจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวนจึงประกอบไปด้วยการคูณกันระหว่างสมาชิก และการใช้กฎการกระจาย

การคูณระหว่างฐานหลัก

ฐานหลักขอควอเทอร์เนียนมีคุณสมบัติ คือ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\ }$  โดย i, j และ k เป็นจำนวนจินตภาพ เราสามารถหาผลคูณระหว่างฐานหลักแต่ละคู่ได้ ยกตัวอย่างเช่น หากต้องการแสดงว่า ${\displaystyle k=ij\ }$  สามารถทำได้โดยเริ่มจากพิจารณาสมการ

${\displaystyle -1=ijk\ }$ 

จากนั้นคูณทั้งสองด้านของสมการด้วย k จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}-k&=ijkk\\-k&=ij(-1)\\k&=ij\end{aligned}}}$ 

สำหรับผลคูณระหว่างฐานหลักคู่อื่นๆสามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีการเดียวกัน ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ ดังนี้

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j\end{alignedat}}}$ 

ผลคูณฮามิลตัน (Hamilton product)

สำหรับจำนวนควอเทอร์เนียนสองจำนวน a₁ + b₁i + c₁j + d₁k และ a₂ + b₂i + c₂j + d₂k ผลคูณฮามิลตัน (a₁ + b₁i + c₁j + d₁k)(a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) สามารถหาได้โดยการใช้คุณสมบัติการกระจาย จากนั้นหาผลรวมระหว่างผลคูณของฐานหลักแต่ละคู่ ดังต่อไปนี้

${\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+a_{1}d_{2}k+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}i^{2}+b_{1}c_{2}ij+b_{1}d_{2}ik+c_{1}a_{2}j+c_{1}b_{2}ji+c_{1}c_{2}j^{2}+c_{1}d_{2}jk+d_{1}a_{2}k+d_{1}b_{2}ki+d_{1}c_{2}kj+d_{1}d_{2}k^{2}}$ 

เมื่อจัดหมู่ ผลลัพธ์ที่ได้คือ

${\displaystyle (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i+(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})j+(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})k}$