กฎของเบนฟอร์ด

กฎของเบนฟอร์ด (อังกฤษ: Benford's law) หรือ กฎเลขโดดตัวแรก หมายถึง ความถี่การกระจายเลขโดดในหลายแหล่งข้อมูลในชีวิตจริง (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ในการกระจายนี้ ปรากฏว่าเลข 1 เป็นเลขหลักแรกมากถึงราว 30% ของทั้งหมด ขณะที่เลขมากกว่า 1 มีความถี่เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า โดยเลข 9 เป็นเลขหลักแรกน้อยกว่า 5% ของทั้งหมด กฎของเบนฟอร์ดยังว่าด้วยการกระจายคาดหมายของเลขโดดหลักอื่นด้วย ซึ่งมาใกล้การกระจายเป็นรูปแบบเดียวกัน

การกระจายของเลขโดดหลักแรกตามกฎของเบนฟอร์ด แต่ละแท่งแสดงเลขโดดหนึ่ง และความสูงของแท่งแสดงร้อยละของจำนวนซึ่งเริ่มต้นด้วยเลขโดดนั้น

การลงจุดความถี่ของของเลขโดดนัยสำคัญหลักแรกของค่าคงตัวทางฟิสิกส์ (เขียว) เทียบกับกฎของเบนฟอร์ด (แดง)

พบว่าผลลัพธ์นี้ใช้ได้กับชุดข้อมูลหลากหลาย รวมถึงใบแจ้งหนี้ไฟฟ้า ที่อยู่ถนน ราคาหลักทรัพย์ จำนวนประชากร อัตราตาย ความยาวแม่น้ำ ค่าคงตัวทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ และกระบวนการซึ่งอธิบายด้วยกฎเลขยกกำลัง ซึ่งพบได้บ่อย กฎของเบนฟอร์ดมีแนวโน้มแม่นยำที่สุดเมื่อค่ามีการกระจายตัวที่หลากหลายอันดับของขนาด

กราฟที่แสดงขวามือแสดงกฎของเบนฟอร์ดสำหรับฐาน 10 มีนัยทั่วไปของกฎต่อจำนวนที่แสดงในฐานอื่น (เช่น ฐาน 16) และยังมีนัยทั่วไปตั้งแต่เลขโดดหลักแรกจนถึงเลขโดด n หลักแรก

กฎนี้ได้ชื่อตามนักฟิสิกส์ แฟรงก์ เบนฟอร์ด ซึ่งระบุใน ค.ศ. 1938 แม้ไซมอน นิวคอมบ์จะเคยระบุไว้ก่อนแล้วใน ค.ศ. 1881

นิยาม

เซตของจำนวน เรียกว่าเป็นไปตามกฎของเบนฟอร์ด เมื่อหลักแรกสุด d มีการกระจายตามสูตรความน่าจะเป็น

${\displaystyle P(d)=\log _{10}(d+1)-\log _{10}(d)=\log _{10}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{d}}\right)}$ 

ซึ่งคิดเป็นตัวเลขได้เป็น:

${\displaystyle d}$	${\displaystyle P(d)}$	ขนาดสัมพัทธ์ของ ${\displaystyle P(d)}$
1	30.1%	30.1
2	17.6%	17.6
3	12.5%	12.5
4	9.7%	9.7
5	7.9%	7.9
6	6.7%	6.7
7	5.8%	5.8
8	5.1%	5.1
9	4.6%	4.6

จากสูตรแสดงว่า โอกาส P(d) แปรผันตรงกับพื้นที่ระหว่าง d กับ d + 1 บนสเกลลอการิทึม ซึ่งตรงกับการที่ลอการิทึมของจำนวนมีการแจกแจงเอกรูป

ตัวอย่างเช่น จำนวน x ใด ๆ ที่ 1≤ x < 10 จะขี้นต้นด้วย 1 ถ้า 1 ≤ x < 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า 9 ≤ x < 10 แต่จากการแจกแจงเอกรูปของลอการิทึม เราจึงคำนึงจากการที่ x ขี้นต้นด้วย 1 ถ้า log 1 ≤ log x < log 2 และขึ้นต้นด้วย 9 ถ้า log 9 ≤ log x < log 10 ซึ่งช่วง [log 1, log 2] มีขนาดกว้างกว่า [log 9, log 10] มาก (0.301 กับ 0.046 ตามลำดับ) จึงมีโอกาสสูงกว่าที่ x จะขึ้นต้นด้วย 1

กฎของเบนฟอร์ดในฐานอื่น ๆ

สูตรกฎของเบนฟอร์ดข้างต้น สามารถใช้ในฐาน b ≥ 2 ใด ๆ ได้โดยปรับลอการิทึมให้เป็นฐาน b เป็นสูตรทั่วไปว่า

${\displaystyle P(d)=\log _{b}(d+1)-\log _{b}(d)=\log _{b}\left({\frac {d+1}{d}}\right)=\log _{b}\left(1+{\frac {1}{d}}\right)}$ 

ในกรณีฐานสอง กฎของเบนฟอร์ดกล่าวว่าทุกจำนวน (นอกจาก 0) ขึ้นต้นด้วย 1 ซึ่งเป็นจริงอย่างเห็นชัด

กฎของเบนฟอร์ดสำหรับหลักนอกเหนือจากหลักแรก

กฎของเบนฟอร์ดสามารถใช้กับหลักแรกมากกว่าหนึ่งหลัก โดยโอกาสที่จำนวนจะขึ้นด้วยเลขหลายหลัก n คือ

${\displaystyle P(d)=\log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ 

เช่น โอกาสที่จำนวนจะขึ้นต้นด้วย 314 คือ ${\displaystyle \log _{10}(1+1/314)\approx 0.00138}$ 

จากสูตรนี้ สามารถหาความน่าจะเป็นของเลขโดดในตำแหน่งที่ไม่ใช่หลักแรกได้ เช่น โอกาสที่จำนวนใด ๆ จะมี 3 อยู่ในตำแหน่งที่สอง เท่ากับโอกาสที่จำนวนนั้นจะขึ้นต้นด้วยจำนวนใด ๆ ใน {13, 23, ...93} เท่ากับ

${\displaystyle \log _{10}\left(1+{\frac {1}{13}}\right)+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{23}}\right)+...+\log _{10}\left(1+{\frac {1}{93}}\right)\approx 0.104}$ 

ในทำนองเดียวกัน โอกาสที่ d (d = 0, 1, 2, ...9) จะอยู้ในตำแหน่งที่ n เท่ากับ

${\displaystyle \sum _{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}\log _{10}\left(1+{\frac {1}{10k+d}}\right)}$ 

ซึ่งเมื่อ n เพิ่มขึ้นการแจกแจงนี้จะขยับเข้าหาการแจกแจงเอกรูปอย่างรวดเร็วดังตาราง

เลขโดด	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ตำแหน่งที่ 1	N/A	30.1%	17.6%	12.5%	9.7%	7.9%	6.7%	5.8%	5.1%	4.6%
ตำแหน่งที่ 2	12%	11.4%	10.9%	10.4%	10%	9.7%	9.3%	9%	8.8%	8.5%
ตำแหน่งที่ 3	10.2%	10.1%	10.1%	10.1%	10%	10%	9.9%	9.9%	9.9%	9.8%

อ้างอิง

1. Frank Benford (March 1938). "The law of anomalous numbers". Proceedings of the American Philosophical Society. 78 (4): 551–572. JSTOR 984802. (subscription required)
2. Simon Newcomb (1881). "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers". American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 4, No. 1. 4 (1/4): 39–40. doi:10.2307/2369148. JSTOR 2369148. (subscription required)
3. Theodore P. Hill, "The Significant-Digit Phenomenon", The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 4, (Apr., 1995), pp. 322–327. Official web link (subscription required). Alternate, free web link.
4. Theodore P. Hill, "The Significant-Digit Phenomenon", The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 4, (Apr., 1995), pp. 322–327. Official web link (subscription required). Alternate, free web link.