การแปลงแบบคาโนนิคัล

ในกลศาสตร์แฮมิลตัน การแปลงแบบคาโนนิคัล คือ การเปลี่ยนแปลงของพิกัดคาโนนิคัล (q, p, t) → (Q, P, t) ซึ่งยังคงรูปแบบของสมการแฮมิลตันไว้ ในบางครั้งก็ถูกเรียกว่า รูปแบบความสัมพันธ์ของตัวแปร (form invariance) ไม่จำเป็นที่จะต้องรักษารูปแบบของกลศาสตร์แฮมิลตันเดิมเอาไว้ การแปลงแบบคาโนนิคัลสามารถนำไปใช้ได้อย่างมีรูปแบบ ซึ่งนำไปสู่สมการของแฮมิลตัน-จาโคบี (วิธีการที่ใช้สำหรับคำนวณพลังงานที่อนุรักษ์) และทฤษฎีของลีอูลวิลลี่ (ตัวพื้นฐานของกลศาสตร์สถิติคลาสสิก)

เนื่องจากกลศาสตร์แบบลากรองจ์ขึ้นอยู่กับพิกัดทั่วไป การแปลงพิกัด q → Q จะไม่ส่งผลต่อรูปแบบสมการของลากรางจ์ (Lagrange’s equation) และด้วยเหตุนี้ จึงไม่ส่งผลกระทบต่อรูปแบบสมการของแฮมิลตัน (Hamilton’s equation) ด้วย ถ้าหากเราเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมด้วยวิธีการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) แทนในสมการ

${\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}.}$

ดังนั้น การแปลงพิกัด (หรือ การแปลงจุด (point transformations)) จึงเป็นหนึ่งในวิธีการแปลงฯ อย่างไรก็ตาม ระดับการแปลงแบบคาโนนิคัลเป็นที่ยอมรับมากขึ้น ตั้งแต่การแปลงพิกัดทั่วไปแบบเก่า โมเมนตัมและแม้กระทั่งเวลาอาจจะถูกรวมกันในรูปแบบพิกัดทั่วไปและโมเมนตัมแบบใหม่ การแปลงแบบคาโนนิคัลที่ไม่มีพจน์ของเวลาจะถูกเรียกว่าการแปลงแบบคาโนนิคัลที่ถูกจำกัด (restricted canonical transformations) (ตำราเรียนหลายเล่มก็พิจารณาแต่กรณีนี้) เพื่อความชัดเจน เราจำกัดการนำเสนอไว้ที่แคลคูลัสและกลศาสตร์คลาสสิก ผู้อ่านหลาย ๆ คน คงคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง เช่น cotangent bundles, exterior derivatives และ symplectic manifolds สามารถอ่านได้จากบทความที่เกี่ยวข้องกับ symplectomorphism (การแปลงแบบคาโนนิคัลเป็นกรณีพิเศษของ symplectomorphism) อย่างไรก็ตาม คำแนะนำสั้น ๆ ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่อยู่ที่ท้ายของบทความนี้

ดูเพิ่ม

• Symplectomorphism
• Hamilton–Jacobi equation
• Liouville's theorem (Hamiltonian)
• Mathieu transformation
• Linear canonical transformation

อ้างอิง

• Goldstein, Herbert (1980). Classical mechanics (2d ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. p. 380. ISBN 0-201-02918-9.CS1 maint: ref=harv (link)
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975) [1939]. Mechanics. Translated by Bell, S. J.; Sykes, J. B. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.CS1 maint: ref=harv (link)