ความยาวคลื่นคอมป์ตัน

ความยาวคลื่นคอมป์ตัน (Compton wavelength) เป็นความยาวคลื่นของคลื่นเฉพาะตัวของสสาร ถูกเสนอโดยอาร์เทอร์ คอมป์ตัน (Arthur Compton) นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน ซึ่งเป็นผู้อธิบายการกระเจิงของโฟตอน (แสง) โดยอิเล็กตรอน (หรือการกระเจิงคอมป์ตัน) ความยาวคลื่นคอมป์ตันเป็นปริมาณของสสารที่เทียบเท่ากับความยาวคลื่นของโฟตอน ทำนองเดียวกับสมมูลพลังงานและมวลของไอน์สไตน์

ความยาวคลื่นคอมป์ตัน λ ของอนุภาค กำหนดตามสมการ

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}}\ }$

โดยที่ h แทน ค่าคงตัวพลังค์ m แทนมวลของอนุภาคขณะนิ่ง (มวลนิ่ง;rest mass) และ c แทนอัตราเร็วแสง

ข้อมูลของคณะกรรมการข้อมูลวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (CODATA) พ.ศ. 2553 ระบุว่า ความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอนมีค่า 2.4263102389(16)×10⁻¹² m. ส่วนอนุภาคอื่นมีค่าแตกต่างกันออกไป

ความสำคัญ

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน

ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน (reduced Compton wavelength) หาได้โดยหารความยาวคลื่นคอมป์ตันด้วย ${\displaystyle {2\pi }}$ 

${\displaystyle {\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}}\ }$ 

ในระดับควอนตัมนิยมใช้ความยาวคลื่นคอมป์ตันลดทอน โดยเฉพาะในสมการไคลน์-กอร์ดอน (Klein–Gordon equation) ของอนุภาคอิสระ

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi }$ 

รวมถึงสมการดิแรก (Dirac equation) (สมการต่อไปนี้เขียนในรูปโคแวเรียนต์ (covariant) โดยอาศัยข้อตกลงไอน์สไตน์ (Einstein summation convention)):

${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0\,}$ 

นอกจากนี้ยังปรากฏในสมการชเรอดิงเงอร์ (Schrödinger's equation) แม้จะไม่ได้เขียนอย่างชัดเจนไว้ในสมการของเดิมก็ตาม สมการต่อไปนี้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi }$ 

เมื่อหารตลอดด้วย ${\displaystyle \hbar c}$  และเขียนในรูปของค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (fine structure constant) จะได้ว่า

${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi }$ 

ข้อจำกัดในการวัดค่าความยาวคลื่นคอมป์ตัน

เนื่องจากข้อจำกัดการวัดในทางกลศาสตร์ควอนตัมและสัมพัทธภาพพิเศษ ทำให้การวัดค่าความยาวคลื่นไม่แม่นยำสมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคือ การวัดตำแหน่งของอนุภาคด้วยแสง หากต้องการเห็นตำแหน่งชัดเจน ก็ต้องใช้แสงความยาวคลื่นน้อย ๆ ซึ่งมีโฟตอนพลังงานสูง หากพลังงานของโฟตอนเกินกว่า mc² อาจก่อให้เกิดอนุภาคใหม่ได้จากหลักการสมมูลมวล-พลังงาน

กำหนดให้ความไม่แน่นอนของตำแหน่งเป็น Δx จากนั้นจากหลักความไม่แน่นอนของตำแหน่งและโมเมนตัม

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$ 

ทำให้ได้ว่า

${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$ 

ใช้สมการโมเมนตัม-พลังงานแบบสัมพัทธภาพ p = γm₀v จะได้ว่า เมื่อ Δp มีค่ามากกว่า mc จะได้ว่าความไม่แน่นอนของพลังงานจะต้องมากกว่า mc² ซึ่งเป็นพลังงานที่สมมูลกับมวลที่มากพอจะสร้างอนุภาคตัวใหม่ ดังนั้นจะได้ว่าความไม่แน่นอนของความยาวคล Using the relativistic relation between momentum and energy p = γm₀v, when Δp exceeds mc then the uncertainty in energy is greater than mc², which is enough energy to create another particle of the same type. It follows that there is a fundamental limitation on Δx:

${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$ 

ความยาวคลื่นคอมป์ตันต่างจาก ความยาวคลื่นเดอบรอย (de Broglie wavelength) ซึ่งขึ้นกับโมเมนตัมของอนุภาค และเป็นตัวบ่งชี้ระหว่างความเป็นอนุภาคและสสาร

ความสัมพันธ์กับค่าคงตัวอื่น

ความยาวอะตอมปกติ เลขคลื่น และพื้นที่ในฟิสิกส์มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันของอิเล็กตรอน (${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{e}\equiv {\tfrac {\lambda _{e}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$ ) และค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด (${\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$ )

รัศมีโบร์ (Bohr radius) มีความสัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันดังนี้

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{e}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$ 

รัศมีอิเล็กตรอนแบบฉบับ (classical electron radius) มีขนาดสามเท่าใหญ่กว่ารัศมีโปรตอน และสามารถเขียนเป็นสมการได้ว่า

${\displaystyle r_{e}=\alpha \left({\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\right)\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{e}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$ 

ค่าคงตัวริดเบิร์ก (Rydberg constant) เขียนได้ดังนี้

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}}$ 

ในอนุภาคเฟอร์มิออน ค่าคงตัวคอมป์ตันลดทอนและพื้นที่ตัดขวางอันตรกิริยามีความสัมพันธ์แก่กัน ยกตัวอย่าง พื้นที่ตัดขวางของการกระเจิงทอมสันของโฟตอนจากอิเล็กตรอน มีค่า

${\displaystyle \sigma _{T}={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{e}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2}}$ 

ซึ่งมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ตัดขวางของนิวเคลียสเหล็ก-56

ในทฤษฎีเกจ (Gauge theory) ความยาวคลื่นคอมป์ตันของโบซอนมีความสัมพันธ์กับพิสัยของอันตรกิริยายุกะวะ (Yukawa interaction) ในส่วนของโฟตอนซึ่งไม่มีมวลนิ่ง พิสัยมีค่าเป็นอนันต์

ความยาวและพื้นที่ในทางฟิสิกส์แรงดึงดูด สัมพันธ์กับความยาวคลื่นคอมป์ตันและค่าคงตัวแรงดึงดูดระหว่างมวล (gravitational coupling constant) ${\displaystyle \alpha _{G}}$  (เทียบได้กับค่าคงตัวโครงสร้างละเอียด)

มวลพลังค์ (Planck mass) เมื่อคำนวณเป็นค่าความยาวคอมป์ตันแล้วหารด้วยสองจะได้เท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius) หรือความยาวพลังค์ Planck length) ${\displaystyle \ell _{P}}$ .

${\displaystyle \ell _{P}=\lambda _{e}\,{\frac {\sqrt {\alpha _{G}}}{2\pi }}}$ 

อ้างอิง

1. CODATA 2010 value for Compton wavelength for the electron from NIST
2. Garay, Luis J. "Quantum Gravity And Minimum Length." International Journal of Modern Physics A 10.02 (1995): 145-65. Arxiv.org. Web. 3 June 2014. <http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9403008v2.pdf>.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Length Scales in Physics: the Compton Wavelength