ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม

โมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล (อังกฤษ: Orbital angular momentum)

ในทางกลศาสตร์แบบดั้งเดิม โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค คือ

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

โดยที่ p คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงเส้น และ r คือ ตัวดำเนินการตำแหน่งของอนุภาค และ L คือ ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล

ในกรณีที่อนุภาคไม่มีประจุไฟฟ้าและสปิน สามารถเขียนให้ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัลอยู่ในรูปของ r ได้ ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

ตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของออร์บิทัล คือ ตัวดำเนินการเวกเตอร์ ซึ่งเราสามาราถเขียนให้อยู่ในรูปขององค์ประกอบของเวกเตอร์ได้ ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$  โดยมีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของโมเมนตัมเชิงมุมดังนี้

${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$  (วิธีเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม)

โดย [ , ] คือ สัญลักษณ์การเปลี่ยนกลุ่ม

${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$ 

รูปทั่วไป คือ

${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}}$ ,