fbpx
วิกิพีเดีย

ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน

ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน (อังกฤษ: Kleene's recursion theorem) ในทฤษฎีการคำนวณได้ เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่ของฟังก์ชันคำนวณได้ที่ใช้คำบรรยายตัวเองในการคำนวณผลลัพธ์ สตีเฟน คลีน เป็นผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1938 โดยมีเนื้อหาดังต่อไปนี้

ให้ เป็นฟังก์ชันคำนวณได้ใดๆ แล้ว จะมีเครื่องจักรทัวริง ที่เมื่อรับ เป็นข้อมูลเข้า แล้วจะคำนวณ เมื่อ คือคำบรรยายของ เอง

กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้ที่มีข้อมูลเข้าสองตัวใดๆ จะมีฟังก์ชันคำนวณได้อีกฟังก์ชันหนึ่งที่ใช้ตัวเองเป็นข้อมูลเข้าตัวแรกโดยไม่ต้องอ่านข้อมูลจากภายนอก ตัวอย่างเช่น ถ้า เครื่องจักรทัวริง ให้คำบรรยายตัวเองออกมาเป็นผลลัพธ์ โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ทำงานเหมือนกับ จะพิมพ์ซอร์สโค้ดของตัวเองออกมา เราเรียกโปรแกรมประเภทนี้ว่าไควน์

การพิสูจน์

เราเริ่มต้นโดยการพิสูจน์บทตั้งต่อไปนี้

มีฟังก็ชันคำนวณได้   ที่ สำหรับสายอักษร   ใดๆ   เป็นคำบรรยายเครื่องจักรทัวริง   ที่รับข้อมูลเข้า   และพิมพ์ผลลัพธ์  

โดยแสดงเครื่องจักรทัวริงที่คำนวณ   เครื่องจักรทัวริงนั้นอาจนิยามได้ดังต่อไปนี้

  = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า   1. สร้างเครื่องจักรทัวริง   ดังต่อไปนี้   = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า    1. เลื่อน   ให้มีช่องว่างจากต้นเทปพอที่จะเขียน   และเครื่องหมาย "เว้นวรรค"  2. พิมพ์   ลงบนเทป  3. หยุดการทำงาน" 2. พิมพ์  " 

สำหรับการสร้างเครื่องจักรทัวริง   ในทฤษฎีบทนั้น เราแบ่ง   ออกเป็นเครื่องจักรทัวริงย่อยๆ สามเครื่อง ได้แก่  ,  , และ   โดยที่   เป็นเครื่องจักรทัวริงหนึ่งที่คำนวณ   โดยเครื่องจักรทั้งสามเครื่องมีลำดับการทำงานคือ   ทำงานจนเสร็จสิ้นแล้ว   จึงเริ่มทำงาน และเมื่อ   ทำงานเสร็จสิ้นแล้ว   จึงเริ่มทำงาน

เครื่องจักร   มีนิยามดังต่อไปนี้

  = "เมื่อได้รับข้อมูลเข้า   เมื่อ   เป็นคำอธิบายเครื่องจักรทัวริง   1. คำนวณ   โดยใช้บทตั้งข้างต้น 2. ต่อเติมคำอธิบายเครื่องจักร   ให้เป็นเครื่องจักร   ที่ใช้   ทำงานก่อน แล้วจึงใช้   ทำงานตาม 3. พิมพ์   ลงบนเทป" 

ส่วนเครื่องจักร   คือเครื่องจักรที่ได้จากการคำนวณ   เมื่อ   คือคำบรรยายเครื่องจักรที่ใช้   ทำงานก่อนตามด้วย  

สังเกตว่าเครื่องจักร   ตามที่ได้นิยามข้างต้นเป็นเครื่องจักรทัวริงที่สอดคล้องกับทฤษฎีบท กล่าวคือ   เป็นเครื่องจักรที่พิมพ์คำบรรยายของ   ดังนั้นเมื่อนำคำบรรยายนี้ไปผนวกกับ   ก็จะใช้เครื่องจักร   ซึ่งก็คือตัว   นั่นเอง ฉะนั้นผลลัพธ์ของ   คือ   และ   ก็จะคำนวณ   ตามที่เราต้องการ

ประโยชน์

เราสามารถใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีนในการพิสูจน์ข้อความทางทฤษฎีการคำนวณได้หลายๆ ข้อความอย่างกระชับและเป็นธรรมชาติ ยกตัวอย่างเช่น ปัญหาการหยุดทำงาน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ดังต่อไปนี้

สมมติเพื่อข้อขัดแย้งว่ามีเครื่องจักรทัวริง   ที่แก้ปัญหาการหยุดทำงาน พิจารณาเครื่องจักร   ดังต่อไปนี้

  = "เมื่อได้รับอินพุต   1. หาค่า   โดยใช้ทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน 2. ให้   ทำงานบนข้อมูลเข้า   3. ถ้า   บอกว่า "หยุดทำงาน" ให้เข้าลูปอนันต์ ถ้า   บอกว่า "ไม่หยุดทำงาน" ให้หยุดทำงาน 

เนื่องจาก   ทำงานตรงกันข้ามกับการวินิจฉัยของ   เราจึงได้ข้อขัดแย้งและสรุปได้ว่า   ไม่มีอยู่จริง

ข้อความอื่นๆ ที่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทเวียนบังเกิดของคลีน เช่น

  • ฟังก์ชันบีเวอร์คนขยันไม่ใช่ฟังก์ชันคำนวณได้
  • ไม่มีเครื่องจักรทัวริงใดทีสามารถ่คำนวณเครื่องจักรทัวริงที่มีขนาดของคำบรรยายสั้นที่สุดที่ำสมมูลกับเครื่องจักรทัวริงที่ให้เป็นข้อมูลเข้าได้
  • สำหรับฟังก์ชันคำนวณได้   ใดๆ ที่ทำการ "ดัดแปลง" เครื่องจักรทัวริงที่ได้รับเป็นข้อมูลเข้า จะมีเครื่องจักรทัวริง   ที่   สมมูลกับ  

อ้างอิง

  • Kleene, Stephen, "On notation for ordinal numbers," The Journal of Symbolic Logic, 3 (1938), 150-155.
  • Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. Boston: PWS, 1997.

ทฤษฎ, บทเว, ยนบ, งเก, ดของคล, งกฤษ, kleene, recursion, theorem, ในทฤษฎ, การคำนวณได, เป, นทฤษฎ, บทเก, ยวก, บการม, อย, ของฟ, งก, นคำนวณได, ใช, คำบรรยายต, วเองในการคำนวณผลล, พธ, สต, เฟน, คล, เป, นผ, จน, ทฤษฎ, บทน, ในป, 1938, โดยม, เน, อหาด, งต, อไปน, ให, displays. thvsdibthewiynbngekidkhxngkhlin xngkvs Kleene s recursion theorem inthvsdikarkhanwnid epnthvsdibthekiywkbkarmixyukhxngfngkchnkhanwnidthiichkhabrryaytwexnginkarkhanwnphllphth stiefn khlin epnphuphisucnthvsdibthniinpi kh s 1938 odymienuxhadngtxipni ih t S S S displaystyle t Sigma times Sigma rightarrow Sigma epnfngkchnkhanwnidid aelw camiekhruxngckrthwring R displaystyle R thiemuxrb w displaystyle w epnkhxmulekha aelwcakhanwn t R w displaystyle t langle R rangle w emux R displaystyle langle R rangle khuxkhabrryaykhxng R displaystyle R exng klawkhux sahrbfngkchnkhanwnidthimikhxmulekhasxngtwid camifngkchnkhanwnidxikfngkchnhnungthiichtwexngepnkhxmulekhatwaerkodyimtxngxankhxmulcakphaynxk twxyangechn tha t x y x displaystyle t x y x ekhruxngckrthwring R displaystyle R ihkhabrryaytwexngxxkmaepnphllphth opraekrmkhxmphiwetxrthithanganehmuxnkb R displaystyle R caphimphsxrsokhdkhxngtwexngxxkma eraeriykopraekrmpraephthniwaikhwnkarphisucn aekikheraerimtnodykarphisucnbthtngtxipni mifngkchnkhanwnid q S S S displaystyle q Sigma times Sigma rightarrow Sigma thi sahrbsayxksr w displaystyle w id q w displaystyle q w epnkhabrryayekhruxngckrthwring P w displaystyle P w thirbkhxmulekha x displaystyle x aelaphimphphllphth w x displaystyle w x odyaesdngekhruxngckrthwringthikhanwn q displaystyle q ekhruxngckrthwringnnxacniyamiddngtxipni Q displaystyle Q emuxidrbkhxmulekha w displaystyle w 1 srangekhruxngckrthwring P w displaystyle P w dngtxipni P w displaystyle P w emuxidrbkhxmulekha x displaystyle x 1 eluxn x displaystyle x ihmichxngwangcaktnethpphxthicaekhiyn w displaystyle w aelaekhruxnghmay ewnwrrkh 2 phimph w displaystyle w lngbnethp 3 hyudkarthangan 2 phimph P w displaystyle langle P w rangle sahrbkarsrangekhruxngckrthwring R displaystyle R inthvsdibthnn eraaebng R displaystyle R xxkepnekhruxngckrthwringyxy samekhruxng idaek A displaystyle A B displaystyle B aela T displaystyle T odythi T displaystyle T epnekhruxngckrthwringhnungthikhanwn t displaystyle t odyekhruxngckrthngsamekhruxngmiladbkarthangankhux A displaystyle A thangancnesrcsinaelw B displaystyle B cungerimthangan aelaemux B displaystyle B thanganesrcsinaelw T displaystyle T cungerimthanganekhruxngckr B displaystyle B miniyamdngtxipni B displaystyle B emuxidrbkhxmulekha M x displaystyle langle M rangle x emux M displaystyle langle M rangle epnkhaxthibayekhruxngckrthwring M displaystyle M 1 khanwn q M displaystyle q langle M rangle odyichbthtngkhangtn 2 txetimkhaxthibayekhruxngckr M displaystyle M ihepnekhruxngckr N displaystyle N thiich q M displaystyle q langle M rangle thangankxn aelwcungich M displaystyle M thangantam 3 phimph N x displaystyle N x lngbnethp swnekhruxngckr A displaystyle A khuxekhruxngckrthiidcakkarkhanwn q B T displaystyle q langle BT rangle emux B T displaystyle langle BT rangle khuxkhabrryayekhruxngckrthiich B displaystyle B thangankxntamdwy T displaystyle T sngektwaekhruxngckr R displaystyle R tamthiidniyamkhangtnepnekhruxngckrthwringthisxdkhlxngkbthvsdibth klawkhux A P B T displaystyle A P langle BT rangle epnekhruxngckrthiphimphkhabrryaykhxng B T displaystyle BT dngnnemuxnakhabrryayniipphnwkkb q B T A displaystyle q langle BT rangle A kcaichekhruxngckr A B T displaystyle ABT sungkkhuxtw R displaystyle R nnexng channphllphthkhxng B displaystyle B khux R x displaystyle langle R rangle x aela T displaystyle T kcakhanwn t R x displaystyle t langle R rangle x tamthieratxngkarpraoychn aekikherasamarthichthvsdibthewiynbngekidkhxngkhlininkarphisucnkhxkhwamthangthvsdikarkhanwnidhlay khxkhwamxyangkrachbaelaepnthrrmchati yktwxyangechn pyhakarhyudthangan sungsamarthphisucniddngtxipnismmtiephuxkhxkhdaeyngwamiekhruxngckrthwring H displaystyle H thiaekpyhakarhyudthangan phicarnaekhruxngckr M displaystyle M dngtxipni M displaystyle M emuxidrbxinphut x displaystyle x 1 hakha M displaystyle langle M rangle odyichthvsdibthewiynbngekidkhxngkhlin 2 ih H displaystyle H thanganbnkhxmulekha M x displaystyle langle M rangle x 3 tha H displaystyle H bxkwa hyudthangan ihekhalupxnnt tha H displaystyle H bxkwa imhyudthangan ihhyudthangan enuxngcak M displaystyle M thangantrngknkhamkbkarwinicchykhxng H displaystyle H eracungidkhxkhdaeyngaelasrupidwa H displaystyle H immixyucringkhxkhwamxun thisamarthphisucniddwythvsdibthewiynbngekidkhxngkhlin echn fngkchnbiewxrkhnkhynimichfngkchnkhanwnid immiekhruxngckrthwringidthisamarthkhanwnekhruxngckrthwringthimikhnadkhxngkhabrryaysnthisudthiasmmulkbekhruxngckrthwringthiihepnkhxmulekhaid sahrbfngkchnkhanwnid t S S displaystyle t Sigma rightarrow Sigma id thithakar ddaeplng ekhruxngckrthwringthiidrbepnkhxmulekha camiekhruxngckrthwring F displaystyle F thi t F displaystyle t langle F rangle smmulkb F displaystyle F xangxing aekikhKleene Stephen On notation for ordinal numbers The Journal of Symbolic Logic 3 1938 150 155 Sipser Michael Introduction to the Theory of Computation Boston PWS 1997 ekhathungcak https th wikipedia org w index php title thvsdibthewiynbngekidkhxngkhlin amp oldid 4715082, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม