พหุนามฟีโบนัชชี

พหุนามฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci polynomial) คือลำดับพหุนาม (polynomial sequence) ซึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปแบบทั่วไปของจำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number) และพหุนามที่สร้างจากรูปแบบเดียวกันนี้แต่ด้วยจำนวนลูคัส (Lucas number) นั้นเรียกว่าพหุนามลูคัส (Lucas polynomial)

นิยาม

พหุนามฟีโบนัชชีนิยามโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) :

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}$ 

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามฟีโบนัชชีคือ:

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$ 

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$ 

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$ 

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$ 

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$ 

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$ 

พหุนามลูคัสก็ได้นำความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันกับพหุนามฟีโบนัชชีเพียงแต่ได้เริ่มต้นด้วยค่าที่แตกต่างกันออกไปดังที่แสดงต่อไปนี้ :

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}$ 

โดยจะเห็นได้ว่าพจน์แรก ๆ ของพหุนามลูคัสคือ:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$ 

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$ 

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$ 

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$ 

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$ 

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$ 

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$ 

เราสามารถได้จำนานฟีโบนัชชีและจำนวนลูคัสจากการแทนค่าให้ ${\displaystyle x=1}$  จำนวนเพล (Pell number) ก็สามารถได้จากการคำนวณพจน์ ${\displaystyle F_{n}}$  ที่ ${\displaystyle x=2}$  โดยที่ ดีกรีของ ${\displaystyle F_{n}}$  คือ ${\displaystyle n-1}$  และดีกรีของ ${\displaystyle L_{n}}$  คือ ${\displaystyle n}$ 

ฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) สำหรับลำดับคือ :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}.}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$ 

พหุนามดังกล่าวทั้งสองสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของลำดับลูคัส (Lucas sequence)

${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$ 

${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$ 

เอกลักษณ์

ดูบทความหลักที่: ลำดับลูคัส

เนื่องจากพหุนามฟีโบนัชชีนั้นเป็นกรณีย่อยของลำดับลูคัส ดังนั้นพหุนามฟีโบนัชชีจึงมีเอกลักษณ์เหมือนลำดับลูคัสดังต่อไปนี้

ในขั้นแรกเรากำหนดนิยามให้แก่ดัชนีที่เป็นลบก่อน (negative indice) ในกรณีคือ ${\displaystyle -n}$  โดยนิยามว่า

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),\,L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$ 

และมีเอกลักษณ์อื่นอีกที่ตามมา:

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$ 

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{m-n}(x)\,}$ 

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$ 

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$ 

โดยที่รูปแบบปิด (Closed form expression) ของ ${\displaystyle F_{n}(x)}$  จะคล้ายกับสูตรของบิเน็ท (Binet's formula) :

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$ 

เมื่อ

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$ 

เป็นผลตอบ ${\displaystyle t}$  ที่ได้จากสมการ

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$ 

มุมมองจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด

 

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีสามารถหากได้จากสามเหลี่ยมปาสกาล ตามเส้นทแยงสีแดงดังรูป และผลบวกของค่าค่าสัมประสิทธิ์ดังกล่าวคือจำนวนฟีโบนัชชีนั้นเอง

ถ้าให้ F (n, k) คือค่าสัมประสิทธิ์ x^k ใน F_n (x) เราจะเขียน ${\displaystyle F_{n}(x)}$  ใหม่ได้ว่า

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$ 

นั้นก็คือว่า F (n, k) คือจำนวนวิธีที่สีเหลี่ยมขนาด (n−1) × 1 จะถูกเติมเต็มได้โดยสี่เหลี่ยมขนาด 2 × 1 และสี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 และโดยมีเงื่อนไขว่าให้ใช้สี่เหลี่ยมขนาด 1 × 1 จำนวน k อันเท่านั้น ซึ่งนั้นก็หมายความว่า ประพจน์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้สมมูลกันกับการที่มองว่า F (n, k) เป็นจำนวนวิธีในการเขียน n−1 ในรูปของการประกอบของการบวก (Composition) ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกันระหว่างเลข 1 และ 2 โดยที่กำหนดว่าเลข 1 นั้นจะต้องถูกใช้ในการประกอบการบวกเพียงแค่ k ครั้งเท่านั้น

ตัวอย่างเช่น กรณี F (6, 3) = 4 เราจะเห็นได้ว่า 6-1 = 5 สามารถเขียนโดยใช้เลข 2 และ 1 ได้ใน F (6, 3) = 4 วิธี นั้นคือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 (จำนวนครั้งที่การประกอบการบวกที่มีเพียง 1 และ 2 ถูกนำมาใช้ประกอบการบวก และภายใต้เงื่อนไขที่ว่า 1 ถูกนำมาใช้ 3 ตัว นั้นมี 4 วิธี) หรือกล่าวในอีกทางหนึ่งว่า F (n, k) นั้นก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม (binomial coefficient) ที่มีความสัมพันธ์ดังนี้

${\displaystyle F(n,k)={\binom {\tfrac {n+k-1}{2}}{k}}}$ 

เมื่อ n และ k คือ ภาวะคู่หรือคี่ที่อยู่ตรงข้ามกัน (opposite parity) และนั้นนำไปสู่การใช้สามเหลี่ยมปาสกาล ในการหาค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟีโบนัชชีดังที่แสดงในรูปด้านซ้ายมือ

อ้างอิง

1. Benjamin & Quinn p. 141
2. Benjamin & Quinn p. 142
3. เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Fibonacci Polynomial" จากแมทเวิลด์.
4. Springer

• Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer J. (2003). "§9.4 Fibonacci and Lucas Polynomial". Proofs that Really Count. MAA. p. 141. ISBN 0-88385-333-7.
• Philippou, Andreas N. (2001), "Fibonacci polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Philippou, Andreas N. (2001), "Lucas polynomials", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Lucas Polynomial" จากแมทเวิลด์.

ดูเพิ่ม

• Hoggatt, V. E.; Bicknell, Marjorie (1973). "Roots of Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly. 11: 271–274. ISSN 0015-0517. MR 0332645.
• Hoggatt, V. E.; Long, Calvin T. (1974). "Divisibility properties of generalized Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly. 12: 113. MR 0352034.
• Ricci, Paolo Emilio (1995). "Generalized Lucas polynomials and Fibonacci polynomials". Rivista di Matematica della Università di Parma. V. Ser. 4: 137–146. MR 1395332.
• Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). "Some identities involving the Fibonacci Polynomials". Fibonacci Quarterly. 40 (4): 314. MR 1920571.
• Cigler, Johann (2003). "q-Fibonacci polynomials". Fibonacci Quarterly (41): 31–40. MR 1962279.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Triangle of coefficients of polynomials defined by Binet form P (n, x) = (U^n-L^n) /d, where U= (x+d) /2, L= (x-d) /2, d= (4 + x^2) ^ (1/2).
• Triangle of numbers {C (n-k, k), n >= 0, 0<=k<=n/2 or triangle of coefficients of (one version of) Fibonacci polynomials.