รายการกฎการอนุมาน

หน้าวิกิพีเดียนี้ มีจุดประสงค์เพื่อรวบรวมรายการกฎการอนุมาน (rules of inference [en]) ซึ่งเป็นกฎทางตรรกศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณสมการเชิงคณิตตรรกศาสตร์

กฎการอนุมาน

กฎการอนุมานเป็นกฎการแปลงทางสัณฐานวิทยา สามารถใช้เพื่อสรุปข้อสรุปจากหลักฐานเพื่อโต้เถียงกลับเชิงตรรกะได้ สามารถใช้ชุดของกฎเพื่ออนุมานข้อสรุปที่ถูกต้องจากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์ที่สมบูรณ์ได้ (ในขณะที่จะไม่สามารภอนุมานข้อสรุปถูกต้องได้ หากหลักฐานเชิงตรรกศาสตร์นั้นไม่ครบถ้วน) กฎที่สมบูรณ์ครบถ้วนไม่จำเป็นต้องรวมทุกกฎทั้งหมดที่มีในรายการต่อไปนี้ เนื่องจากกฎหลายข้อนั้นมีความซ้ำซ้อนและสามารถพิสูจน์ได้ด้วยกฎอื่น ๆ

กฎสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์แบบคลาสสิก

รายการด้านล่างคือกฎการอนุมานสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์ (propositional calculus) แบบคลาสสิก

กฎนิเสธ (Rules for negations)

Reductio ad absurdum [en] (หรือ Negation Introduction)

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$ 

${\displaystyle \varphi \vdash \lnot \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \varphi \quad \quad \!}}}$ 

Reductio ad absurdum (เกี่ยวข้องกับ law of excluded middle [en])

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \varphi \vdash \lnot \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\ \varphi \quad \quad \quad }}}$ 

Ex contradictione quodlibet [en]

${\displaystyle \,\varphi }$ 

${\displaystyle \lnot \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\,\psi \ \,}}}$ 

กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negation elimination [en])

${\displaystyle \lnot \lnot \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\,\varphi \quad \,}}}$ 

Double negation introduction [en]

${\displaystyle \,\varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \lnot \varphi \,}}}$ 

กฎสำหรับหรือ (Rules for conditionals)

Deduction theorem [en] (หรือ Conditional Introduction [en])

${\displaystyle \varphi \vdash \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \rightarrow \psi \ }}}$ 

การแจ้งผลตามเหตุ (Modus ponens [en] หรือ Conditional Elimination)

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\psi \quad \quad \,\,}}}$ 

การค้านผลตามเหตุ (Modus tollens [en])

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \varphi \quad \ \ \,}}}$ 

กฎสำหรับและ (Rules for conjunctions)

Adjunction [en] (หรือ Conjunction Introduction)

${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle \psi \quad \quad }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \wedge \psi \ }}}$ 

การแจงผลร่วม (Simplification [en] หรือ Conjunction Elimination)

${\displaystyle \varphi \wedge \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \quad \quad \!}}}$ 

${\displaystyle \varphi \wedge \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\psi \quad \quad \!}}}$ 

กฎสำหรับถ้า... แล้ว... (Rules for disjunctions)

การเติมผล (Addition [en] หรือ Disjunction Introduction)

${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \vee \psi \ }}}$ 

${\displaystyle \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \vee \psi \ }}}$ 

Case analysis [en] (หรือ Proof by Cases หรือ Argument by Cases หรือ Disjunction elimination)

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$ 

${\displaystyle \psi \rightarrow \chi }$ 

${\displaystyle \varphi \vee \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\chi \quad \quad \,}}}$ 

ตรรกบทแบบคัดออก (Disjunctive syllogism [en])

${\displaystyle \varphi \vee \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\psi \quad \quad \!}}}$ 

${\displaystyle \varphi \vee \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \quad \quad \!}}}$ 

การเลือกผลตามเหตุ (Constructive dilemma [en])

${\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }$ 

${\displaystyle \psi \rightarrow \xi }$ 

${\displaystyle \varphi \vee \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\chi \vee \xi \quad \!\!}}}$ 

กฎสำหรับก็ต่อเมื่อ (Rules for biconditionals)

Biconditional introduction [en]

${\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \psi \rightarrow \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \leftrightarrow \psi \,}}}$ 

Biconditional elimination [en]

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\psi \quad \quad \ }}}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\varphi \quad \quad \ }}}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \psi \quad \quad \!\!}}}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \psi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \varphi \quad \quad \!\!}}}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \psi \vee \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\psi \land \varphi \quad \!\!}}}$ 

${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$ 

${\displaystyle \lnot \psi \vee \lnot \varphi }$ 

${\displaystyle {\overline {\lnot \psi \land \lnot \varphi \,}}}$ 

ตารางกฎการอนุมาน

กฎด้านบนนั้นสามารถรวมกันไว้ได้ตามตารางนี้ ตารางคอลัมน์สัจนิรันดร์ (Tautology [en]) แสดงวิธีการแสดงกฎแต่ละข้อตามหลักคณิตตรรกศาสตร์แบบสัจนิรันดร์

Rules of inference	สัจนิรันดร์	ชื่อภาษาอังกฤษ	ชื่อภาษาไทย
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q}$	Modus ponens [en]	กฎการแจงผลตามเหตุ
${\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p}$	Modus tollens [en]	กฎการแจงผลค้านเหตุ
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))}$	Associative	กฎการเปลี่ยนหมู่
${\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)}$	Commutative
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (\ p\leftrightarrow q)}$	Law of biconditional propositions
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))}$	Exportation
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)}$	Transposition or contraposition law
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)}$	Hypothetical syllogism	ตรรกบทแบบสมมติฐาน
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)}$	Material implication
${\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))}$	Distributive	กฎการแจกแจง
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))}$	Absorption	กฎการซึมซับ
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q}$	Disjunctive syllogism	กฎตรรกบทแบบคัดออก
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)}$	Addition	กฎการเติมผล
${\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p}$	Simplification	กฎการแจงผลร่วม
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)}$	Conjunction
${\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle p\rightarrow (\neg \neg p)}$	Double negation	นิเสธซ้อนนิเสธ
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p}$	Disjunctive simplification	การแจงผลร่วมแบบคัดออก
${\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)}$	Resolution
${\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\r\rightarrow q\\p\vee r\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (r\rightarrow q)\wedge (p\vee r))\rightarrow q}$	Disjunction Elimination

ดูเพิ่ม

ปรัชญา

• รายชื่อระบบทางตรรกศาสตร์ [en]

อ้างอิง

1. Kenneth H. Rosen (2003). Discrete Mathematics and its Applications (Fifth ed.). McGraw-Hill. p. 58. ISBN 9780072424348.