ผลเฉลยของสมการชเรอดิงเงอร์สำหรับศักยะขั้นบันได

ในกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีการกระเจิง ศักย์แบบขั้นบันได (อังกฤษ: step potential) แบบ 1 มิติ เป็นระบบในอุดมคติที่ใช้ในการอธิบายคลื่นอนุภาคที่มีการตกกระทบ การสะท้อน และการทะลุผ่าน ในหัวข้อนี้ จะใช้สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์ แบบ 1 มิติ

การคำนวณ

สมการชเรอดิงเงอร์และฟังก์ชันของศักย์

 

Scattering at a finite potential step of height V₀, shown in green. The amplitudes and direction of left and right moving waves are indicated. Yellow is the incident wave, blue are reflected and transmitted, red does not occur. E > V₀ for this figure.

สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลาสำหรับฟังก์ชันคลื่น  คือ

${\displaystyle H\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$ 

โดยที่

H คือ ฮามิลโทเนียน

ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า

m คือ มวล

E คือ พลังงานของอนุภาค

ศักย์แบบขั้นบันได มีสมการเป็น

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$ 

โดยสิ่งกีดขวางจะอยู่ที่ตำแหน่ง x = 0 ศักย์แบบขั้นบันได จะแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วน คือ x < 0 และ x > 0 ซึ่งทั้ง 2 ส่วนนี้จะมีศักย์เป็นค่าคงที่

การแก้ปัญหาสมการชเรอดิงเงอร์สามารถเขียนเป็นการซ้อนทับ (Superposition) ของคลื่นที่เคลื่อนที่ไปทางซ้ายและทางขวา โดยที่

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ ,

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$ 

ซึ่งทั้ง 2 สมการมีรูปแบบเดียวกับความสัมพันธ์ของเดอบรอย์

${\displaystyle p=\hbar k}$ 

เงื่อนไขขอบเขต

ฟังก์ชันคลื่นในทั้งสองบริเวณจะต้องมีความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ที่บริเวณรอยต่อ x = 0 ดังสมการ

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0)}$ ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{1}(0)={\frac {d}{dx}}\psi _{2}(0)}$ 

วิเคราะห์ผลการคำนวณ

ให้อนุภาคแต่ละตัวมีพลังงาน  ตกลงบนศักย์จากด้านซ้านมือของศักย์แบบขั้น โดยแบ่งพิจารณาเป็น 2 กรณี ดังนี้

เมื่อ E < V₀

ในกรณีนี้ตามกลศาสตร์ดั้งเดิม อนุภาคจะผ่านศักย์แบบขั้นไปได้เสมอ แต่สำหรับกลศาสตร์ควอนตัมจะมีโอกาสข้ามศักย์แบบขั้นได้จำกัด บางครั้งอนุภาคจะสะท้อนกลับ จะพบว่าในบริเวณ x < 0 จะมีทั้งคลื่นที่ตกกระทบและคลื่นสะท้อน ส่วนในบริเวณ x > 0 จะมีแต่คลื่นที่ทะลุผ่านอย่างเดียว โดยมีสัมประสิทธิ์การทะลุผ่านและการสะท้อน ดังนี้

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}*k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$ 

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$ 

เมื่อ E > V₀

ฟังก์ชันคลื่นในบริเวณ x < 0 ยังมีลักษณะเหมือนเดิม ส่วนบริเวณ x > 0 มีความน่าจะเป็นของการพบอนุภาคอยู่บ้าง ซึ่งตามกลศาสตร์ดั้งเดิมไม่มีโอกาสพบอนุภาคเลย

อ้างอิง

http://www.rmutphysics.com/charud/oldnews/206/index206.htm