สมมติฐานความต่อเนื่อง

สมมติฐานความต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuum hypothesis) คือ สมมติฐานเกี่ยวกับขนาดของเซตอนันต์. เกออร์ก คันทอร์ ได้วางพื้นฐานเกี่ยวกับจำนวนเชิงการนับเพื่อเปรียบเทียบขนาดของเซตอนันต์ เขาได้แสดงให้เห็นว่าเซตของจำนวนเต็มมีขนาดเล็กกว่าเซตของจำนวนจริง สมมติฐานความต่อเนื่องกล่าวว่า

ไม่มีเซตใดมีขนาดอยู่ระหว่างเซตของจำนวนเต็ม กับเซตของจำนวนจริง

หรือกล่าวในเชิงคณิตศาสตร์ได้ว่า ถ้าให้จำนวนเชิงการนับของจำนวนเต็ม ${\displaystyle |\mathbb {Z} |}$ คือ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (อะเลฟศูนย์) และ จำนวนเชิงการนับของจำนวนจริง ${\displaystyle |\mathbb {R} |}$ คือ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ แล้ว สมมติฐานความต่อเนื่องกล่าวว่า

${\displaystyle \nexists \mathbb {A} :\aleph _{0}<|\mathbb {A} |<2^{\aleph _{0}}}$

ขนาดของเซต

สมมติฐานภาวะต่อเนื่อง

ถ้าเซต S เป็นเซตที่ขัดแย้งกับสมมติฐานความต่อเนื่องแล้ว เราจะไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกของเซต S กับ สมาชิกของเซตจำนวนเต็มได้ เพราะว่าจะมีสมาชิกของเซต S "เหลืออยู่"เสมอ. ในทางเดียวกัน เราจะไม่สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างสมาชิกของเซต S กับ สมาชิกของเซตจำนวนจริงได้ เพราะว่าจะมีสมาชิกของเซตจำนวนจริง"เหลืออยู่"เสมอ

เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์หรือหักล้าง

สมมติฐานความต่อเนื่องทั่วไป