กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส ซึ่งเราอาจเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ (ดูการอนุพัทธ์) ควบคุมอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \,\!(fg)'=f'g+fg'}$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

${\displaystyle {d \over dx}(uv)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}$

ค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล สมมุติให้ u (x) และ v (x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

${\displaystyle d(uv)\,}$	${\displaystyle =(u+du)(v+dv)-uv\,}$
	${\displaystyle =u(dv)+v(du)+(du)(dv)\,}$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย (ในรูปควาดราติกของ du และ dv) ไลบ์นิซสรุปว่า

${\displaystyle d(uv)=(du)v+u(dv)\,}$ 

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(uv)=\left({\frac {du}{dx}}\right)v+u\left({\frac {dv}{dx}}\right)}$ 

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

${\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}$ 

ตัวอย่าง

• สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f (x) = x² sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f' (x) = 2x sin (x) + x²cos (x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin (x) คือ cos (x)).
• กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f) ' (x) = c × f ' (x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
• กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์การหาปริพันธ์ทีละส่วน และกฎผลหาร

ข้อผิดพลาดโดยทั่วไป

ความผิดพลาดของผู้ที่เริ่มศึกษาแคลคูลัสบ่อย ๆ คือการสมมุติว่าอนุพันธ์ของ uv เท่ากับ (u') (v) (ไลบ์นิซก็คิดเช่นนั้นในตอนแรก) แต่ว่าเราสามารถหาตัวอย่างมาโต้แย้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f ซึ่งมีอนุพันธ์ f ' (x) ฟังก์ชันนี้สามารถเขียนได้อีกรูปหนึ่งเป็น f (x) · 1 เพราะ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ถ้าสมมุติฐานข้างบนซึ่งผิดพลาดเป็นจริง กล่าวคือได้ (u) (v) ซึ่งก็คือ ผลคูณ f (x) · 0 มีค่าเป็น ศูนย์ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ (เช่น 1) เป็นศูนย์เสมอ

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต และนิยามของอนุพันธ์จากผลหารผลต่างของนิวตัน:

สมมุติว่า

${\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}$ 

และสมมุติต่อไปว่า g และ h หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้น

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}$ 

เนื่องจาก

${\displaystyle g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),\,}$ 

จะได้ว่า

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}$ 

${\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}$ 

เนื่องจาก h มีค่าต่อเนื่องที่จุด x เราได้

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}$ 

และอาศัยนิยามของอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้ของ h และ g ที่จุด x จะได้ว่า

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}}$ 

และ

${\displaystyle g'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}$ 

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

${\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}$ 

${\displaystyle =\left[\lim _{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}$ 

${\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}$ 

จบการพิสูจน์

นัยทั่วไป

ดูเพิ่ม

• กฎผลหาร
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• ดิฟเฟอเรนเชียล