จำนวนเชิงอันดับที่

จำนวนเชิงอันดับที่ (อังกฤษ: ordinal numbers) ในทฤษฎีเซต เป็นรูปแบบจำนวนที่เพิ่มเติมจากระบบจำนวนธรรมชาติ ซึ่งใช้ในการอธิบายวิธีการจัดอันดับเซตของวัตถุ หากมีชุดของวัตถุที่มีขนาดจำกัด เราสามารถจัดอันดับได้โดยการนับธรรมดา นั่นคือการไล่จับคู่วัตถุในเซตกับจำนวนธรรมชาติ ในทำนองเดียวกันนี้ เราใช้จำนวนเชิงอันดับที่ในการจัดอันดับของวัตถุในเซตใด ๆ ซึ่งอาจมีขนาดเป็นอนันต์ก็ได้

จำนวนเชิงอันดับที่ตั้งแต่ 0 ถึง ω^ω. การวนรอบวงก้นหอย 1 รอบ แสดงถึงเลขชี้กำลังของ ω เพิ่มขึ้น 1

จำนวนเชิงอันดับที่ แสดงถึงภาวะเชิงอันดับที่ของเซตอันดับดี (well-ordered set) หมายถึงเซตที่มีการนิยามความสัมพันธ์ > บนเซต ซึ่งมีสมบัติได้แก่

• สำหรับ x และ y ใด ๆ ในเซต ความสัมพันธ์ x > y หรือ x = y หรือ y > x จะเป็นจริงหนึ่งความสัมพันธ์เสมอ
• สำหรับ x y และ z ใด ๆ ในเซต ถ้า x > y และ y > z แล้ว x > z
• ทุกสับเซตมีสมาชิกต่ำสุด นั่นคือ ทุกสับเซตมี x หนึ่งตัว ที่ไม่มี y ในสับเซตที่ x > y

เซตอันดับดีสองเซตจะมีภาวะเชิงอันดับที่เดียวกัน ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากเซตหนึ่งไปอีกเซตที่รักษาการจัดอันดับในเซต

จำนวนเชิงอันดับที่ต่างจากจำนวนเชิงการนับ (cardinal numbers) ซึ่งใช้แสดงขนาดของเซตโดยไม่คำนึงการจัดอันดับของสมาชิก ความแตกต่างนี้ไม่ชัดเจนสำหรับเซตจำกัด ซึ่งจำนวนเชิงอันดับที่หนึ่งตัวจะตรงกับจำนวนเชิงการนับหนึ่งตัวเสมอ แต่สำหรับเซตอนันต์ที่มีจำนวนเชิงการนับเดียวกัน อาจมีจำนวนเชิงอันดับที่ต่างกันได้

จำนวนเชิงอันดับที่สามารถนำมาบวก คูณ และยกกำลังได้เหมือนจำนวนแบบอื่น ๆ แตไม่มีสมบัติสลับที่

การนิยาม

จำนวนธรรมชาติ (ในที่นี้รวม 0) สามารถใช้ในการแสดงสมบัติสองอย่างที่ต่างกันคือ ขนาดของเซต หรือ อันดับที่ของสมาชิกในเซต ซึ่งสำหรับเซตจำกัดสมบัติทั้งสองตัวนี้จะเทียบเท่ากัน แต่สำหรับเซตอนันต์ เราจะขยายจำนวนธรรมชาติได้สองแบบ คือจำนวนเชิงการนับซึ่งแสดงขนาด และจำนวนเชิงอันดับที่ซึ่งแสดงอันดับของสมาชิก ซึ่งเซตอนันต์แต่ละเซตจะมีจำนวนเชิงการนับค่าเดียว แต่สามารถจัดเรียงอันดับสมาชิกให้เป็นเซตอันดับดีได้หลายแบบ

หากเรามีเซตจำกัดอันดับดี เราสามารถจับคู่ 0 กับสมาชิกตัวแรกในเซต จับคู่ 1 กับสมาชิกตัวต่อมา จับคู่ 2 กับสมาชิกถัดไปอีก เช่นนี้ไปจนครบสมาชิกทุกตัวในเซต ซึ่งจะสังเกตได้ว่า ขนาดของเซตจะตรงกับจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่ไม่ได้จับคู่กับสมาชิกในเซต จากข้อสังเกตนี้ เราจึงนำมาใช้ในการนิยามจำนวนเชิงอันดับที่จากเซตของจำนวนที่น้อยกว่า เช่น 42 แสดงถึงภาวะเชิงอันดับที่ของเซต {0,1,...,41} เราจึงนิยาม 42 เป็นเซตนั้นได้ จากนิยามนี้ จะได้ว่า หากจำนวนเชิงอันดับที่ α กับ β มีคุณสมบัติว่า β < α แล้ว β ∈ α

 

แผนภาพแสดงจำนวนเชิงอันดับที่ ω² แท่งแต่ละแท่งเป็นจำนวนเชิงอันดับที่ที่เขียนเป็น ω·m+n ได้ ตั้งแต่ 0 อยู่ซ้ายสุด "พีระมิด"แต่ละรูปเป็น ω หนึ่งตัว

เมื่อใช้นิยามนี้ต่อไป จะได้นิยามจำนวนเชิงอันดับที่อนันต์ตัวแรก คือ ω ซึ่งแสดงภาวะเชิงอันดับที่ของเซตของจำนวนธรรมชาติ(หรือเทียบเท่ากับจำนวนเชิงอันดับที่จำกัด)ทั้งหมด ตามด้วย ω+1 ω+2 ω+3 ไปเรื่อย ๆ ตามด้วย ω·2 (= ω+ω) ω·2+1 ω·2+2 ไปเรื่อย ๆ ตามด้วย ω·3 และหลังจากนั้นตามด้วย ω·4 ไปเรื่อย ๆ เซตของจำนวนเชิงอันดับที่ในรูป ω·m+n เมื่อ m กับ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ก็จะมีจำนวนเชิงอันดับที่ของมันอีก คือ ω² ในทำนองเดียวกันก็มี ω³ ω⁴ ไปเรื่อย ๆ จนถึง ω^ω จากนั้นก็มี ω^ωω ω^ωωωไปจนถึง ε₀ และก็ยังสร้างจำนวนเชิงอันดับที่ผ่านนิยามเดิมต่อไปได้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ทุกครั้งที่มีการกล่าวว่า "ไปเรื่อย ๆ" เราก็ยังสามารถนิยามจำนวนเชิงอันดับที่ที่มากกว่าทุกจำนวนที่อยู่ในคำว่า "ไปเรื่อย ๆ" โดยการสร้างเซตอันดับดีของจำนวนเหล่านั้น แล้วนิยามมันเป็นจำนวนเชิงอันดับที่ตัวถัดไป) ซึ่งทุกจำนวนที่กล่าวมาถึงจุดนี้ยังคงเป็นอนันต์แบบนับได้ เและเซตของจำนวนเชิงอันดับที่นับได้ทั้งหมดมีภาวะเชิงอันดับที่เป็นจำนวนเชิงอันดับที่นับไม่ได้ตัวแรกคือ ω₁