fbpx
วิกิพีเดีย

จำนวนธรรมชาติ

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนธรรมชาติ อาจหมายถึง จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ (1, 2, 3, 4, ...) หรือ จำนวนเต็มไม่เป็นลบ (0, 1, 2, 3, 4, ...) ความหมายแรกมีการใช้ในทฤษฎีจำนวน ส่วนแบบหลังได้ใช้งานใน ตรรกศาสตร์,เซตและวิทยาการคอมพิวเตอร์ ถุ จำนวนธรรมชาติมีการใช้งานหลักอยู่สองประการ กล่าวคือเราสามารถใช้จำนวนธรรมชาติในการนับ เช่น มีส้มอยู่ 3 ผลบนโต๊ะ หรือเราอาจใช้สำหรับการจัดอันดับ เช่น เมืองนี้เป็นเมืองที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับที่ 3 ในประเทศ เป็นต้น

คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติที่เกี่ยวกับการหารลงตัว เช่นการกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นเนื้อหาในทฤษฎีจำนวน ปัญหาที่เกี่ยวกับการนับ เช่น ทฤษฎีแรมซี นั้นถูกศึกษาในคณิตศาสตร์เชิงการจัด

ประวัติของจำนวนธรรมชาติและจำนวนศูนย์

สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติ มีแหล่งกำเนิดอยู่ที่การนับ, เริ่มด้วยเลขหนึ่ง จำนวนธรรมชาติในนามธรรมได้เกิดขึ้นครั้งแรกจากการใช้ตัวเลข เพื่อแสดงให้ค่าจำนวน จนพัฒนาขึ้นมาในการบันทึกจำนวนที่มากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิลอนสร้างระบบหลักจำนวนขึ้นมาซึ่งจำเป็นมากในระบบเลขหนึ่งถึงสิบ, ชาวอียิปต์ได้สร้างระบบจำนวนอย่างแตกต่างในภาษาเฮียโรกริฟต์ สำหรับหนึ่งถึงสิบและเลขยกกำลังตั้งแต่หลักสิบถึงหลักล้าน ตั้งแต่ที่ถ้ำหินของคาร์หนัก(เคหกรรมของชาวอียิปต์)ก่อนคริสต์ศักราช 1500 ปี จนถึงลูฟฟ์ที่ปารีส แสดงจำนวน 276 โดย 2 แทนที่หลักร้อย, 7 แทนที่หลักสิบ, 6 แทนที่หลักหน่วย และดังเช่นการเขียนจำนวน 4,622 ด้วย

นิยามอย่างเป็นรูปนัย

นิยามอย่างเป็นรูปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใดๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่

สัจพจน์ของเปอาโน

สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นรูปนัยของจำนวนธรรมชาติ สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:

  • เป็นจำนวนธรรมชาติ
  • ทุกจำนวนธรรมชาติ   มีตัวตามหลัง เขียนแทนด้วย   จริงๆ แล้ว   คือ  
  • ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ตัวตามหลังเป็น
  •   เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันมีตัวตามหลังที่ต่างกัน: ถ้า   แล้ว  
  • ถ้า มีสมบัติอย่างหนึ่ง และ ตัวตามหลังของทุกๆ จำนวนนับที่มีสมบัตินั้น ก็มีสมบัตินั้น แล้วทุกจำนวนธรรมชาติจะมีสมบัตินั้น (สัจพจน์นี้ยืนยันว่าการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ถูกต้อง)

หมายเหตุ ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามรูปแบบเชิงตรรก อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่าแบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน และยืนยันโดยUpward Löwenheim-Skolem Theorem ชื่อ ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก   ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก   ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย   ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ   สัญลักษณ์   ถือเป็น   ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรกคือ  

การสร้างบนพื้นฐานทฤษฎีเซต

การสร้างมาตรฐาน

การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้างเรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์ กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:

กำหนด 0 := { } เป็นเซตว่าง
และนิยาม S(a) = a ∪ {a} สำหรับทุกเซต a S(a) คือตัวตามหลัง a และเรียก S ว่า ฟังก์ชันตัวตามหลัง
โดยสัจพจน์ของอนันต์ เซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีอยู่ เซตนี้คืออินเตอร์เซกชันของทุกเซตที่มีสมบัติปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตามหลัง จึงสอดคล้องสัจพจน์ของเปอาโน
ทุกจำนวนธรรมชาติเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้นๆ นั่นคือ
  • 0 = { }
  • 1 = {0} = {{ }}
  • 2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
  • 3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} ={{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
  • n = {0, 1, 2, ..., n−2, n−1} = {0, 1, 2, ..., n−2,} ∪ {n−1} = {n−1} ∪ (n−1) = S(n−1)
ฯลฯ

อ้างอิง

  1. Von Neumann 1923

ดูเพิ่ม

แหล่งข้อมูลอื่น

  • Axioms and Construction of Natural Numbers
  • Essays on the Theory of Numbers by Richard Dedekind at Project Gutenberg

จำนวนธรรมชาต, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, ดในทางคณ, ตศาสตร, อาจหมายถ, จำนวนเต, มบวก, หร, จำนวนน, หร, จำนวนเต, มไม, เป,. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudinthangkhnitsastr canwnthrrmchati xachmaythung canwnetmbwk hrux canwnnb 1 2 3 4 hrux canwnetmimepnlb 0 1 2 3 4 khwamhmayaerkmikarichinthvsdicanwn swnaebbhlngidichnganin trrksastr estaelawithyakarkhxmphiwetxr thu canwnthrrmchatimikarichnganhlkxyusxngprakar klawkhuxerasamarthichcanwnthrrmchatiinkarnb echn mismxyu 3 phlbnota hruxeraxacichsahrbkarcdxndb echn emuxngniepnemuxngthimikhnadihyepnxndbthi 3 inpraeths epntnkhunsmbtikhxngcanwnthrrmchatithiekiywkbkarharlngtw echnkarkracaykhxngcanwnechphaa epnenuxhainthvsdicanwn pyhathiekiywkbkarnb echn thvsdiaermsi nnthuksuksainkhnitsastrechingkarcd enuxha 1 prawtikhxngcanwnthrrmchatiaelacanwnsuny 2 niyamxyangepnrupny 2 1 scphcnkhxngepxaon 2 2 karsrangbnphunthanthvsdiest 2 2 1 karsrangmatrthan 3 xangxing 4 duephim 5 aehlngkhxmulxunprawtikhxngcanwnthrrmchatiaelacanwnsuny aekikhsnnisthanwacanwnthrrmchati miaehlngkaenidxyuthikarnb erimdwyelkhhnung canwnthrrmchatiinnamthrrmidekidkhunkhrngaerkcakkarichtwelkh ephuxaesdngihkhacanwn cnphthnakhunmainkarbnthukcanwnthimakkhun yktwxyangechn chawbabilxnsrangrabbhlkcanwnkhunmasungcaepnmakinrabbelkhhnungthungsib chawxiyiptidsrangrabbcanwnxyangaetktanginphasaehiyorkrift sahrbhnungthungsibaelaelkhykkalngtngaethlksibthunghlklan tngaetthithahinkhxngkharhnk ekhhkrrmkhxngchawxiyipt kxnkhristskrach 1500 pi cnthungluffthiparis aesdngcanwn 276 ody 2 aethnthihlkrxy 7 aethnthihlksib 6 aethnthihlkhnwy aeladngechnkarekhiyncanwn 4 622 dwyniyamxyangepnrupny aekikhniyamxyangepnrupnyechingkhnitsastrkhxngcanwnthrrmchatiphthnatlxdchwngprawtisastrodymixupsrrkhbangprakar scphcnkhxngepxaonkahndenguxnikhthiniyamsmburnid txngsxdkhlxng karsrangbangprakaraesdngwaaebbcalxngthangkhnitsastremuxkahndthvsdiest txngmixyu scphcnkhxngepxaon aekikh scphcnkhxngepxaonepnthimakhxngthvsdixyangepnrupnykhxngcanwnthrrmchati scphcnkhxngepxaonmidngni epncanwnthrrmchati thukcanwnthrrmchati a displaystyle a mitwtamhlng ekhiynaethndwy S a displaystyle S a cring aelw S a displaystyle S a khux a 1 displaystyle a 1 immicanwnthrrmchatithitwtamhlngepn S displaystyle S epn fngkchnhnungtxhnung klawkhuxcanwnthrrmchatithitangknmitwtamhlngthitangkn tha a b displaystyle a neq b aelw S a S b displaystyle S a neq S b tha mismbtixyanghnung aela twtamhlngkhxngthuk canwnnbthimismbtinn kmismbtinn aelwthukcanwnthrrmchaticamismbtinn scphcnniyunynwakarphisucnodykarxupnyechingkhnitsastrthuktxng hmayehtu inniyamkhangtnimidhmaythungelkhsunyesmxip hmaythungbangcanwnthisxdkhlxngkbscphcnkhxngepxaon emuxphicarnarwmkb fngkchntwtamhlng tamehmaasm thukrabbthisxdkhlxngkbscphcnehlanismmulkntamrupaebbechingtrrk xyangirktam miaebbcalxngscphcnkhxngepxaonthinbimid sungeriykwaaebbcalxngelkhkhnitaebbimmatrthan aelayunynodyUpward Lowenheim Skolem Theorem chux ichinthinisahrbsmachiktwaerk mikaresnxchux smachiktwthisuny ephuxihich smachiktwaerk eriyk 1 displaystyle 1 ich smachiktwthisxng eriyk 2 displaystyle 2 l sungepnsmachikthiimmitwnahna echncanwnthrrmchatithierimdwy 1 displaystyle 1 ksxdkhlxngscphcn thasylksn thuxepncanwnthrrmchati 1 displaystyle 1 sylksn S 0 displaystyle S 0 thuxepn 2 displaystyle 2 l thicringaelwintnchbbkhxngepxaon canwnthrrmchaticanwnaerkkhux 1 displaystyle 1 karsrangbnphunthanthvsdiest aekikh karsrangmatrthan aekikh karsrangmatrthaninwichathvsdiest epnkrniphiesskhxngkarsrangeriyngladbaebbwxn niwmnn 1 kahndniyamkhxngcanwnthrrmchatidngni kahnd 0 epnestwang aelaniyam S a a a sahrbthukest a S a khuxtwtamhlng a aelaeriyk S wa fngkchntwtamhlng odyscphcnkhxngxnnt estkhxngcanwnthrrmchatithukcanwnmixyu estnikhuxxinetxreskchnkhxngthukestthimismbtipidphayitfngkchntwtamhlng cungsxdkhlxngscphcnkhxngepxaon thukcanwnthrrmchatiethakbestkhxngcanwnthrrmchatithnghmdthinxykwacanwnnn nnkhux 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 2 0 0 0 0 n 0 1 2 n 2 n 1 0 1 2 n 2 n 1 n 1 n 1 S n 1 lxangxing aekikh Von Neumann 1923Edmund Landau Foundations of Analysis Chelsea Pub Co ISBN 0 8218 2693 X Richard Dedekind Essays on the theory of numbers Dover 1963 ISBN 0 486 21010 3 Kessinger Publishing LLC 2007 ISBN 0 548 08985 X N L Carothers Real analysis Cambridge University Press 2000 ISBN 0 521 49756 6 Brian S Thomson Judith B Bruckner Andrew M Bruckner Elementary real analysis ClassicalRealAnalysis com 2000 ISBN 0 13 019075 6 exrik dbebilyu iwssitn Natural Number cakaemthewild duephim aekikhraychuxcanwnaehlngkhxmulxun aekikhAxioms and Construction of Natural Numbers Essays on the Theory of Numbers by Richard Dedekind at Project Gutenberg bthkhwamekiywkbkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title canwnthrrmchati amp oldid 9170483, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม