เมเชอร์ (คณิตศาสตร์)

ในคณิตศาสตร์ เมเชอร์ (อังกฤษ: measure) บนเซตใด ๆ เป็นวิธีการให้ตัวเลขแก่ซับเซตบางตัวของเซตนั้น ซึ่งนิยมตีความว่าตัวเลขนั้นแทนขนาดของเซต ในมุมมองดังกล่าว เมเชอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดเชิงเรขาคณิตอันได้แก่ ความยาว พื้นที่ และปริมาตร ตัวอย่างการนำทฤษฎีเมเชอร์ไปใช้ในสาขาอื่น คือ การที่นักคณิตศาสตร์หลายท่านมองว่าความน่าจะเป็นเหมาะสมเป็นปริมาณเมเชอร์ประเภทหนึ่ง จึงได้ใช้ทฤษฎีเมเชอร์ในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงคณิตศาสตร์ (mathematical probability) (หรือทฤษฎีความน่าจะเป็นยุคใหม่) ขึ้น ก่อให้เกิดความก้าวหน้ากับทฤษฎีความน่าจะเป็นเป็นอย่างมาก

เมเชอร์ เป็นการระบุตัวเลขแก่เซต ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นการระบุขนาดของเซต

จุดเริ่มต้นของการสร้างสาขาทฤษฎีเมเชอร์เพื่อนำไปใช้กับทฤษฎีของปริพันธ์และขยายทฤษฎีปริพันธ์ของรีมันน์ไปยังขอบเขตที่กว้างขึ้น โดยนักคณิตศาสตร์ที่มีส่วนสำคัญในการคิดค้นทฤษฎีเมเชอร์ในยุคแรก ๆ คือ จูเซ็ปเป้ เพียโน กามีย์ ฌอร์ด็อง เอมีล โบเรล และอองรี เลอเบ็ก

นิยามพื้นฐานเกี่ยวกับเมเชอร์

 

สภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ของเมเชอร์: เมเชอร์ของยูเนียนนับได้ จะเท่ากับผลรวมของเมเชอร์ของสับเซตในยูเนียนนั้น

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในทางคณิตศาสตร์ เมเชอร์ จะต้องมีคุณสมบัติ 3 ข้อดังจะอธิบายหยาบ ๆ ต่อไปนี้

1. ไม่ว่าจะวัดวัตถุอะไร ต้องวัดค่าของวัตถุนั้นได้อย่างน้อยที่สุดคือศูนย์ ไม่มีทางได้ค่าลบ
2. สำหรับวัตถุว่างเปล่า (เทียบเท่าเซตว่างในทางคณิตศาสตร์) เราวัดความไม่มีตัวตนนั้นได้ศูนย์
3. เอาวัตถุหลาย ๆ ชิ้นที่ไม่มีส่วนเชื่อมกัน มารวมกันเป็นชิ้นเดียว, ค่าที่วัดได้ของวัตถุชิ้นใหม่นั้นก็คือ ค่าที่วัดได้จากวัตถุแต่ละชิ้น แล้วนำมาบวกกันนั่นเอง

จากคำอธิบายอย่างหยาบข้างต้น นำไปสู่นิยามทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

นิยามอย่างเป็นทางการ

ให้ ${\displaystyle X}$  เป็นเซต และ ${\displaystyle \Sigma }$  เป็นซิกมาแอลจีบราบนเซต ${\displaystyle X}$  นั้น จะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle \mu }$  ที่ส่งค่าจาก ${\displaystyle \Sigma }$  ไปยังเรนจ์ที่เป็นจำนวนจริงขยาย ${\displaystyle [0,\infty ]}$  ว่าเป็น เมเชอร์ (measure) ก็ต่อเมื่อ μ มีสมบัติต่อไปนี้

1. ความไม่เป็นลบ: ทุกค่า E ใน Σ จะต้องได้ว่า ${\displaystyle \mu (E)\geq 0}$ 
2. เซตว่างมีเมเชอร์เท่ากับศูนย์: ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ 
3. ${\displaystyle \mu }$  มีสภาพการบวกแบบอนันต์นับได้ (countable additivity) หรืออาจเรียกว่ามีสภาพการบวกแบบซิกมา (σ-additivity): ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle \left\{E_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$  เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตที่ไม่มีส่วนร่วมเป็นคู่ ๆ ใน ${\displaystyle \Sigma }$  แล้ว
   $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$$

    

เราจะเรียกสามสิ่งอันดับ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นว่า ปริภูมิเมเชอร์ (measurable space) และแต่ละสมาชิกใน ${\displaystyle \Sigma }$  จะถูกเรียกว่าเซตที่หาเมเชอร์ได้ (measurable sets) ในบางครั้งนิยมละการเขียนเมเชอร์ ระบุเพียงแค่ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$  เท่านั้น

ปริภูมิความน่าจะเป็น

ปริภูมิความน่าจะเป็น (Probability space) เป็นปริภูมิเมเชอร์ที่เมเชอร์ของปริภูมิทั้งหมดมีค่าเท่ากับหนึ่ง หรือก็คือ ${\textstyle \mu (X)=1}$  ในกรณีนี้จะเรียกเมเชอร์นั้นว่าเป็นเมเชอร์ความน่าจะเป็น (probability measure)

นอกจากนั้นมักจะใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)}$  แทนปริภูมิความน่าจะเป็น แทนที่จะใช้สัญกรณ์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  เพื่อลดความกำกวมเนื่องจาก ${\displaystyle X}$  มักใช้แทนตัวแปรสุ่ม และใช้ ${\displaystyle \mu }$  แทนค่าเฉลี่ยในทางสถิติและความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้

ให้ ${\displaystyle (X,\Sigma _{X})}$  และ ${\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})}$  เป็นปริภูมิเมเชอร์ แล้วจะเรียกฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  ว่าเป็นฟังก์ชันหาเมเชอร์ได้ (measurable function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพของเซตหาเมเชอร์ได้ใน ${\displaystyle Y}$  เป็นเซตหาเมเชอร์ได้ใน ${\displaystyle X}$  ด้วย หรือก็คือ ${\displaystyle f^{-1}(A)\in \Sigma _{X}}$  สำหรับทุกเซต ${\displaystyle A\in \Sigma _{Y}}$ 

สมบัติที่พิสูจน์ได้จากนิยาม

ให้ ${\displaystyle \mu }$  เป็นเมเชอร์

ความเป็นฟังก์ชันทางเดียว

${\displaystyle \mu }$  มีสมบัติเป็นฟังก์ชันทางเดียว: กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1}}$  และ ${\displaystyle E_{2}}$  เป็นเซตที่หาเมเชอร์ได้ และ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$  แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}$ 

เมเชอร์ของยูเนียนแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$  เป็นลำดับแบบนับได้ของเซตใน ${\displaystyle \Sigma }$  จะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}$ 

นอกจากนั้นเรายังได้ว่า ถ้ากำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$  เป็นเซตใน Σ และ ${\displaystyle E_{n}\subseteq E_{n+1},\forall n\in \mathbb {N} }$ , แล้วจะได้ว่า ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}}$  อยู่ใน ${\displaystyle \Sigma }$  ด้วย และ

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$ 

เมเชอร์ของอินเตอร์เซกชันแบบนับได้ของเซต

กำหนดให้ ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...}$  เป็นเซตใน ${\displaystyle \Sigma }$  และ ${\displaystyle E_{n+1}\subseteq E_{n},\forall n\in \mathbb {N} }$ , แล้วจะได้ว่า ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}}$  อยู่ใน ${\displaystyle \Sigma }$  ด้วย และยิ่งไปกว่านั้น ถ้ามีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$  อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีค่าเมเชอร์จำกัด (${\displaystyle \mu (E_{n})<\infty }$ ) เราจะได้ว่า

${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}$ 

คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงถ้าไม่มีสมาชิก ${\displaystyle E_{n}}$  ใด ๆ เลยที่มีเมเชอร์จำกัด (คือมีค่าเมเชอร์เป็นอนันต์ทุกตัว) ตัวอย่างเช่น ถ้าให้ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }$  สำหรับแต่ละ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  แล้วเราจะได้ว่าทุก ๆ ${\displaystyle E_{n}}$  มีเมเชอร์อนันต์ (ภายใต้เลอเบ็กเมเชอร์) แต่ว่าอินเตอร์เซ็กชันของเซตทั้งหมดมีเมเชอร์เป็นศูนย์

ตัวอย่างของเมเชอร์

• เมเชอร์การนับ นิยามให้ ${\displaystyle \mu (S)}$  เท่ากับจำนวนสมาชิกใน ${\displaystyle S}$ 
• เลอเบ็กเมเชอร์ หรือ เมเชอร์ของเลอเบ็ก เป็นหนึ่งในเมเชอร์ที่สำคัญที่สุด ได้ขยายนิยามความยาวที่เราคุ้นเคย เช่น ความยาวของเซต [0,5] คือ 5 ไปยังเซตอื่น ๆ เช่น ความยาวของเซตตรรกยะในช่วง [0,1] สามารถวัดได้ ด้วยเลอเบ็กเมเชอร์.
• เมเชอร์ความน่าจะเป็น คือ ฟังก์ชันความน่าจะเป็นดังที่กำหนดไว้ในสัจพจน์ของความน่าจะเป็น กล่าวง่าย ๆ เมเชอร์ความน่าจะเป็น ก็คือเมเชอร์หรือเมเชอร์ธรรมดาที่ได้นิยามไว้ในหัวข้อข้างต้น แต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมหนึ่งข้อ คือ เมเชอร์ของเซต X (เซตที่ใหญ่ที่สุด) ต้องมีค่าเท่ากับหนึ่ง
• โบเรลเมเชอร์
• จอร์แดนเมเชอร์

สมบัติเพิ่มเติม

เมเชอร์ซิกมาจำกัด

ปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์จำกัด (finite measure) ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mu (X)}$  เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ปริภูมิเมเชอร์จำกัด ถ้าไม่ใช่ปริภูมิเมเชอร์ศูนย์ จะเสมือนกับเป็นปริภูมิความน่าจะเป็น ทั้งนี้เพราะว่า ${\displaystyle \mu }$  เป็นพหุคูณของเมเชอร์ความน่าจะเป็น ${\textstyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu }$ 

นักคณิตศาสตร์สนใจเงื่อนไขความจำกัดในอีกรูปแบบหนึ่ง ปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  จะเป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure space) ก็ต่อเมื่อสามารถแบ่ง ${\displaystyle X}$  ออกเป็นส่วนย่อยอนันต์นับได้ส่วนที่ไม่มีส่วนร่วมกัน และแต่ละส่วนมีเมเชอร์เป็นจำนวนจริงจำกัดค่า ในกรณีจะเรียก ${\displaystyle \mu }$  ว่าเป็น เมเชอร์ซิกมาจำกัด (σ-finite measure) ตัวอย่างปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด เช่น เซตจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ภายใต้เมเชอร์เลอเบ็กมาตรฐาน เนื่องจากเราสามารถแบ่ง ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ออกเป็นช่วงย่อย ${\displaystyle [k,k+1)}$  ที่ไม่มีส่วนร่วมกัน สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม ${\displaystyle k}$  ได้ และเมเชอร์ของแต่ละส่วนมีค่าเท่ากับ 1

ในทำนองกลับกัน เซต ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ภายใต้เมเชอร์การนับไม่เป็นปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัด ทั้งนี้เพราะว่าเซตที่เมเชอร์น้อยกว่าอนันต์มีเพียงเซตจำกัดเท่านั้น และต้องใช้เซตจำกัดจำนวนอนันต์นับไม่ได้ตัวเพื่อคลุม ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 

ปริภูมิเมเชอร์ซิกมาจำกัดมีสมบัติที่เป็นประโยชน์ในการศึกษา เทียบได้กับสมบัติลินเดอเลิฟของปริภูมิเชิงทอพอโลยี

เมเชอร์บริบูรณ์

ดูบทความหลักที่: เมเชอร์บริบูรณ์

ในปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  เซต ${\displaystyle N\subseteq X}$  จะเป็นเซตนัลล์ (null set) ก็เมื่อ ${\displaystyle \mu (N)=0}$  สับเซตของเซตนัลล์ไม่จำเป็นต้องหาเมเชอร์ได้ แต่ถ้าสับเซต ${\displaystyle M\subseteq N}$  ของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้ แล้ว ${\displaystyle \mu (M)=0}$  โดยอัตโนมัติ จะเรียก ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  ว่าเป็นเมเชอร์บริบูรณ์ (complete measure) ก็ต่อเมื่อ ทุกสับเซตของเซตนัลล์หาเมเชอร์ได้

หากมีปริภูมิเมเชอร์ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$  ใด ๆ (อาจเป็นเมเชอร์บริบูรณ์อยู่แล้วได้) จะสามารถขยายเมเชอร์ดังกล่าวให้เป็นเมเชอร์บริบูรณ์ได้เสมอ

เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

ดูบทความหลักที่: เซตหาเมเชอร์ไม่ได้

หากยอมรับในสัจพจน์ของการเลือก จะสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีสับเซตของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  ที่ไม่สามารถหาเมเชอร์ได้ ตัวอย่างของเซตดังกล่าวเช่น เซตวิตาลี และเซตที่หาเมเชอร์ไม่ได้ที่ปรากฏในปฏิทรรศน์ของเฮาส์ดอร์ฟฟ์และปฏิทรรศน์ของบานาค-ทาร์สกี

ดูเพิ่ม

• เมเชอร์ภายนอก
• ปริพันธ์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ของเลอเบ็ก
• เมเชอร์ผลคูณ

อ้างอิง

• P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
• Kopp and Capinski, Measure, Integration and Probability, 2nd Edition, Springer, 2000.
• D. H. Fremlin, Measure Theory, Torres Fremlin, 2000. Available online at http://www.essex.ac.uk/maths/staff/fremlin/mt.htm
• F. Jones, Lebesgue Integration in Euclidean Spaces, Jones and Barlett Publisher, 1999.