พีชคณิตเชิงเส้น

พีชคณิตเชิงเส้น (Linear algebra) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเวกเตอร์ ปริภูมิเวกเตอร์ (หรืออีกชื่อหนึ่งคือ ปริภูมิเชิงเส้น) การแปลงเชิงเส้น และระบบสมการเชิงเส้น ปริภูมิเวกเตอร์เป็นเรื่องที่ได้รับความสนใจอย่างมากในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เนื่องจากพีชคณิตเชิงเส้นถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในคณิตศาสตร์สองสายหลักคือ พีชคณิตนามธรรมและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน พีชคณิตเชิงเส้นนั้นมีรูปแบบที่ชัดเจนในเรขาคณิตวิเคราะห์ และถูกขยายให้กว้างขึ้นในทฤษฎีตัวดำเนินการ และมีการประยุกต์ใช้อย่างแพร่หลายในวิชาวิทยาศาสตร์และสังคมศาสตร์ เนื่องจากแบบจำลองไม่เชิงเส้น (nonlinear model) ส่วนมากสามารถประมาณการณ์ได้ด้วยแบบจำลองเชิงเส้น (linear model)

การประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นคือการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อมีจำนวนที่ไม่ทราบค่า (ตัวแปร) เท่ากับจำนวนของสมการ ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้น n สมการ สำหรับจำนวนที่ไม่ทราบค่า n ตัว

ประวัติ

ประวัติของ พีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ เริ่มต้นในช่วงยุคปี ค.ศ. 1840 โดยในปี ค.ศ. 1843 วิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) ได้เสนอแนวคิดเรื่อง ควาเทอร์เนียน (quaternion) เพื่อใช้ในการอธิบายกลศาสตร์ในปริภูมิสามมิติ ต่อมาในปี ค.ศ. 1844 เฮอร์มาน กราสมาน (Hermann Grassmann) ได้ตีพิมพ์หนังสือของเขาในชื่อ Die lineale Ausdehnungslehre หลังจากนั้นในปี ค.ศ. 1857 อาเทอร์ เคลเลย์ (Arthur Cayley) ก็ได้เสนอแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ ซึ่งเป็นหนึ่งในพื้นฐานสำคัญของแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้น แม้แนวความคิดเหล่านี้จะถูกนำเสนอตั้งแต่ในช่วงเวลานั้น แต่การพัฒนาพีชคณิตเชิงเส้นอย่างจริงจังนั้นเริ่มต้นในช่วงหลังปี ค.ศ. 1900 และกลายเป็นหัวข้อที่ได้รับการสนใจจากกลุ่มนักคณิตศาสตร์นานาชาติ จนกลายเป็นสมาคม ควาเทอร์เนียน โซไซตี (Quanternion Society (ค.ศ. 1899-1913)) ซึ่งถือเป็น สมาคมคณิตศาสตร์นานาชาติ กลุ่มแรก ๆ โดยสนใจศึกษาแนวความคิดในเรื่อง allied systems of mathematics.

แมทริกซ์ ถูกให้ความหมายไว้ไม่ชัดเจนนักในยุคก่อนหน้าที่จะมีการพัฒนา ทฤษฏีริง (ring theory) ในพีชคณิตนามธรรม (abstract algebra) และด้วยการเข้ามาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ก็ทำให้มีการเพิ่มเติมรายละเอียดของพีชคณิตเชิงเส้นอีกมาก ตัวอย่างเช่นในปี ค.ศ. 1914 ลุดวิค ซิลเบอร์สไตน์ Ludwik Silberstine ได้รวมเอา แมทริกซ์ ไว้เป็นหนึ่งใน List of important publications in physis หลังจากนั้นไม่นาน ในสาขาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ก็ได้นำเอาการประยุกต์ของ Cramer's rule เข้ามาเป็นเครื่องมือในการแก้ปัญหา partial differential equations จนถือได้ว่าเป็นเรื่องปกติ และด้วยเหตุนี้เองจึงได้มีการบรรจุ วิชาพีชคณิตเชิงเส้น เข้าอยู่ในหลักสูตรมาตรฐานของมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ถึงขนาดที่ เอ็ดวาร์ด โทมัส คอบสัน Edward Thomas Copson ได้เขียนเอาไว้ว่า

When I went to Edinburgh as a young lecturer in 1922, I was surprised to find how different the curriculum was from that at Oxford. It included topics such as Lebesgue integration, matrix theory, numerical analysis, Riemannian geometry, of which I knew nothing...

ฟรานซิส กาลทัน (Francis Galton) ได้เริ่มต้นใช้ สัมประสิทธิ์สัมพัทธ์ (correlation coefficients) ในปี ค.ศ. 1888 ซึ่งโดยปกติแล้วจะใช้กับ random variable ที่มากกว่าหนึ่งตัวและในบางทีก็เป็นการสัมพัทธ์แบบข้ามกันไปมา (cross-correlation) นอกจากนี้ในสาขาวิชา statistical analysis ที่เกี่ยวกับ multivariate random variables แล้วเครื่องมืออย่าง correlation matrices นับได้ว่าเป็นเครื่องมือจำเป็นและเหมาะสมมาก ดังนั้นในการศึกษาทางสถิติและการใช้ random vectors จึงเป็นตัวอย่างหนึ่งที่ช่วยให้เห็นความสำคัญของการใช้ประโยชน์จากแมทริกซ์ได้อย่างชัดเจน

การพัฒนาในช่วงหลัง จะเป็นการนำเอาแนวความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ (vector space) เข้าไปอยู่ใน โครงสร้างเชิงพีชคณิต (algebraic structure) และใช้เพื่อขยายแนวคิดของ functional analysis

แนะนำพื้นฐาน

พีชคณิตเชิงเส้นมักจะเริ่มจากการศึกษาเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 2 และ 3 มิติ ซึ่งเวกเตอร์ในที่นี้ คือ ส่วนของเส้นที่มีทิศทางกำกับ โดยปกติแล้วจะถูกเขียนในรูปแบบของขนาด และ ทิศทาง เวกเตอร์สามารถถูกใช้เพื่อเป็นตัวแทนขององค์ประกอบในทางฟิสิกส์เช่น แรง และเวกเตอร์เหล่านี้สามารถบวกเข้าด้วยกันได้ และสามารถคูณด้วยสเกลาร์ได้ ซึ่งทำให้เราได้ตัวอย่างของปริภูมิเวกเตอร์ของจำนวนจริง

พีชคณิตสมัยใหม่ ได้รับการขยายแนวความคิดเพื่อพิจารณาระบบปริภูมิใด ๆ หรือ infinite dimension ปริภูมิเวกเตอร์ของปริภูมิขนาด n ถูกเรียกว่า n-space ซึ่งคุณสมบัติโดยส่วนใหญ่ของ 2 หรือ 3-space สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้ อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถที่จะมองเห็นภาพของเวกเตอร์ใน n มิติได้ ดังนั้นการเขียนเวกเตอร์ในลักษณะที่มีองค์ประกอบ n ตัวจึงง่ายกว่าในการเขียนและการเข้าใจ เนื่องการการเขียนเวกเตอร์ที่มีลักษณะ n ตัวเรียงกัน และมีลำดับที่ชัดเจน ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะ บวก หรือ จัดการกับข้อมูลได้อย่างมีประสิทธิภาพภายในส่วนของข้อมูลในมิตินั้น ๆ

อ้างอิง

1. Strang, G. 1980. Linear algebra and its Aplications. Second edition. New York: Academic Press. ISBN 0-12-673660-X.
2. E.T. Copson, Preface to Partial Differential Equations, 1973

แหล่งข้อมูลอื่น

• วีดิทัศน์การบรรยายวิชาพีชคณิตเชิงเส้น จากสถาบันเทคโนโลยีแมสซาชูเซตส์ (อังกฤษ)
• เครื่องคิดเลขพีชคณิตเชิงเส้น (อังกฤษ)
• เครื่องคิดเลขพีชคณิตเชิงเส้น: คูณ หาอินเวอร์ส หาค่าไอเกนของแมทริกซ์ (อังกฤษ)
• พีชคณิตเชิงเส้น จากแมธเวิร์ล. (อังกฤษ)
• บทนำพีชคณิตเชิงเส้น และ สรุปสัญลักษณ์ทางพีชคณิตเชิงเส้น จาก แพลเน็ตแมธ (อังกฤษ)
• พีชคณิตเชิงเส้น โดย เอลเมอร์ จี. เวนส์ (อังกฤษ)
• ปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นพร้อมเฉลย (อังกฤษ)
• พีชคณิตเชิงเส้นสำหรับเทคโนโลยีสารสนเทศ (อังกฤษ)