แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน

แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน (เยอรมัน: Hermann Günther Graßmann) เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบปี

แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
เกิด	15 เมษายน ค.ศ. 1809(1809-04-15) ชเต็ททีน จังหวัดพอเมอเรเนีย ราชอาณาจักรปรัสเซีย (ปัจจุบันคือชแชตชินในโปแลนด์)
เสียชีวิต	26 กันยายน ค.ศ. 1877 (68 ปี) ชเต็ททีน จังหวัดพอเมอเรเนีย จักรวรรดิเยอรมัน
ศิษย์เก่า	มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน

ประวัติ

กรัสมัน เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของยุสทุส กึนเทอร์ กรัสมัน (Justus Günter Graßmann) ยุสทุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเต็ททีน (Stettin Gymnasium) และแฮร์มันก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันมักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท (Robert)

กรัสมันเป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในปรัสเซีย (Preußen) เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเต็ททีนเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเต็ททีนเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสมันเริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเต็ททีน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยมศึกษา

กรัสมันค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยมศึกษา แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเต็ททีน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเต็ททีน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของปรัสเซียหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอ็นสท์ คุมเมอร์ (Ernst Kummer) ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสมันมีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ทำให้กรัสมันหมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสมัน

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848–1849 แฮร์มันและโรแบร์ท กรัสมัน ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเต็ททีนเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

กรัสมันมีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มัน แอ็นสท์ กรัสมัน (Hermann Earnst Graßmann) ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีเซิน

นักคณิตศาสตร์

กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา A1 และ A2 (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่ (Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik) [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง Ausdehnungslehre, ซึ่งแปลว่า ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้

คำนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)... เริ่มเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางช่วงปี ค.ศ. 1920 เมื่อแฮร์มัน ไวล์ (Hermann Weyl) และคนอื่น ๆ ได้ตีพิมพ์คำนิยามอย่างเป็นทางการ แท้จริงแล้ว เปอาโน (Peano) เคยให้คำนิยามแบบนี้เมื่อสามสิบปีก่อน เปอาโนคุ้นเคยกับงานทางคณิตศาสตร์ของกรัสมันเป็นอย่างดี กรัสมันไม่ได้ให้คำนิยามอย่างเป็นทางการไว้ แต่ไม่ต้องสงสัยว่าเขามีกรอบความคิดนั้น

เริ่มต้นด้วยกลุ่มของสมาชิกที่เรียกว่า "หน่วย" (unit) e₁, e₂, e₃, ..., เขานิยามปริภูมิเชิงเส้นอิสระที่พวกมันทำให้เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ พูดได้ว่าเขาพิจารณาถึงการจัดหมู่เชิงเส้นอย่างเป็นทางการ a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ + ... โดยที่ a_j เป็นจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริง [การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นเรื่องธรรมดาในปัจจุบัน] และพิสูจน์คุณสมบัติของปริภูมิเชิงเส้นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้อย่างเป็นทางการ ... จากนั้นเขาก็พัฒนาทฤษฎีของความเป็นอิสระเชิงเส้น (linear independence) ในแนวทางเดียวกับการนำเสนอที่เราพบในตำราพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ไว้อย่างน่าอัศจรรย์ เขานิยามกรอบความคิดของปริภูมิย่อย (subspace), ความเป็นอิสระเชิงเส้น, ส่วนขยายเชิงเส้น (linear span), มิติ, การเชื่อมและการต่อ (join and meet) ของปริภูมิย่อย และการแตกส่วนย่อย (projection) ของสมาชิกลงบนปริภูมิย่อย

...น้อยคนนักที่เข้าใกล้การสร้างวิชาใหม่เพียงลำพังมากกว่าแฮร์มัน กรัสมัน

ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน A1 ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย (äußeres Produkt หรือ kombinatorisches Produkt) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน e_pe_p = 0 ด้วยกฎ e_pe_p = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ i² = j² = k² = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)

A1 เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส (August Ferdinand Möbius) พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า (Neue Theorie der Elektrodynamik) และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า แบบโครงสร้างการวิเคราะห์ (analysis situs) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน (Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik) เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย (Ausdehnungslehre) และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ A1 ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น (Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet) ที่เรียกว่า A2 มีอาการก็ไม่ดีกว่า A1 แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ A2 ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20

การยอมรับ

นักคณิตศาสตร์คนแรก ๆ ที่ชื่นชมความคิดของกรัสมันตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มัน ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน (Theorie der complexen Zahlensysteme) เมื่อปี ค.ศ. 1867

... ได้พัฒนาบางส่วนของพีชคณิตของกรัสมัน และบางส่วนของควอเทอร์เนียน (quaternion) ของฮามิลทัน ฮานเคิลเป็นคนแรกที่รู้ถึงความสำคัญของงานเขียนของกรัสมันที่ถูกทอดทิ้งมายาวนาน ...

เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิคทอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ (System der Raumlehre) ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสมันเพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิคส์ ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสมัน ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสมัน คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเงิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสมันได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของเอ.เอ็น. ไวต์เฮด (A. N. Whitehead) เรื่องพีชคณิตครอบจักรวาล (Universal Algebra) เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซฺทีเรียร์อัลจีบรา) ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสมันทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดู ถนนสู่ความจริง (The Road to Reality) โดยรอเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌ็อง โกลด บาเร เดอ แซ็ง-เวอน็อง (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสมัน เขาจึงโต้เถียงกับกรัสมันว่าใครคิดได้ก่อน กรัสมันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็ง-เวอน็องอ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

นักภาษาศาสตร์

ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสมันหันไปทางภาษาศาสตร์เชิงประวัติ (historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงได้รับการตีพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของตระกูลภาษาอินโด-ยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสมัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทัล (American Oriental Society) เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบิงเงิน ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

ดูเพิ่ม

• สัญกรณ์บรา-เค็ท
• Grassmann number
• Grassmannian
• Grassmann's law
• Grassmann's law (optics)

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ

• A1: 1844. Die lineale Ausdehnungslehre. Leipzig: Wiegand. English translation, 1995, by Lloyd Kannenberg, A new branch of mathematics. Chicago: Open Court.
• 1847. Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik.. Available on quod.lib.umich.edu
• 1861. Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1. Berlin: Enslin.
• A2: 1862. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form begründet.. Berlin: Enslin. English translation, 2000, by Lloyd Kannenberg, Extension Theory. American Mathematical Society.
• 1873. Wörterbuch zum Rig-Veda. Leipzig: Brockhaus.
• 1876–1877. Rig-Veda. Leipzig: Brockhaus. Translation in two vols., vol. 1 published 1876, vol. 2 published 1877.
• 1894–1911. Gesammelte mathematische und physikalische Werke, in 3 vols. Friedrich Engel ed. Leipzig: B.G. Teubner. Reprinted 1972, New York: Johnson.

แหล่งข้อมูลทุติยภูมิ

• Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis, Notre Dame University Press.
• Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra," American Mathematical Monthly 86: 809–17.
• Fearnley-Sander, Desmond, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," Am. Math. Monthly 89: 161–66.
• Fearnley-Sander, Desmond, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry ". Automated Deduction in Geometry: 141–70
• Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
• Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf.
• Petsche, Hans-Joachim, 2006. Graßmann (Text in German). (Vita Mathematica, 13). Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim, 2009. Hermann Graßmann – Biography. Transl. by M Minnes. Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta (eds.), 2009. Hermann Graßmann – Roots and Traces. Autographs and Unknown Documents. Text in German and English. Basel: Birkhäuser.
• Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.), 2010. From Past to Future: Graßmann's Work in Context. The Graßmann Bicentennial Conference, September 2009. Basel: Springer Basel AG.
• Petsche, Hans-Joachim and Peter Lenke (eds.), 2010. International Grassmann Conference. Hermann Grassmann Bicentennial: Potsdam and Szczecin, 16–19 September 2009; Video Recording of the Conference. 4 DVD's, 16:59:25. Potsdam: Universitätsverlag Potsdam.
• Rowe, David E. (2010) "Debating Grassmann's Mathematics: Schlegel Versus Klein", Mathematical Intelligencer 32 (1) :41-8.
• Victor Schlegel (1878) Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke on the Internet Archive.
• Schubring, G., ed., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809–1877) : visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.

• Paola Cantù: La matematica da scienza delle grandezze a teoria delle forme. L’Ausdehnungslehre di H. Grassmann [Mathematics from Science of Magnitudes to Theory of Forms. The Ausdehnungslehre of H. Grassmann]. Genoa: University of Genoa. Dissertation, 2003, s. xx+465.

ข้อมูลอ้างอิงในเอกสารสิทธิบัตร

1. Tr. The rulers extension theory, a new branch of mathematics
2. Tr. Expansion plan teachings
3. Tr. outer product
4. Tr. combinatorial product
5. Tr. New theory of electrodynamics
6. Tr. Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz
7. Hankel entry in the Dictionary of Scientific Biography. New York: 1970–1990
8. Rowe 2010
9. Penrose The Road to Reality, chapters 11 & 2
10. Tr. "The rulers extension theory"
11. Tr. "Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz"
12. Tr. "Higher mathematics for schools , Volume 1"
13. Tr. "Dictionary of the Rig-Veda"
14. Tr. "Collected mathematical and physical works"

แหล่งข้อมูลอื่น

• The MacTutor History of Mathematics archive:
  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  • Abstract Linear Spaces. Discusses the role of Grassmann and other 19th century figures in the invention of linear algebra and vector spaces.
• Fearnley-Sander's home page.
• Grassmann Bicentennial Conference (1809 – 1877), September 16 – 19, 2009 Potsdam / Szczecin (DE / PL): From Past to Future: Grassmann's Work in Context
• "The Grassmann method in projective geometry" A compilation of English translations of three notes by Cesare Burali-Forti on the application of Grassmann's exterior algebra to projective geometry
• C. Burali-Forti, "Introduction to Differential Geometry, following the method of H. Grassmann" (English translation of book by an early disciple of Grassmann)
• "Mechanics, according to the principles of the theory of extension" An English translation of one Grassmann's papers on the applications of exterior algebra

[[วิกิพีเดีย:|ข้อมูลบุคคล]]
ชื่อ	Grassmann, Hermann}
ชื่ออื่น	Hermann Graßmann
รายละเอียดโดยย่อ
วันเกิด	April 15, 1809
สถานที่เกิด	Stettin (Szczecin)
วันตาย	September 26, 1877
สถานที่ตาย	Stettin