ฟีลด์

ในคณิตศาสตร์ ฟีลด์คือเซตที่สามารถนิยามการบวก ลบ คูณ และหารได้ และสามารถดำเนินการเหล่านั้นได้เหมือนกับจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง ฟีลด์จึงมักถือว่าเป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตพื้นฐาน ซึ่งมักจะถูกใช้ในพีชคณิต, ทฤษฎีจำนวน และคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ

ฟีลด์ที่รู้จักกันดีที่สุดคือ ฟีลด์จำนวนตรรกยะและฟีลด์จำนวนจริง ฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนก็ใช้กันมากเช่นกัน ไม่เฉพาะแค่ในคณิตศาสตร์ แต่ในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมหลายสาขาเช่นกัน ฟีลด์อื่น ๆ มากมาย เช่น ฟีลด์ของฟังก์ชันตรรกยะ ฟีลด์ฟังก์ชันพีชคณิต ฟีลด์ตัวเลขพีชคณิต ก็มักจะถูกใช้และศึกษาในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

นิยาม

โดยสังเขปแล้ว ฟีลด์คือเซตที่มีฟังก์ชันสองตัวถูกกำหนดบนเซตนั้น ฟังก์ชันการบวกเขียนด้วยสัญลักษณ์ a + b ฟังก์ชันการคูณเขียนด้วยสัญลักษณ์ a ⋅ b ฟังก์ชันทั้งสองมีคุณสมบัติเหมือนกับที่อยู่ในจำนวนตรรกยะและจำนวนจริง รวมไปถึงการมีตัวผกผันการบวก −a สำหรับสมาชิก a ทั้งหมด และตัวผกผันการคูณ b⁻¹ สำหรับสมาชิก b ที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด นี่ทำให้เราเห็นสิ่งที่เรียกว่าตัวดำเนินการผกผัน ซึ่งก็คือการลบ a − b และการหาร a / b โดยการนิยามว่า

a − b = a + (−b),

a / b = a · b⁻¹.

ตัวอย่าง

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะถูกใช้อย่างกว้างขวางก่อนที่จะมีการใช้คำว่าฟีลด์อย่างจริงจัง จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของเศษส่วน a/b, โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0. ตัวผกผันการบวกของฟังก์ชันดังกล่าวคือ −a/b, และตัวผกผันการคูณของเศษส่วนดังกล่าวคือ b/a (ถ้า a ≠ 0)