เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

 เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: Algebraic geometry) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

พื้นผิวตอกเกลียตติ (Togliatti surface) เป็นพื้นผิวพีชคณิตที่มีดีกรีเท่ากับห้า รูปนี้จำลองส่วนหนึ่งของโลคัสค่าจริงของพื้นผิวดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐาน

รากของระบบพหุนาม

 

ทรงกลมและวงกลมเอียง

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R³ เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R³ ทั้งหมดที่ทำให้

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}$ 

อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R³ ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

${\displaystyle {\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\\x+y+z=0\end{cases}}}$ 

วาไรตีเชิงพีชคณิต

ดูบทความหลักที่: วาไรตีเชิงพีชคณิต

วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี V เหนือ Rⁿ (หรือ Cⁿ) เป็นเซตของจุด (x₁,...,x_n) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม f_i (x₁,...,x_n) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2 วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต

ดูบทความหลักที่: เซตเชิงพีชคณิต

ให้ ${\displaystyle k}$  เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ ${\displaystyle k}$  มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}(k)}$  (บางครั้งเขียน ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  เมื่อ ${\displaystyle k}$  ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}(k)}$  แล้ว ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}(k)}$  จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle k^{n}}$  เหตุผลที่เราไม่พิจารณา ${\displaystyle k^{n}}$  โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า ${\displaystyle k^{n}}$  มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbf {A} ^{n}\to \mathbf {A} ^{1}}$  จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม ${\displaystyle p\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle f(M)=p(t_{1},\dotsc ,t_{n})}$  สำหรับทุกจุด ${\displaystyle M}$  ที่มีพิกัด ${\displaystyle (t_{1},\dotsc ,t_{n})}$  ใน ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน ${\displaystyle k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$  ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย ${\displaystyle k[\mathbf {A} ^{n}]}$ 

ให้ ${\displaystyle S}$  เป็นเซตของพหุนามใน ${\displaystyle k[\mathbf {A} ^{n}]}$  เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต ${\displaystyle V(S)}$  ของจุดทั้งหมดใน ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน ${\displaystyle S}$  เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}}$ 

จะเรียกสับเซต ${\displaystyle W}$  ใด ๆ ของ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก ${\displaystyle W}$  สามารถเขียนได้ในรูป ${\displaystyle V(S)}$  สำหรับบางเซต ${\displaystyle S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}]}$ 

ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต

เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต ${\displaystyle W}$  ใด ๆ ของ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  มา สามารถหาเซตของพหุนาม ${\displaystyle S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}]}$  ที่ก่อกำเนิด ${\displaystyle W}$  (หรือก็คือ ${\displaystyle V(S)=W}$ ) ได้หรือไม่

นิยามเซต ${\displaystyle I(W)}$  แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี ${\displaystyle W}$  เป็นสับเซต สัญลักษณ์ ${\displaystyle I}$  มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$ 

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

• กำหนดเซต ${\displaystyle W\subseteq \mathbf {A} ^{n}}$  ใด ๆ เมื่อไรที่ ${\displaystyle W=V(I(W))}$ 
• กำหนดเซตของพหุนาม ${\displaystyle S}$  เมื่อไรที่ ${\displaystyle S=I(V(S))}$ 

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ ${\displaystyle k[\mathbf {A} ^{n}]}$  แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle W=V(I(W))}$  ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle W}$  เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า ${\displaystyle I(V(S))}$  เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย ${\displaystyle S}$  ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน ${\displaystyle k[\mathbf {A} ^{n}]}$  และเซตเชิงพีชคณิตใน ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$  เป็นอย่างเดียวกัน

วาไรตีสัมพรรค

ดูบทความหลักที่: วาไรตีสัมพรรค

เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ ${\displaystyle I}$  ของ ${\displaystyle k[\mathbf {A} ^{n}]}$  ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล ${\displaystyle I}$ 

ประวัติ

คริสต์ศตวรรษที่ 20

วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

อ้างอิง

1. Drton, Mathias (2009). Lectures on algebraic statistics. Bernd Sturmfels, Seth Sullivant. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8905-5. OCLC 405547762.
2. Cutkosky, Steven Dale (2018). Introduction to algebraic geometry. Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-4670-3. OCLC 1039613757.

ดูเพิ่ม

• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9. OCLC 2798099.
• Cutkosky, Steven Dale (2018). Introduction to Algebraic Geometry. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 9781470435189.
• Reid, Miles (1988). Undergraduate Algebraic Geometry (PDF). Cambridge University Press: Cambridge University Press. ISBN 9781139163699.
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry โดย Ravi Vakil
• The Stacks Project หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต