ทอพอโลยี

ทอพอโลยี (อังกฤษ: Topology, มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ที่สนใจเกี่ยวกับคุณสมบัติทางรูปร่างของวัตถุต่าง ๆ ที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี บางครั้งจึงนิยมเรียกทอพอโลยีว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง"

การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท ในทางทอพอโลยี วัตถุทั้งสองเป็นวัตถุที่สมาณสัณฐานกัน และสามารถบีบอัดรูปร่างของวัตถุหนึ่งไปยังอีกวัตถุหนึ่งได้ โดยไม่ต้องตัดหรือฉีกรูปทรงให้ขาด

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี เป็นการกำหนดคุณสมบัติของเซตให้สามารถดำเนินการดึง ยืด หด จุดต่าง ๆ ภายในเซตนั้นได้ ซึ่งการกำหนดคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีให้กับเซต จะเปลี่ยนเซตดังกล่าวให้เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ทำให้เราสามารถศึกษาฟังก์ชันที่คงสภาพความเป็นทอพอโลยีที่เรากำหนดไว้ได้

ทอพอโลยีในปัจจุบันเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ถูกศึกษากันอย่างกว้างขวาง โดยมีการประยุกต์สาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น พีชคณิตนามธรรม เข้ามาร่วมด้วย และทอพอโลยียังถูกนำไปประยุกต์กับคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ เช่น ตรรกศาสตร์

ประวัติ

 

แถบโมบิอุสเป็นวัตถุที่มีผิวเดียวและขอบเดียว เป็นตัวอย่างหนึ่งของวัตถุที่ถูกศึกษาในทอพอโลยี

ตัวสาขาทอพอโลยีที่ศึกษากันในปัจจุบันมีจุดเริ่มต้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 แต่ทฤษฎีบทบางประการเป็นที่รู้กันมาก่อนหน้านี้แล้ว เรอเน เดการ์ต ค้นพบคุณสมบัติพื้นฐานทางทอพอโลยีของทรงหลายหน้าในเรขาคณิต ประมาณปี ค.ศ. 1630 แต่บทความดังกล่าวได้หายสาบสูญไป คุณสมบัติพื้นฐานอย่างเดียวกันนั้นถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อ สมการของออยเลอร์สำหรับทรงหลายหน้า ซึ่งกล่าวว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีจำนวนจุดยอดเท่ากับ V จำนวนขอบเท่ากับ E และจำนวนหน้าเท่ากับ F จะสอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle V-E+F=2}$ 

มีผู้ให้ความเห็นว่าทฤษฎีบทข้างต้นเป็นหนึ่งในทฤษฎีบทแรกเริ่มของวิชาทอพอโลยี อีกปัญหาที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นทฤษฎีบทแรก ๆ ของวิชาทอพอโลยี คือ ปัญหาสะพานทั้งเจ็ดแห่งเมืองเคอนิชส์แบร์ค ซึ่งเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาและตีพิมพ์ผลลัพธ์ในปี ค.ศ. 1736

นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาทอพอโลยีในสมัยต่อมาดังเช่น โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี, ลุดวิก ชเลฟลี, โยฮันน์ เบเนดิกต์ ลิสติง, แบร์นฮาร์ท รีมัน และ เอนริโก เบตติ งานของนักคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่กล่าวไป ได้รับการตรวจสอบและเพิ่มเติมอย่างมากโดย อ็องรี ปวงกาเร และในปี ค.ศ. 1895 ปวงกาเรได้ตีพิมพ์บทความสำคัญที่ให้กำเนิดสาขาทอพอโลยีชื่อ Analysis Situs หรือ การวิเคราะห์เชิงตำแหน่ง ในวารสารนั้นปวงกาเรได้พัฒนาแนวคิดเรื่อง ฮอมอโทปี, กรุปมูลฐาน และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน ซึ่งเป็นที่มาของวิชา ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

มอริซ เฟรเชต์ ให้นิยาม ปริภูมิเมตริก เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1906 และในปี ค.ศ. 1914 เฟลิซ เฮาส์ดอร์ฟ เป็นคนแรกที่ให้ชื่อ ปริภูมิเชิงทอพอโลยี และนิยามปริภูมิที่ในปัจจุบันเราเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามปริภูมิเชิงทอพอโลยีในปัจจุบันขยายนัยทั่วไปกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและนิยามโดย กาซีมีแยช กูราตอฟสกี ในปี ค.ศ. 1922

สาขาย่อยของทอพอโลยี

ทอพอโลยีทั่วไป

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีทั่วไป

ทอพอโลยีทั่วไป (General topology) เป็นสาขาหลักของทอพอโลยี ซึ่งให้นิยามวัตถุพื้นฐานในทอพอโลยีผ่านทฤษฎีเซต และเป็นที่ประยุกต์ใช้ในทอพอโลยีสาขาอื่น หัวข้อที่ศึกษาในทอพอโลยีทั่วไปเช่น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ฟังก์ชันสมานสัณฐาน เป็นต้น ส่วนทฤษฎีพื้นฐานเช่น บทตั้งของอูรีซอห์น และ ทฤษฎีบทของไทโคนอฟ

เนื่องจากบทนิยามพื้นฐานของวัตถุในทอพอโลยีนิยามผ่านจุดและเซต จึงนิยมเรียกทอพอโลยีทั่วไปว่า ทอพอโลยีจุด-เซต (Point-set topology)

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต

ทอพอโลยีเชิงพีชคณิต (Algebraic topology) เป็นการประยุกต์ใช้เครื่องมือจาก พีชคณิตนามธรรม เพื่อศึกษาปริภูมิเชิงทอพอโลยี แนวคิดสำคัญคือการพยายามหาตัวยืนยง (invariant) สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อที่จะจำแนกปริภูมิเชิงทอพอโลยี ตัวยืนยงที่สำคัญคือ กรุปหลักมูล และ กรุปโฮโมโลยี

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต

ทอพอโลยีเชิงเรขาคณิต (Geometric topology) เป็นการศึกษา แมนิโฟลด์ และการส่งระหว่างแมนิโฟลด์ สาขาหนึ่งของทอพอโลยีเชิงเรขาคณิตที่เป็นที่สนใจคือ ทอพอโลยีในมิติต่ำ (Low-dimensional topology) ซึ่งรวมหัวข้อย่อยเช่น ทฤษฎีเงื่อน

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ดูบทความหลักที่: ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์ (Differential topology) ศึกษาโครงสร้างเชิงทอพอโลยีของแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้

แนวคิดสำคัญในทอพอโลยี

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

ดูบทความหลักที่: ปริภูมิเชิงทอพอโลยี

คำว่า ทอพอโลยี ในความหมายว่า ทอพอโลยีบน ${\displaystyle X}$  ยังหมายถึงแฟมิลีของสับเซตของเซต ${\displaystyle X}$  ที่ถูกกำหนดให้เป็นเซตเปิด

ให้ ${\displaystyle X}$  เป็นเซต และ ${\displaystyle \tau }$  เป็นแฟมิลีของสับเซตของ ${\displaystyle X}$  เราจะกล่าวว่า ${\displaystyle \tau }$  เป็นทอพอโลยีบน ${\displaystyle X}$  เมื่อ

1. เซตว่าง และ เซต ${\displaystyle X}$  เป็นสมาชิกของ ${\displaystyle \tau }$ 
2. ยูเนียนใด ๆ ของเซตใน ${\displaystyle \tau }$  จะเป็นสมาชิกของ ${\displaystyle \tau }$  หรือกล่าวอีกอย่างว่า ${\displaystyle \tau }$  มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
3. อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน ${\displaystyle \tau }$  เป็นสมาชิกของ ${\displaystyle \tau }$ 

ถ้า ${\displaystyle \tau }$  เป็นทอพอโลยีบน ${\displaystyle X}$  เราจะเรียก ${\displaystyle (X,\tau )}$  ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี (ในหลายครั้งเราจะละ ${\displaystyle \tau }$  ไว้แล้วกล่าวว่า ${\displaystyle X}$  เป็นปริภมิเชิงทอพอโลยี) สมาชิกใน ${\displaystyle \tau }$  จะเรียกว่าเป็น เซตเปิด (open set) ใน ${\displaystyle X}$  เซตที่เป็นคอมพลิเมนต์ของเซตเปิดใน ${\displaystyle X}$  จะเรียกว่า เซตปิด (closed set) สังเกตว่าสับเซตของ ${\displaystyle X}$  ตัวใดอาจเป็นเซตเปิด, เซตปิด, เซตเปิดและปิด หรือไม่เป็นทั้งสองอย่างพร้อมกัน สมบัติความเป็นเซตเปิดและความเป็นเซตปิดไม่ได้เป็นนิเสธของกันและกัน

ฟังก์ชันต่อเนื่องและฟังก์ชันสมานสัณฐาน

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันต่อเนื่อง และ ฟังก์ชันสมานสัณฐาน

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี ${\displaystyle (X,\tau )}$  และ ${\displaystyle (Y,\omega )}$  จะเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (continuous function) ก็ต่อเมื่อบุพภาพ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$  ของเซตเปิด ${\displaystyle U\in \omega }$  ใด ๆ เป็นเซตเปิดด้วย (นั่นคือ ${\displaystyle f^{-1}(U)\in \tau }$ ) นิยามข้างต้นสมมูลกับนิยามฟังก์ชันต่อเนื่องทั่ว ๆ ไปบนเซตของจำนวนจริง เมื่อ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$  และทอพอโลยีที่กำหนดให้บน ${\displaystyle \mathbb {R} }$  เป็นทอพอโลยีมาตรฐาน

ในกรณีที่ ${\displaystyle f}$  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และอินเวอร์สของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย จะเรียก ${\displaystyle f}$  ว่าเป็นฟังก์ชันสมานสัณฐาน (homeomorphism) ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสองอันใด ๆ ที่มีฟังก์ชันสมาณสัณฐานระหว่างกัน จะมีคุณสมบัติทางทอพอโลยีเหมือนกัน

อ้างอิง

1. Stillwell, p. 469
2. Richeson 2008, p. 63; Aleksandrov 1969, p. 204

• Stillwell, John. Mathematics and Its history (3. ed.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-2632-5.
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", ใน Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A. (บ.ก.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd ed.), The M.I.T. Press
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press

แหล่งข้อมูลอื่น

• Munkres, J.R., Topology: A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.
• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
• An invitation to Topology Planar Machines' web site
• Geometry and Topology Index, MacTutor History of Mathematics archive
• ODP category
• The Topological Zoo by the Geometry Center at the University of Minnesota
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
• Topology Glossary