ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ σφαῖρα, sphaîra) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง r เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า r เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฎขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ
ทรงกลม | |
---|---|
ภาพฉายของทรงกลมลงเป็นสองมิติ | |
ชนิด | |
2 | |
4πr2 | |
ปริมาตร | 43πr3 |
ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์
สมการของทรงกลม
ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (x0, y0, z0) และรัศมี r คือ (x, y, z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็น ซึ่งเป็นประเภทหนึ่ง
ให้ a, b, c, d, e เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง a ≠ 0 และกำหนด
แล้วจะได้ว่าสมการ
ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ คือจุด และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ สมการ เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ และมีรัศมีเท่ากับ
ถ้า a ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่
สมบัติของทรงกลม
ปริมาตร
ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ
เมื่อ r คือรัศมี และ d คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น
เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้ (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคุลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม
พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r คือ
อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่
ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด
สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ
ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน
หมายเหตุและอ้างอิง
หมายเหตุ
อ้างอิง
- Chisholm, Hugh, บ.ก. (1911). . สารานุกรมบริตานิกา ค.ศ. 1911. Vol. 25 (11 ed.). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. pp. 647–648.
- Albert 2016, p. 54.
- Woods 1961, p. 266.
- Steinhaus 1969, p. 223.
- "The volume of a sphere – Math Central". mathcentral.uregina.ca. สืบค้นเมื่อ 2019-06-10.
- เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Sphere" จากแมทเวิลด์.
- Steinhaus 1969, p. 221.
- Osserman, Robert (1978). "The isoperimetric inequality". Bulletin of the American Mathematical Society. 84 (6): 1187. doi:10.1090/S0002-9904-1978-14553-4. สืบค้นเมื่อ 14 December 2019.
- Albert 2016, p. 60.
ดูเพิ่ม
- Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN .
- Dunham, William (1997). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. New York: Wiley. pp. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN .
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: , ISBN .
- Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press.
- Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
- John C. Polking (1999-04-15). "The Geometry of the Sphere". www.math.csi.cuny.edu. สืบค้นเมื่อ 2022-01-21.