การวิเคราะห์เชิงซ้อน

การวิเคราะห์เชิงซ้อน (อังกฤษ: Complex analysis) หรืออีกชื่อหนึ่งคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (อังกฤษ: Theory of functions of a complex variable) เป็นสาขาของคณิตวิเคราะห์ที่ศึกษาฟังก์ชันของจำนวนเชิงซ้อน การวิเคราะห์เชิงซ้อนมีประยุกต์ใช้ในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์มากมาย เช่น เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ทฤษฎีจำนวน คอมบินาทอริกส์เชิงวิเคราะห์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในฟิสิกส์มีการใช้ความรู้ทางการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพื่อแก้ปัญหาใน กลศาสตร์ของไหล เทอร์โมไดนามิกส์ และ ฟิสิกส์ควอนตัม

กราฟลงสีของฟังก์ชัน
f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i) ²/x² + 2 + 2i
สีสันแทนค่าอาร์กิวเมนต์ และความสว่างแทนขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันที่นิยมศึกษาในสาขาการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือ ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ทุกจุดในโดเมน และสามารถประมาณค่าได้ด้วยอนุกรมเทย์เลอร์รอบจุดนั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันจึงเป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์

ประวัติ

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นสาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่มีมาอย่างยาวนานตั้งแต่ศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์สำคัญที่มีผลงานในสาขานี้เช่น เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ แบร์นฮาร์ท รีมันน์ โอกุสแต็ง-หลุยส์ โคชี คาร์ล ไวเออร์ชตราส และ ลาร์ส อาห์ลฟอร์ส ตลอดจนนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 คนอื่น ๆ

บทประยุกต์สำคัญของการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือใช้ในระบบพลวัตเชิงซ้อน ซึ่งเป็นการพิจารณาระบบพลวัตของฟังก์ชันเชิงซ้อน และภาพแฟรกทัลที่เกิดขึ้นจากระบบพลวัติเชิงซ้อนนั้น ในทางทฤษฎีจำนวน การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นเครื่องมือสำคัญของทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ โดยผ่านฟังก์ชันในการวิเคราะห์เชิงซ้อนรูปแบบหนึ่งซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันมอดุลาร์

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันเชิงซ้อน คือฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$  จากเซตของจำนวนเชิงซ้อน ไปยังเซตของจำนวนเชิงซ้อน

ฟังก์ชันเชิงซ้อน ${\displaystyle f}$  จะหาอนุพันธ์ที่จุด ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$  ได้ก็ต่อเมื่อลิมิต

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$ 

หาค่าได้ ซึ่งเป็นนิยามที่คล้ายคลึงกับนิยามการอนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริง แต่เนื่องจากลิมิตของจำนวนเชิงซ้อนต้องหาค่าได้ทุกทิศทาง และไม่จำเพาะเฉพาะทิศทางซ้ายและขวา (หรือบวกและลบ) อย่างในลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ความแตกต่างนี้ทำให้ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้มีลักษณะแตกต่างจากฟังก์ชันค่าจริงที่หาอนุพันธ์ได้

ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ทุกจุดบนเซตเปิด ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$  บางเซตของจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่า ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบน ${\displaystyle \Omega }$ 

สมบัติสำคัญของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เช่น

• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้เป็นอนันต์
• ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ นั่นคือ สำหรับแต่ละจุดในโดเมน ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถเขียนแทนได้ด้วยอนุกรมกำลังที่ลู่เข้า

ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ

ดูบทความหลักที่: ปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ

เครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์เชิงซ้อนอีกอันหนึ่งคือ ปริพันธ์ตามเส้น

บนระนาบเชิงซ้อน ทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีกล่าวว่า หากพิจารณาปริพันธ์ตามเส้นของเส้นโค้งปิด (ซึ่งเรียกว่าปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ) และฟังก์ชันที่หาปริพันธ์เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณที่ทางเดินปิดนั้นล้อมรอบ แล้วปริพันธ์จะมีค่าเท่ากับศูนย์โดยทันที และค่าของฟังก์ชันในบริเวณปิดดังกล่าว จะหาได้จากปริพันธ์ตามเส้นตัวหนึ่งบนทางเดินปิดนั้น (ดู สูตรปริพันธ์ของโคชี) ในบางครั้ง เราสามารถใช้การหาปริพันธ์ตามเส้นบนระนาบเชิงซ้อน เพื่อหาปริพันธ์ของฟังก์ชันค่าจริงบางตัวได้ ซึ่งเรียกวิธีการนี้ว่า วิธีการปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบ

ฟังก์ชันเชิงซ้อนบางตัวจะมี โพล ซึ่งเป็นจุดที่ทำให้ค่าของฟังก์ชันเชิงซ้อนไม่มีขอบเขต เราสามารถคำนวณ เรซิดิว สำหรับแต่ละโพลได้ ซึ่งเรซิดิวจะใช้ในการหาปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบได้ ความสัมพันธ์นี้ปรากฏใน ทฤษฎีบทเรซิดิว

อ้างอิง

1. Griffiths, Phillip (1978). Principles of algebraic geometry. Joe Harris. New York: Wiley. ISBN 0-471-32792-1. OCLC 3843444.
2. Pathak, Hemant Kumar (2019). Complex analysis and applications. Singapore. ISBN 978-981-13-9734-9. OCLC 1119665489.
3. Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.
4. "Lars Valerian Ahlfors". abel.harvard.edu.
5. Beardon, Alan F. (2000). Iteration of rational functions : complex analytic dynamical systems. New York: Springer. ISBN 0-387-95151-2. OCLC 51647353.
6. Apostol, Tom M. (1990). Modular functions and Dirichlet series in number theory (2 ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97127-0. OCLC 20262861.

ดูเพิ่ม

• Ahlfors, Lars V. (1979). Complex analysis : an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (3 ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1. OCLC 4036464.
• Priestley, H. A. (2003). Introduction to complex analysis (2 ed.). Oxford. ISBN 978-0-19-158333-9. OCLC 874563358.
• Needham, Tristan (1997). Visual complex analysis. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-853447-7. OCLC 36523806.

ดูเพิ่ม

• การส่งคงรูป
• การต่อเนื่องวิเคราะห์
• ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัว
• ฟังก์ชันยูนิวาเลนต์
• การวิเคราะห์เชิงจริง