ค่าสัมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus) ในคณิตศาสตร์ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 พูดง่ายๆคือ จำนวนที่ไม่มีเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น 3 คือค่าสัมบูรณ์ของ 3 และ −3

กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

นิยาม

นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 (ดูเพิ่มเติม: อสมการ) |a| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R¹ จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||•|x|

สมบัติ

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้

1. |a| ≥ 0
2. |a| = 0 ก็ต่อเมื่อ a = 0.
3. |ab| = |a||b|
4. |a/b| = |a| / |b| (ถ้า b ≠ 0)
5. |a+b| ≤ |a| + |b| (อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม)
6. |a−b| ≥ ||a| − |b||
7. ${\displaystyle \left|a\right|={\sqrt {a^{2}}}}$ 
8. |a| ≤ b ก็ต่อเมื่อ −b ≤ a ≤ b
9. |a| ≥ b ก็ต่อเมื่อ a ≤ −b หรือ a ≥ b

คุณสมบัติสองอันสุดท้าย ใช้ในการแก้อสมการอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

"x" = [-6,12]

|x − 3| ≥ 9

x − 3 ≤ -9 U x − 3 ≥ 9

x ≤ -6 U x ≥ 12

"x" = (-infinity,-6] U [12,infinity)

ค่าสัมบูรณ์และจำนวนเชิงซ้อน

${\displaystyle {\mbox{if }}c=a+bi{\mbox{ then }}|c|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,\!}$  (มอดุลัส)