สมการนาเวียร์-สโตกส์ เป็นสมการที่ตั้งตามชื่อของผู้คิดค้นสองท่านคือ โกลด ลูอีส นาวีเยร์ และ จอร์จ กาเบรียล สโตกส์ ใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของของไหล สมการเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นจากการประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน บนของไหล ประกอบเข้ากับสมมติฐานว่าความเค้น บนของไหลคือผลรวมของเทอมของความหนืด ของการกระจายตัว และเทอมของความดัน
กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง สมการนาเวียร์-สโตกส์ กลศาสตร์ของแข็ง ของแข็ง · ความเค้น · การเปลี่ยนรูป · Finite strain theory · Infinitesimal strain theory · Elasticity · Linear elasticity · Plasticity · Viscoelasticity · กฎของฮุก · วิทยากระแส
พื้นฐานของการเขียน
CFD คือสมการนาเวียร์-สโตกส์
ชุดสมการนี้นับได้ว่าเป็นชุดสมการที่มีประโยชน์ต่อวิชากลศาสตร์ของไหล มากที่สุด เนื่องจากว่ามันสามารถอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพของของไหลได้กว้างขวางที่สุด มันอาจจะใช้เพื่อการจำลองสภาพอากาศ คลื่นทะเล การไหลของของไหลในท่อ การไหลของอากาศ ผ่านปีกเครื่องบิน หรือการเคลื่อนที่ของดาว ในจักรวาล ชุดสมการนี้ ไม่ว่าจะในรูปเต็ม หรือรูปแบบที่ถูกดัดแปลงให้ง่ายขึ้น ล้วนถูกนำไปใช้ในการออกแบบอากาศยานและยานยนต์ การศึกษาการไหลเวียนของโลหิต การออกแบบโรงไฟฟ้า การวิเคราะห์ผลกระทบของมลพิษ เป็นต้น การนำลุดสมการนี้เมื่อไปใช้ร่วมกับสมการแมกซ์เวลล์สามารถใช้ในการศึกษาแมกนิโตรไฮโดรไดนามิกส์ได้อีกด้วย
นอกจากนี้ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์นับว่ามีความน่าสนใจในเชิงคณิตศาสตร์บริสุทธิ์อย่างมาก ถึงแม้ว่าชุดสมการจะถูกใช้งานอย่างกว้างขวางก็ตาม แต่ทว่ายังไม่มีนักคณิตศาสตร์คนใดที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบในเชิงสามมิตินี้จะจะปรากฏตลอดเวลา หรือถึงแม้ว่ามันจะปรากฏขึ้นจริง มันก็จะไม่มีลักษณะของความไม่สิ้นสุด ความเป็นเอกภาพ และความไม่ต่อเนื่อง สิ่งเหล่านี้เรียกว่า ปัญหาการปรากฏและความราบเรียบของนาเวียร์-สโตกส์ สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์จัดให้ปัญหานี้เป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหาที่สำคัญที่สุดในทางคณิตศาสตร์และตั้งเงินรางวัล 1,000,000 ดอลลาร์สหรัฐ ให้แก่ผู้ใดก็ตามที่สามารถแก้ปัญหานี้หรือสามารถแสดงตัวอย่างการแก้ปัญหาได้.
ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งต่างจากสมการพีชคณิต ไม่มีการระบุความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่แน่นอนหรือชัดเจน หากแต่ระบุอัตราการเปลี่ยนแปลง แทน ตัวอย่างเช่น ในสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับของไหลในอุดมคติ ซึ่งไม่มีความหนืดและอัดตัวไม่ได้ สามารถระบุความสัมพันธ์ของความเร่งนั้นเป็นอัตราส่วนต่ออัตราการเปลี่ยนแปลงความดัน (Pressure gradient)
ชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่สามารถใช้ระบุตำแหน่งได้แต่สามารถบอกความเร็วได้ ทำให้คำตอบของชุดสมการนาเวียร์-สโตกส์ถูกเรียกว่าสนามความเร็วหรือสนามการไหล ซึ่งเป็นตัวอธิบางถึงความเร็วของของไหล ณ ตำแหน่ง และเวลา ที่กำหนด และเมื่อสนามความเร็วถูกระบุแล้ว ตัวแปรอื่น ๆ เช่น อัตราการไหล หรือแรงแดรก อาจจะถูกค้นพบด้วย ชุดสมการนี้ต่างออกไปจากปรากฏการณ์ที่พบได้ในกลศาสตร์ดั้งเดิม ซึ่งมีมีคำตอบในรูปของเส้นแนวโน้มของตำแหน่งของอนุภาค หรือการเปลี่ยนแปลงของความต่อเนื่อง การศึกษาความเร็วแทนที่จะสนใจตำแหน่งนั้นเป็นสิ่งที่มีสามัญสำนึกมากกว่าสำหรับวิชากลศาสตร์ของไหล แต่ทว่าสำหรับการสร้างแบบจำลองแล้ว จะใช้คอมพิวเตอร์ในการสร้างเส้นแนวโน้ม
สมการ สมการนาเวียร์-สโตกส์นั้น เป็นกรณีเฉพาะของ สมการการไหล สมมุติฐานที่ถูกใช้ในที่นี้คือ ของไหลเป็นของไหลแบบนิวตัน (en:Newtonian_fluid) ค่าความหนืดคงที่ และค่าความหน่าแนนคงที่ ในการไหลแบบอุณหภมิไม่คงที่ ค่าความหนืดและความหนาแน่นจะไม่คงที่ เพราะค่าสองค่านี้เป็นค่าที่ขึ้นกับอุณหภูมิ นั่นคือสมการนาเวียร์-สโตกส์จะใช้ไม่ได้ในกรณีนี้ ในกรณีที่ความหนาแน่นมีการเปลี่ยนแปลงมากในระบบ ค่าแรงลอยตัว (buoyant forces) จะต้องนำมาคิดด้วย การประมาณค่าความหนาแน่นนั้น อาจทำได้โดยใช้ Boussinesq approximation
คุณสมบัติยสถาน ความไม่เป็นเส้นหวนตรงคงที่ สมการนาเวียร์-สโตกค์นี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเส้นตรงในเกือบทุกสถานการณ์จริง ในบางกรณี เช่นการไหลมิติเดียวและการไหลแบบสโตก์ (การไหลแบบช้า ๆ) สมการอาจจะถูกแปลงให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรงได้ ความไม่เป็นเส้นตรงทำให้ปัญหาส่วนมากยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหา
ความไม่เป็นเส้นตรงนั้นขึ้นกับความเร่งการพาซึ่งเป็นความเร่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วในแต่ละจุด ดังนั้น การไหลแบบพาไม่ว่าจะเป็นการไหลแบบราบเรียบหรือแบบปั่นป่วน ล้วนแต่เกี่ยวข้องกับสมการไม่เป็นเส้นตรงทั้งสิ้น ตัวอย่างการไหลแบบพาที่เป็นการไหลแบบราบเรียบนั้นคือการไหลของของไหลหนืด เช่น น้ำมัน ผ่านหัวฉีดแบบคอนเวอร์เจนท์ การไหลในรูปแบบนี้ ๆ ไม่ว่าจะสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ ก็จะได้รับการศึกษาและทำความเข้าใจอย่างรอบคอบระมัดระวัง
ความปั่นป่วน ความปั่นป่วนคือช่วงเวลาที่พฤติกรรมอันยุ่งเหยิง ของของไหลปรากฏขึ้น ตามความเชื่อโดยทั่วไป การไหลแบบปั่นป่วนนี้เกิดขึ้นมาจากความเฉื่อยของของไหลทั้งหมด ดังนั้นของไหลที่มีความเฉื่อยต่ำ มีแนวโน้มที่จะไหลแบบราบเรียบ (ตัวเลขเรย์โนลด์คือค่าที่บ่งถึงปริมาณผลกระทบของความเฉื่อยในของไหล) แต่ทั้งนี้ทั้งนัน เชื่อกันว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่ได้อธิบายถึงคุณสมบัติความปั่นป่วน
คำตอบเชิงตัวเลขของสมการนาเวียร์-สโตกส์สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนนี้ค่อนข้างซับซ้อน และเนื่องจากมีการมีช่วงสเกลที่แตกต่างกันมากอย่างเห็นได้ชัดผสมปนเปอยู่ในสมการสำหรับการไหลแบบปั่นป่วน ซึ่งเป็นผลให้คำตอบที่เสถียรสำหรับปัญหาชนิดนี้นั้น เป็นไม่ไม่ได้ในการคำนวณอย่างชัดเจน (อ่านเพิ่มที่ Direct numerical simulation ความพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ด้วยการใช้วิธีเดียวกับการคำนวณการไหลแบบราบเรียบนั้น จะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ที่เวลาไม่เสถียร ซึ่งส่งผลให้ไม่สามารถสรุปผลได้ เพื่อการจัดการกับปัญหานี้ การใช้สมการ เวลาเฉลี่ย เช่น Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS) การเสริมด้วยแบบจำลองการไหลปั่นป่วน (เช่น แบบจำลอง k-ε) คือวิธีที่ใช้ในทางปฏิบัติของ CFD เพื่อการจำลองการไหลแบบปั่นป่วน วิธีอื่นที่ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือ Large-eddy simulation (LES) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เวลาและหน่วยความจำมากกว่า RANS แต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่ากว่าเนื่องจากขนาดสเกลของการไหลแบบปั่นป่วนชัดเจนกว่า
ขอบเขตการใช้งาน การใช้สมการนาเวียร์-สโตกส์ ร่วมกับสมการที่นำมาเสริม (เช่น กฎการอนุรักษ์มวล) และการกำหนดสภาวะขอบเขตที่ดี แบบจำลองที่ได้ดูเหมือนว่าจะเป็นแบจำลองการเคลื่อนไหวของของไหลที่แม่นยำ แม้แต่การไหลแบบปั่นป่วน (ด้วยการอ้างอิงค่าเฉลี่ย) ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามที่ปรากฏในความเป็นจริง
สมการนาเวียร์-สโตกส์สมมติว่าของไหลที่สนใจอยู่ในภาวะต่อเนื่องไม่เคลื่อนไหวในเชิงกลศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพ ณ สเกลขนาดเล็กมาก ๆ หรือสภาวะสุดขั้ว ของไหลจริงนั้นเกิดจากการรวมตัวของโมเลกุลที่ไม่มีความต่อเนื่อง จะส่งผลที่แตกต่างไปจากแบบจำลองที่สร้างมาด้วยสมมติฐานว่าของไหลมีความต่อเนื่อง ทั้งนี้ทั้งนั้น ขึ้นอยู่กับตัวเลขคุดเซ็นของปัญหา ซึ่งกลศาสตร์เชิงสถิติ หรือ กลศาสตร์โมเลกุล อาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า
ข้อจำกัดอีกประการของสมการนาเวียร์-สโตกส์คือธรรมชาติอันซับซ้อนยากแก่การทำความเข้าใจของสมการ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเวลามีปรากฏในกลุ่มของไหลทั่ว ๆ ไป แต่ในการใช้งานสมการนาเวียร์-สโตกส์นี้ การทำให้ความเป็นสากลนี้ลดลงไป ทำให้ได้สูตรที่ซับซ้อน ดังนั้น สมการนาเวียร์-สโตกส์มักจะใช้สำหรับของไหลจำพวกนิวโตเนียน
เชิงอรรถ คำว่า"นาเวียร์" ในชื่อสมการ"นาเวียร์-สโตกส์" นี้ มาจากการอ่านคำว่า "Navier" ในแบบภาษาอังกฤษ แต่ทว่า ในการสะกดแบบภาษาฝรั่งเศสจะอ่านได้ว่า "นาวีเยร์" อย่างไรก็ตาม การเรียกว่า "สมการนาเวียร์-สโตกส์"นั้นเป็นที่ใช้อย่างกว้างขวาง ข้อแตกต่างระหว่าง rate of change of pressure และ pressure gradient คือ ตัวแรกเป็นปริมาณสเกลาร์ที่มีเพียงขนาดไม่มีทิศทาง แต่ตัวที่สองเป็นปริมาณเวกเตอร์อันมีขนานและทิศทาง
เชิงอรรถอ้างอิง Millennium Prize Problems , Clay Mathematics Institute, สืบค้นเมื่อ 2009-06-24 Bird, R.B., Stewart, W.E., and Lightfoot "Transport Phenomena" 2nd edition John Wiley & Sons, Inc. page 84
บรรณานุกรม Acheson, D. J. (1990), Elementary Fluid Dynamics , Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 0198596790 Batchelor, G.K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics , Cambridge University Press, ISBN 0521663962 Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), Fluid mechanics , Course of Theoretical Physics, 6 (2nd revised ed.), Pergamon Press, ISBN 0 08 033932 8 OCLC 15017127 Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides , Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne Polyanin, A.D.; Kutepov, A.M.; Vyazmin, A.V.; Kazenin, D.A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering , Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8
แหล่งข้อมูลอื่น
สมการนาเว, ยร, สโตกส, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, note, เป, นสมการท, งตามช, อของผ, ดค, นสองท, านค, โกลด, นาว, เยร, และ. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudsmkarnaewiyr sotks note 1 epnsmkarthitngtamchuxkhxngphukhidkhnsxngthankhux okld luxis nawieyr aela cxrc kaebriyl sotks ichephuxxthibaykarekhluxnthikhxngkhxngihl smkarehlanithuksrangkhuncakkarprayuktichkdkarekhluxnthikhxthisxngkhxngniwtnbnkhxngihl prakxbekhakbsmmtithanwakhwamekhnbnkhxngihlkhuxphlrwmkhxngethxmkhxngkhwamhnudkhxngkarkracaytw aelaethxmkhxngkhwamdnklsastrphawatxenuxngsmkarnaewiyr sotks kdkdkarxnurksmwlkdkarxnurksomemntmkdkarxnurksphlngnganEntropy Inequalityklsastrkhxngaekhngkhxngaekhng khwamekhn karepliynrup Finite strain theory Infinitesimal strain theory Elasticity Linear elasticity Plasticity Viscoelasticity kdkhxnghuk withyakraaesklsastrkhxngihlkhxngihl sthitysastrkhxngihlphlsastrkhxngihl khwamhnud Newtonian fluidsNon Newtonian fluidsaerngtungphiwnkwithyasastrixaesk niwtn cxrc sotks Navier Cauchy orebirt hukh daniexl aebrnulliklxngni dukhuyaekphunthankhxngkarekhiynCFDkhuxsmkarnaewiyr sotks chudsmkarninbidwaepnchudsmkarthimipraoychntxwichaklsastrkhxngihlmakthisud enuxngcakwamnsamarthxthibaypraktkarnthangkayphaphkhxngkhxngihlidkwangkhwangthisud mnxaccaichephuxkarcalxngsphaphxakas khlunthael karihlkhxngkhxngihlinthx karihlkhxngxakasphanpikekhruxngbin hruxkarekhluxnthikhxngdawinckrwal chudsmkarni imwacainrupetm hruxrupaebbthithukddaeplngihngaykhun lwnthuknaipichinkarxxkaebbxakasyanaelayanynt karsuksakarihlewiynkhxngolhit karxxkaebborngiffa karwiekhraahphlkrathbkhxngmlphis epntn karnaludsmkarniemuxipichrwmkbsmkaraemksewllsamarthichinkarsuksaaemkniotrihodridnamiksidxikdwynxkcaknichudsmkarnaewiyr sotksnbwamikhwamnasnicinechingkhnitsastrbrisuththixyangmak thungaemwachudsmkarcathukichnganxyangkwangkhwangktam aetthwayngimminkkhnitsastrkhnidthisamarthphisucnidwakhatxbinechingsammitinicacaprakttlxdewla hruxthungaemwamncapraktkhuncring mnkcaimmilksnakhxngkhwamimsinsud khwamepnexkphaph aelakhwamimtxenuxng singehlanieriykwa pyhakarpraktaelakhwamraberiybkhxngnaewiyr sotks sthabnkhnitsastrekhlycdihpyhaniepnhnunginecdpyhathisakhythisudinthangkhnitsastraelatngenginrangwl 1 000 000 dxllarshrthihaekphuidktamthisamarthaekpyhanihruxsamarthaesdngtwxyangkaraekpyhaid 1 chudsmkarnaewiyr sotksepnsmkarechingxnuphnthsungtangcaksmkarphichkhnit immikarrabukhwamsmphnthrahwangtwaeprthiaennxnhruxchdecn hakaetrabuxtrakarepliynaeplngaethn twxyangechn insmkarnaewiyr sotkssahrbkhxngihlinxudmkhti sungimmikhwamhnudaelaxdtwimid samarthrabukhwamsmphnthkhxngkhwamerngnnepnxtraswntxxtrakarepliynaeplngkhwamdn Pressure gradient note 2 chudsmkarnaewiyr sotksimsamarthichrabutaaehnngidaetsamarthbxkkhwamerwid thaihkhatxbkhxngchudsmkarnaewiyr sotksthukeriykwasnamkhwamerwhruxsnamkarihl sungepntwxthibangthungkhwamerwkhxngkhxngihl n taaehnng aelaewlathikahnd aelaemuxsnamkhwamerwthukrabuaelw twaeprxun echn xtrakarihl hruxaerngaedrk xaccathukkhnphbdwy chudsmkarnitangxxkipcakpraktkarnthiphbidinklsastrdngedimsungmimikhatxbinrupkhxngesnaenwonmkhxngtaaehnngkhxngxnuphakhhruxkarepliynaeplngkhxngkhwamtxenuxng karsuksakhwamerwaethnthicasnictaaehnngnnepnsingthimisamysanukmakkwasahrbwichaklsastrkhxngihl aetthwasahrbkarsrangaebbcalxngaelw caichkhxmphiwetxrinkarsrangesnaenwonm enuxha 1 smkar 2 khunsmbtiysthan 2 1 khwamimepnesnhwntrngkhngthi 2 2 khwampnpwn 2 3 khxbekhtkarichngan 3 echingxrrth 4 echingxrrthxangxing 5 brrnanukrm 6 aehlngkhxmulxunsmkar aekikhsmkarnaewiyr sotksnn epnkrniechphaakhxng smkarkarihl smmutithanthithukichinthinikhux khxngihlepnkhxngihlaebbniwtn en Newtonian fluid khakhwamhnudkhngthi aelakhakhwamhnaaennkhngthi 2 inkarihlaebbxunhphmiimkhngthi khakhwamhnudaelakhwamhnaaenncaimkhngthi ephraakhasxngkhaniepnkhathikhunkbxunhphumi nnkhuxsmkarnaewiyr sotkscaichimidinkrnini inkrnithikhwamhnaaennmikarepliynaeplngmakinrabb khaaernglxytw buoyant forces catxngnamakhiddwy karpramankhakhwamhnaaennnn xacthaidodyich Boussinesq approximationkhunsmbtiysthan aekikhkhwamimepnesnhwntrngkhngthi aekikh smkarnaewiyr sotkkhniepnsmkarxnuphnthyxythiimepnesntrnginekuxbthuksthankarncring inbangkrni echnkarihlmitiediywaelakarihlaebbsotk karihlaebbcha smkarxaccathukaeplngihxyuinrupsmkaresntrngid khwamimepnesntrngthaihpyhaswnmakyakhruxepnipimidthicaaekpyhakhwamimepnesntrngnnkhunkbkhwamerngkarphasungepnkhwamerngthiekiywkhxngkbkarepliynaeplngkhwamerwinaetlacud dngnn karihlaebbphaimwacaepnkarihlaebbraberiybhruxaebbpnpwn lwnaetekiywkhxngkbsmkarimepnesntrngthngsin twxyangkarihlaebbphathiepnkarihlaebbraberiybnnkhuxkarihlkhxngkhxngihlhnud echn namn phanhwchidaebbkhxnewxrecnth karihlinrupaebbni imwacasamarthhakhatxbidhruxim kcaidrbkarsuksaaelathakhwamekhaicxyangrxbkhxbramdrawng khwampnpwn aekikh khwampnpwnkhuxchwngewlathiphvtikrrmxnyungehyingkhxngkhxngihlpraktkhun tamkhwamechuxodythwip karihlaebbpnpwnniekidkhunmacakkhwamechuxykhxngkhxngihlthnghmd dngnnkhxngihlthimikhwamechuxyta miaenwonmthicaihlaebbraberiyb twelkheryonldkhuxkhathibngthungprimanphlkrathbkhxngkhwamechuxyinkhxngihl aetthngnithngnn echuxknwasmkarnaewiyr sotksimidxthibaythungkhunsmbtikhwampnpwnkhatxbechingtwelkhkhxngsmkarnaewiyr sotkssahrbkarihlaebbpnpwnnikhxnkhangsbsxn aelaenuxngcakmikarmichwngseklthiaetktangknmakxyangehnidchdphsmpnepxyuinsmkarsahrbkarihlaebbpnpwn sungepnphlihkhatxbthiesthiyrsahrbpyhachnidninn epnimimidinkarkhanwnxyangchdecn xanephimthi Direct numerical simulation khwamphyayamthicaaekpyhanidwykarichwithiediywkbkarkhanwnkarihlaebbraberiybnn casngphlihidphllphththiewlaimesthiyr sungsngphlihimsamarthsrupphlid ephuxkarcdkarkbpyhani karichsmkar ewlaechliy echn Reynolds averaged Navier Stokes equations RANS karesrimdwyaebbcalxngkarihlpnpwn echn aebbcalxng k e khuxwithithiichinthangptibtikhxng CFD ephuxkarcalxngkarihlaebbpnpwn withixunthiichinkaraekpyhaechingtwelkhkhux Large eddy simulation LES sungepnwithithiichewlaaelahnwykhwamcamakkwa RANS aetihphllphththidikwakwaenuxngcakkhnadseklkhxngkarihlaebbpnpwnchdecnkwa khxbekhtkarichngan aekikh karichsmkarnaewiyr sotks rwmkbsmkarthinamaesrim echn kdkarxnurksmwl aelakarkahndsphawakhxbekhtthidi aebbcalxngthiidduehmuxnwacaepnaebcalxngkarekhluxnihwkhxngkhxngihlthiaemnya aemaetkarihlaebbpnpwn dwykarxangxingkhaechliy kduehmuxnwacaepniptamthipraktinkhwamepncringsmkarnaewiyr sotkssmmtiwakhxngihlthisnicxyuinphawatxenuxngimekhluxnihwinechingklsastrechingsmphththphaph n seklkhnadelkmak hruxsphawasudkhw khxngihlcringnnekidcakkarrwmtwkhxngomelkulthiimmikhwamtxenuxng casngphlthiaetktangipcakaebbcalxngthisrangmadwysmmtithanwakhxngihlmikhwamtxenuxng thngnithngnn khunxyukbtwelkhkhudesnkhxngpyha sungklsastrechingsthiti hrux klsastromelkul xaccaepnthangeluxkthidikwakhxcakdxikprakarkhxngsmkarnaewiyr sotkskhuxthrrmchatixnsbsxnyakaekkarthakhwamekhaickhxngsmkar sutrkhanwnthiekiywkhxngkbewlamipraktinklumkhxngihlthw ip aetinkarichngansmkarnaewiyr sotksni karthaihkhwamepnsaklnildlngip thaihidsutrthisbsxn dngnn smkarnaewiyr sotksmkcaichsahrbkhxngihlcaphwkniwoteniynechingxrrth aekikh khawa naewiyr inchuxsmkar naewiyr sotks ni macakkarxankhawa Navier inaebbphasaxngkvs aetthwa inkarsakdaebbphasafrngesscaxanidwa nawieyr xyangirktam kareriykwa smkarnaewiyr sotks nnepnthiichxyangkwangkhwang khxaetktangrahwang rate of change of pressure aela pressure gradient khux twaerkepnprimanseklarthimiephiyngkhnadimmithisthang aettwthisxngepnprimanewketxrxnmikhnanaelathisthangechingxrrthxangxing aekikh Millennium Prize Problems Clay Mathematics Institute subkhnemux 2009 06 24 Bird R B Stewart W E and Lightfoot Transport Phenomena 2nd edition John Wiley amp Sons Inc page 84brrnanukrm aekikhAcheson D J 1990 Elementary Fluid Dynamics Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series Oxford University Press ISBN 0198596790 Batchelor G K 1967 An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press ISBN 0521663962 Landau L D Lifshitz E M 1987 Fluid mechanics Course of Theoretical Physics 6 2nd revised ed Pergamon Press ISBN 0 08 033932 8 OCLC 15017127 Rhyming Inge L 1991 Dynamique des fluides Presses Polytechniques et Universitaires Romandes Lausanne Polyanin A D Kutepov A M Vyazmin A V Kazenin D A 2002 Hydrodynamics Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering Taylor amp Francis London ISBN 0 415 27237 8aehlngkhxmulxun aekikhSimplified derivation of the Navier Stokes equations http www claymath org millennium Navier Stokes Equations navierstokes pdf Millennium Prize problem description CFD online software list A compilation of codes including Navier Stokes solvers bthkhwamniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmulekhathungcak https th wikipedia org w index php title smkarnaewiyr sotks amp oldid 9143629, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,
บทความ , อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม
