เซตม็องแดลโบร

เซตม็องแดลโบร (อังกฤษ: Mandelbrot set) คือ เซตของจุดในระนาบเชิงซ้อนที่เรียงตัวเป็นแฟร็กทัล ในทางคณิตศาสตร์นิยามเซตม็องแดลโบร คือ เซตของค่าจำนวนเชิงซ้อน c ซึ่งให้ทางเดินของ 0 ภายใต้การส่งวนซ้ำของ ฟ้งก์ชันกำลังสอง (quadratic function) z² + c มีค่าจำกัด

เซตม็องแดลโบร

นอกจากแวดวงคณิตศาสตร์แล้ว เซตม็องแดลโบรก็เป็นที่รู้จักแพร่หลาย เนื่องมาจากความสวยงามของมัน และโครงสร้างที่ซับซ้อน อันเกิดจากนิยามที่มีรูปแบบง่าย ๆ นักคณิตศาสตร์ เบอนัว บี. ม็องแดลโบร และนักคณิตศาสตร์อื่นอีกหลายท่าน ได้พยายามนำคณิตศาสตร์แขนงนี้มาเผยแพร่ให้เป็นที่รู้จักในวงกว้าง

ประวัติ

เซตมาตัดบรอถูกจัดอยู่ในหัวข้อพลศาสตร์เชิงซ้อน ซึ่งเป็นสาขาที่เริ่มศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ปิแอร์ ฟาตู และ กาสตง จูเลีย ในช่วงต้นของศตวรรษที่ 20 โรเบิรต์ บรูค และ ปีเตอร์ มาเทลสกี เป็นผู้วาดรูปเซตนี้เป็นครั้งแรกในการศึกษากรุปไคลน์ในปี ค.ศ. 1978

นิยาม

เซตม็องแดลโบร ${\displaystyle M}$  นิยามโดยควาดราติกโพลิโนเมียลเชิงซ้อน

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ 

ที่กำหนดโดย

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.\,}$ 

โดยที่ ${\displaystyle c}$  เป็นตัวเลขเชิงซ้อน สำหรับ ${\displaystyle c}$  แต่ละค่า พิจารณาพฤติกรรมของลำดับ ${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$  โดยการ วนซ้ำฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$  เริ่มต้นที่ ${\displaystyle z=0}$  ซึ่งเป็นได้สองกรณีคืออาจมีค่าสู่อนันต์ หรือ มีค่าจำกัดภายในวงกลมรัศมีหนึ่ง ๆ เซตม็องแดลโบร คือเซตของจุด ${\displaystyle c}$  ทุกจุดที่ไม่เข้าสู่อนันต์

 

ภาพเซตม็องแดลโบร จุด c มีสีดำถ้าอยู่ในเซต นอกนั้นมีสีขาว

นิยามอย่างเป็นทางการหนึ่งคือ ถ้า ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$  คือไอเทอเรทที่ n ของฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$  (หมายถึงคอมโพสิทฟังก์ชัน ${\displaystyle f_{c}(z)}$  ของตัวมันเอง n ครั้ง) เซตม็องแดลโบรเป็นซับเซตของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}.}$ 

ในทางคณิตศาสตร์ เซตม็องแดลโบรเป็นเพียงเซตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวน ${\displaystyle c}$  จะอยู่ในเซต ${\displaystyle M}$  หรือไม่อยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง ภาพของเซตม็องแดลโบรสามารถสร้างได้โดยกำหนด ${\displaystyle c}$  ที่อยู่ใน ${\displaystyle M}$  ให้เป็นสีดำ นอกนั้นเป็นสีขาว ภาพที่มีสีสันสวยงามขึ้นที่พบเห็นบ่อย ๆ สร้างโดยการกำหนดสีต่าง ๆ แทนอัตราเร็วที่จุดมีค่าเข้าสู่อนันต์

ดูเพิ่ม

• เซตจูเลีย