เซตวีตาลี

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะทฤษฎีเมเชอร์ เซตวีตาลี (อังกฤษ: Vitali set) เป็นตัวอย่างของเซตของจำนวนจริงที่ไม่สามารถหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ เซตดังกล่าวถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกโดย จูเซปเป วีตาลี ในปี ค.ศ. 1905 ทฤษฎีบทวีตาลีเป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่ามีเซตดังกล่าวอยู่จริง เซตวีตาลีมีมากมายเป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้ และการมีอยู่ของเซตดังกล่าวต้องอาศัยสัจพจน์ของการเลือก ในปี ค.ศ. 1970 โรเบิร์ต โซโลเวย์ได้สร้างโมเดลของทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลที่ไม่มีสัจพจน์การเลือก และทุกสับเซตของเซตของจำนวนจริงหาเมเชอร์แบบเลอเบกได้ โดยอาศัยการมีอยู่ของ inaccessible cardinal เรียกว่า โมเดลของโซโลเวย์

การสร้างและสมบัติการหาเมเชอร์ไม่ได้

 

การเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะ

เซตวิตาลีคือเซตย่อยของช่วงปิด ${\displaystyle [0,1]}$  ซึ่งมีสมบัติว่า สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle r}$  ใด ๆ จะมีจำนวนจริง ${\displaystyle v\in V}$  เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ ${\displaystyle v-r}$  เป็นจำนวนตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  เป็นสับกรุปปรกติของเซตของจำนวนจริง ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ภายใต้การบวก ดังนั้นจึงหากรุปผลหาร ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$  ได้ ซึ่งกรุปผลหารดังกล่าวมีสมาชิกเป็นโคเซตของจำนวนตรรกยะในรูป ${\displaystyle \mathbb {Q} +r}$  สำหรับบาง ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ 

สมาชิกในกรุป ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$  เป็นเซตที่แบ่งกั้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$  และแต่ละสมาชิกหนาแน่นใน ${\displaystyle \mathbb {R} }$  ดังนั้นอินเตอร์เซคชั่นของสมาชิกใน ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$  และเซต ${\displaystyle [0,1]}$ ไม่เป็นเซตว่าง โดนอาศัยสัจพจน์ของการเลือก เราสามารถหาสมาชิกมาหนึ่งตัวจากแต่ละอินเตอร์เซคชั่นนั้นมารวมกันได้เป็นเซตเซตหนึ่ง เซตใด ๆ ที่สร้างมาและมีสมบัติดังกล่าวเรียกว่า เซตวีตาลี

เซตวีตาลีทุกเซตมีขนาดอนันต์นับไม่ได้ และ ${\displaystyle v-u}$  เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับทุก ${\displaystyle u,v\in V}$ ที่ซึ่ง ${\displaystyle u\neq v}$ 

การหาเมเชอร์ไม่ได้

เซตวีตาลี ${\displaystyle V}$  ใด ๆ หาเมเชอร์ไม่ได้

พิสูจน์ —

การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ให้ ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dotsc }$  เป็นการเรียงลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วง ${\displaystyle [-1,1]}$  จากการสร้างจะเห็นว่า เซต ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$  ที่เกิดจากการเลื่อนขนานเซต ${\displaystyle V}$  เป็นเซตที่ไม่มีส่วนร่วมกันทุกคู่เมื่อ ${\displaystyle k=1,2,\dotsc }$  และยิ่งไปกว่านั้น

${\displaystyle [0,1]\subseteq \bigcup _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]}$ 

เพื่อพิสูจน์การเป็นสับเซตตอนแรก พิจารณาจำนวนจริง ${\displaystyle r}$ ใด ๆ ในช่วง ${\displaystyle [0,1]}$  และให้ ${\displaystyle v\in V}$  เป็นตัวแทนของชั้นสมมูล ${\displaystyle [r]}$  แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle r-v=q_{i}}$  สำหรับบางจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle q_{i}\in [-1,1]}$  จึงทำให้ ${\displaystyle r\in V_{i}}$ 

หาเมเชอร์เลอเบกของเซตข้างต้น:

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3}$ 

เนื่องจากเมเชอร์เลอเบกมีค่าเท่าเดิมภายใต้การเลื่อนขนาน ส่งผลให้ ${\displaystyle \lambda (V_{k})=\lambda (V)}$  และได้ว่า

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3}$ 

ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง เพราะผลรวมอนันต์ของ ${\displaystyle \lambda (V)}$  เป็นได้สองค่าคือ 0 หรืออนันต์เท่านั้น ทั้งนี้เป็นเพราะว่า ${\displaystyle \lambda (V)}$  มีได้สองค่าคือเป็นศูนย์หรือจำนวนจริงบวกสักตัว ดังนั้น ${\displaystyle V}$  หาเมเชอร์ไม่ได้

ดูเพิ่ม

• เซตหาเมเชอร์ไม่ได้
• ปฏิทรรศน์บานาค-ทาร์สกี

อ้างอิง

1. Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.
2. Solovay, Robert M. (1970), "A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable", Annals of Mathematics, Second Series, 92: 1–56, doi:10.2307/1970696, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970696, MR 0265151

บรรณานุกรม

• Herrlich, Horst (2006). Axiom of Choice. Springer. p. 120.
• Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bologna, Tip. Gamberini e Parmeggiani.