การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม

การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม (อังกฤษ: Full state feedback ; FSF) หรือ การวางขั้ว (pole placement) ซึ่งเป็นวิธีการออกแบบตัวควบคุมสำหรับป้อนกลับในทฤษฎีระบบควบคุม เพื่อวางขั้วของระบบวงปิดในเป็นไปในตำแหน่งที่ผู้ออกแบบต้องการในระนาบของผลการแปลงลาปลาซ (s-plane) โดยการวางขั้วในที่นี้หมายถึงการกำหนดค่าลักษณะเฉพาะของตัวระบบ (ค่าลักษณะเฉพาะเมทริกซ์ A ในสมการแบบจำลองปริภูมิสถานะ) นั้นมีความเกี่ยวพันกับเสถียรภาพของตัวระบบโดยตรงตามทฤษฎีระบบควบคุมเชิงเส้น และวิธีการนี้ใช้ได้กับเฉพาะระบบที่มีสภาพควบคุมได้เท่านั้น ซึ่งนั้นหมายความว่าในที่นี้เราถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด ซึ่งเป็นกรณีที่อุดมคติมากในความเป็นจริง

หลักการ

ถ้าระบบวงปิดสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการปริภูมิสถานะ ดังนี้แล้ว

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}};}$ 

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}}}$ 

ดังนั้นขั้ว (pole) ของระบบคือรากของสมการลักษณะเฉพาะ ที่มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$ 

เมื่อทำการป้อนกลับโดยใช้ค่าสถานะทุกตัว ${\displaystyle {\underline {x}}}$  แล้ว (เพราะถือว่าเราสามารถวัดค่าสถานะได้ทุกค่าจากตัวตรวจวัด) สัญญาณขาเข้า ${\displaystyle {\underline {u}}}$  คือ

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$ .

แทนค่า ${\displaystyle {\underline {u}}}$  ข้างต้นลงในสมการสถานะ จะได้ว่า

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};}$ 

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$ 

ขั้วของระบบที่ได้รับการป้อนกลับแล้วจะหาได้จากสมการลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]}$  และโดยการเทียบสัมประสิทธิ์ ของสมการนี้กับ สมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการ ผู้ออกแบบก็จะสามารถหาค่าของเมทริกซ์ ${\displaystyle {\textbf {K}}}$  ที่ใช้ในการควบคุมระบบให้มีขั้วตามสมการลักษณะเฉพาะที่เราต้องการได้

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการปริภูมิสถานะ

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}}$ 

จะพบว่าเมื่อไม่มีการควบคุมนั้น ตัวระบบวงปิดมีขั้วที่ ${\displaystyle s=-1}$  และ ${\displaystyle s=-2}$  แต่ถ้าเราต้องการให้ระบบวงปิดมีขั้วที่ ${\displaystyle s=-1}$  และd ${\displaystyle s=-5}$  แทน (ซึ่งมีสมการลักษณะเฉพาะคือ ${\displaystyle s^{2}+6s+5=0}$  ) .

ขั้นตอนการการป้อนกลับสถานะแบบเต็ม เป็นดังนี้คือ กำหนดให้ ค่าคงที่ ${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}}$ 

และสมการลักษณะเฉพาะของระบบที่ติดตัวแปร ${\displaystyle \mathbf {K} }$ คือ

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})}$ .

เมื่อทำการเทียบ สัมประสิทธิ์ของทั้งสองสมการลักษณะเฉพาะแล้วจะได้

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$ .

จะเห็นได้ว่าการกำหนดให้ ${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$  (ซึ้งก็คือการป้อนสถานะแบบเต็มนั้นเอง) ทำให้ระบบวงปิดมีขั้วและคุณสมบัติตามที่เราต้องการนั้นเอง

หมายเหตุ: ตัวอย่างข้างต้นนี้สำหรับกรณี สัญญาณเข้าทางเดียวและสัญญาณขาออกทางเดียว (Single-Input and Single-Output) เท่านั้น ในกรณี สัญญาณขาเข้าหลายทางและสัญญาณขาออกหลายทาง (Multiple-Input and Multiple-Output) ค่า เมทริกซ์ ${\displaystyle {\textbf {K}}}$  อาจจะมีได้หลายค่าและให้ผลต่อระบบวงปิดในแบบเดียวกัน ดังนั้นการเลือกใช้ K ที่ดีที่สุดและเหมาะกับสภาพความเป็นจริงของปัญหาก็เป็นอีกประเด้นหนึ่งที่ผู้ออกแบบต้องพิจารณา ซึ่งโดยปรกติแล้วเราจะนิยมใช้วิธีการ linear-quadratic regulator กันมากกว่า

อ้างอิง

1. *Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 0-387-98489-5.
2. สื่อการสอนเกี่ยวกับทฤษฎีระบบควบคุม การป้อนกลับสถานะแบบเต็ม ของ มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน

ดูเพิ่ม

• Pole splitting
• Step response
• ทฤษฎีระบบควบคุม
• ระบบควบคุมพีไอดี