fbpx
วิกิพีเดีย

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (อังกฤษ: Projectile motion)

วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา
ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา
วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน(พิจารณาแรงต้านอากาศ)

ความเร็วเริ่มต้น

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น   ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

 

องค์ประกอบ   และ   สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น   ดังนี้

  และ
 

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน

ความเร่ง

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ   การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว   องค์ประกอบของความเร่งคือ

  และ
 

ความเร็ว

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา   ได้ดังนี้

  และ
 

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

 

การกระจัด

 
การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา

ณ เวลา   ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

  และ
 

ขนาดของการกระจัดคือ

 

พิจารณาสมการ

  และ
 

ถ้า   ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

 

เมื่อ     และ   เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

 

ซึ่ง   และ   เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง (  หรือ  ) ความเร็วเริ่มตั้น   สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น

 

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

 

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น  

 
 
 
 

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง   เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ

 

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

 

ถ้า   = 0 และ   = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่

 
ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์

จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง   นั้นคือ

 

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

 

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

 
 

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ   กับระยะสูงสุด   ที่   เป็น

 

พิสูจน์

 

 
  ×  
 

 .

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

  ดูบทความหลักที่ พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์
 
ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"พิสัย"   คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น  

 

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

 

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

 

ดังนั้น

 

  จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

 

ซึ่งสอดคล้องกับ

 

หรือ

 
 
Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s2. Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. t = time from launch, T = time of flight, R = range and H = highest point of trajectory (indicated with arrows).

ระยะทางในแนวราบ   ที่เคลื่อนที่ได้

 

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ( )) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

 

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ   มีค่าเท่ากับ 45 องศา

 

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

 

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง

  1. Galileo Galilei, Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249
  2. The   คือ ความเร่งโน้มถ่วง. (  ที่ผิวโลก).
  3.  

การเคล, อนท, แบบโพรเจกไทล, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, ดบทความน, อาจต, องการตรวจสอบต, นฉบ, ในด, านไวยากรณ, ปแบบการเข, . lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudbthkhwamnixactxngkartrwcsxbtnchbb indaniwyakrn rupaebbkarekhiyn kareriyberiyng khunphaph hruxkarsakd khunsamarthchwyphthnabthkhwamidkarekhluxnthiaebbophreckithl xngkvs Projectile motion withikarekhluxnthikhxngnaaebbpharaobla swnprakxbkhxngkhwamerwtnkhxngkaroynaebbpharaobla withikhxngophreckithlthilxykhunipinxakasinkhwamerwtnthiaetktangkn phicarnaaerngtanxakas enuxha 1 khwamerwerimtn 2 primanclnphlsastrkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl 2 1 khwamerng 2 2 khwamerw 2 3 karkracd 3 ewlathiichinkarekhluxnthi 4 rayasungsudkhxngkarekhluxnthi 5 khwamsmphnthrahwangrayaiklsudkbrayasungsud 5 1 phisucn 6 phisykhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl 7 karprayuktichthvsdibthnganaelaphlngngan 8 xangxingkhwamerwerimtn aekikhemuxplxyihopreckithlekhluxnthidwykhwamerwerimtn v 0 v 0 displaystyle mathbf v 0 equiv mathbf v 0 sungsamarthaeykepnxngkhprakxbkhxngewketxrkhwamerwiddngtxipni v 0 v 0 x i v 0 y j displaystyle mathbf v 0 v 0x mathbf i v 0y mathbf j xngkhprakxb v 0 x displaystyle v 0x aela v 0 y displaystyle v 0y samarthhaidemuxthrabmumerimtn 8 displaystyle theta dngni v 0 x v 0 cos 8 displaystyle v 0x v 0 cos theta aela v 0 y v 0 sin 8 displaystyle v 0y v 0 sin theta primanclnphlsastrkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl aekikhinpi kh s 1638 kalielox klawinhnngsux Two New Sciences wasahrbkarekhluxnthiaebbophreckithlnn karekhluxnthithnginaenwdingaelaaenwrabcaepnxisratxkn 1 khwamerng aekikh sahrbkarekhluxnthiaebbophreckithlcaekidkhwamerngechphaakarekhluxnthiinaenwdingethann swnaenwrabkhwamerwcakhngtwmikhaethakb v 0 cos 8 displaystyle mathbf v 0 cos theta karekhluxnthiinaenwdingkhxngwtthucaepnkarekhluxnthiaebbtkxisra odymikhwamerngkhngtw g displaystyle g 2 xngkhprakxbkhxngkhwamerngkhux a x 0 displaystyle a x 0 aela a y g displaystyle a y g khwamerw aekikh xngkhprakxbkhxngkhwamerwinaenwrabkhxngwtthucaimepliynaeplngtlxdkarekhluxnthi aelaxngkhprakxbkhxngkhwamerwinaenwtngcaephimkhunaebbechingesnephraamikhwamerngenuxngcakkhwamonmthwngthimikhakhngthi xngkhprakxbkhxngkhwamerwthnginthisthang x aela y samarthrwmknephuxaekpyhaxngkhprakxbkhxngkhwamerw n ewla t displaystyle t iddngni v x v 0 cos 8 displaystyle v x v 0 cos theta aela v y v 0 sin 8 g t displaystyle v y v 0 sin theta gt khnadkhxngkhwamerw phayitthvsdibthphithaokrs v v x 2 v y 2 displaystyle v sqrt v x 2 v y 2 karkracd aekikh karkracdaelaphikdkhxngkaroynaebbpharaophla n ewla t displaystyle t id karkracdkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithlinaenwrabaelaaenwdingkhux x v 0 t cos 8 displaystyle x v 0 t cos theta aela y v 0 t sin 8 1 2 g t 2 displaystyle y v 0 t sin theta frac 1 2 gt 2 khnadkhxngkarkracdkhux D r x 2 y 2 displaystyle Delta r sqrt x 2 y 2 phicarnasmkar x v 0 t cos 8 displaystyle x v 0 t cos theta aela y v 0 t sin 8 1 2 g t 2 displaystyle y v 0 t sin theta frac 1 2 gt 2 tha t displaystyle t thukkacdxxkrahwangthngsxngsmkar caid y tan 8 x g 2 v 0 2 cos 2 8 x 2 displaystyle y tan theta cdot x frac g 2v 0 2 cos 2 theta cdot x 2 emux g displaystyle g 8 displaystyle theta aela v 0 displaystyle v 0 epnkhakhngthi smkarkhangtncaxyuinrup y a x b x 2 displaystyle y ax bx 2 sung a displaystyle a aela b displaystyle b epnkhakhngthi smkarniepnsmkarpharaobla dngnnesnthangkarekhluxnthikhxngkarekhluxnthiaebbophreckithlcungepnruppharaobla thathrabtaaehnng x y khxngophreckithl aelamumying 8 displaystyle theta hrux r displaystyle r khwamerwerimtn v 0 displaystyle v 0 samarthhaidcakkaraeksmkarpharaoblakhangtn idepn v 0 x 2 g x sin 2 8 2 y cos 2 8 displaystyle v 0 sqrt x 2 g over x sin 2 theta 2y cos 2 theta ewlathiichinkarekhluxnthi aekikhewlathnghmdthiwtthulxyxyuinxakashaidcaksmkar y v 0 t sin 8 1 2 g t 2 displaystyle y v 0 t sin theta frac 1 2 gt 2 hlngcakthiwtthuthukyingxxkipaelatkklblngmabnphunxikkhrng aekn x dngnn y 0 displaystyle y 0 0 v 0 t sin 8 1 2 g t 2 displaystyle 0 v 0 t sin theta frac 1 2 gt 2 v 0 t sin 8 1 2 g t 2 displaystyle v 0 t sin theta frac 1 2 gt 2 v 0 sin 8 1 2 g t displaystyle v 0 sin theta frac 1 2 gt t 2 v 0 sin 8 g displaystyle t frac 2v 0 sin theta g inthinicaimsnicaerngtankhxngxakasthikrathatxwtthuthacuderimtnxyuthitaaehnng y 0 displaystyle y 0 emuxethiybkbcudtk ewlathiwtthulxyxyuinxakas khux t d v cos 8 v sin 8 v sin 8 2 2 g y 0 g displaystyle t frac d v cos theta frac v sin theta sqrt v sin theta 2 2gy 0 g smkarkhangtnsamarthldrupepn t v sin 8 v sin 8 2 g v sin 8 v sin 8 g 2 v sin 8 g 2 v sin 45 g 2 v 2 2 g 2 v g displaystyle t frac v sin theta sqrt v sin theta 2 g frac v sin theta v sin theta g frac 2v sin theta g frac 2v sin 45 g frac 2v frac sqrt 2 2 g frac sqrt 2 v g tha 8 displaystyle theta 0 aela y 0 displaystyle y 0 0rayasungsudkhxngkarekhluxnthi aekikh khwamsungthisungthisudkhxngophreckithl cudthiwtthuekhluxnthikhunipidepnrayasungthisudkxnthicatkklblngma eriykwa cudsungsudkhxngkarekhluxnthikhxngwtthu n cudni xngkhprakxbkhxngkhwamerwinaenwding v y 0 displaystyle v y 0 nnkhux 0 v 0 sin 8 g t h displaystyle 0 v 0 sin theta gt h ewlathiichinkarekhluxnthiipthungcudsungsud t h v 0 sin 8 g displaystyle t h frac v 0 sin theta g cakkarkracdthisungthisudkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl h v 0 t h sin 8 1 2 g t h 2 displaystyle h v 0 t h sin theta frac 1 2 gt h 2 h v 0 2 sin 2 8 2 g displaystyle h frac v 0 2 sin 2 theta 2g khwamsmphnthrahwangrayaiklsudkbrayasungsud aekikhkhwamsmphnthurahwangrayaiklsudbnaenwrab R displaystyle R kbrayasungsud h displaystyle h thi t d 2 displaystyle frac t d 2 epn h R tan 8 4 displaystyle h frac R tan theta 4 phisucn aekikh h v 0 2 sin 2 8 2 g displaystyle h frac v 0 2 sin 2 theta 2g R v 0 2 sin 2 8 g displaystyle R frac v 0 2 sin 2 theta g h R v 0 2 sin 2 8 2 g displaystyle frac h R frac v 0 2 sin 2 theta 2g g v 0 2 sin 2 8 displaystyle frac g v 0 2 sin 2 theta h R sin 2 8 4 sin 8 cos 8 displaystyle frac h R frac sin 2 theta 4 sin theta cos theta h R tan 8 4 displaystyle h frac R tan theta 4 phisykhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl aekikh dubthkhwamhlkthi phisykhxngkarekhluxnthiaebbophreckithl rayathangthiiklthisungkhxngophreckithl inkarekhluxnthiaebbophreckithlmwlkhxngwtthucaimsngphltxrayaiklsudtamaenwrabaelarayasungsudkhxngkarekhluxnthi emuxkhwangwtthuxxkipdwykhwamerwaelathisthangediywkn rayaiklsudtamaenwrabkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithleriykwa phisy d displaystyle d khux rayathangtamaenwrabcakcudthikhwangwtthuxxkipcnthungcudthiwtthutkklblngmathitaaehnngkhwamsungerimtn y 0 displaystyle y 0 0 v 0 t d sin 8 1 2 g t d 2 displaystyle 0 v 0 t d sin theta frac 1 2 gt d 2 ewlaemuxtkthungphun t d 2 v 0 sin 8 g displaystyle t d frac 2v 0 sin theta g cakkarekhluxnthiinaenwrab rayathangkhxngkarekhluxnthiaebbophreckithlepn d v 0 t d cos 8 displaystyle d v 0 t d cos theta dngnn 3 d v 0 2 g sin 2 8 displaystyle d frac v 0 2 g sin 2 theta d displaystyle d camikhasungsudemux sin 2 8 1 displaystyle sin 2 theta 1 sungsxdkhlxngkb 2 8 90 displaystyle 2 theta 90 circ hrux 8 45 displaystyle theta 45 circ Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m s2 Points are at 0 05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed t time from launch T time of flight R range and H highest point of trajectory indicated with arrows rayathanginaenwrab d displaystyle d thiekhluxnthiid d v cos 8 g v sin 8 v sin 8 2 2 g y 0 displaystyle d frac v cos theta g left v sin theta sqrt v sin theta 2 2gy 0 right emuxphuneriyb khwamsungerimtn y 0 0 displaystyle y 0 0 rayathangthiekhluxnthiid d v 2 sin 2 8 g displaystyle d frac v 2 sin 2 theta g dngnnwtthucaekhluxnthiidrayathangiklthisud emux 8 displaystyle theta mikhaethakb 45 xngsa d v 2 g displaystyle d frac v 2 g karprayuktichthvsdibthnganaelaphlngngan aekikhtamthvsdinganaelaphlngngan xngkhprakxbkhxngkhwamerwinaenwdingkhux v y 2 v 0 sin 8 2 2 g y displaystyle v y 2 v 0 sin theta 2 2gy smkarehlanicaimphicarnaaerngtankhxngxakas aelathuxwaphunepnphunraberiybxangxing aekikh Galileo Galilei Two New Sciences Leiden 1638 p 249 The g displaystyle g khux khwamerngonmthwng 9 81 m s 2 displaystyle 9 81m s 2 thiphiwolk 2 sin a cos a sin 2 a displaystyle 2 cdot sin alpha cdot cos alpha sin 2 alpha ekhathungcak https th wikipedia org w index php title karekhluxnthiaebbophreckithl amp oldid 9580628, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม